自考概率論課件第一章事件及其概率

1、自考概率論課件第一章事件自考概率論課件第一章事件及其概率及其概率2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率22021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率3 引引 言言一、概率論的發(fā)展史一、概率論的發(fā)展史1 1. .起源階段起源階段 17 17世紀(jì)中葉，賭博已風(fēng)靡了歐洲。摩納哥的蒙特卡洛城世紀(jì)中葉，賭博已風(fēng)靡了歐洲。摩納哥的蒙特卡洛城是世界聞名的大賭城，那里云集了世界各國的賭徒們是世界聞名的大賭城，那里云集了世界各國的賭徒們. .他他們提出了一些賭博中的難題求教于當(dāng)時的數(shù)學(xué)家：帕斯卡們提出了一些賭博中的

2、難題求教于當(dāng)時的數(shù)學(xué)家：帕斯卡、費馬、高斯等，希望他們能揭示其中的弊端，指點迷津、費馬、高斯等，希望他們能揭示其中的弊端，指點迷津. .為此數(shù)學(xué)家們進行了探討，從而開創(chuàng)了一門新的數(shù)學(xué)分為此數(shù)學(xué)家們進行了探討，從而開創(chuàng)了一門新的數(shù)學(xué)分支支概率論概率論.1657.1657年荷蘭的惠更斯發(fā)表的論賭博中的年荷蘭的惠更斯發(fā)表的論賭博中的計算大概要算古典概率中的最早的著作計算大概要算古典概率中的最早的著作. .2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率42 2. .直觀認識階段直觀認識階段 概率論的蓬勃發(fā)展是概率論的蓬勃發(fā)展是1919世紀(jì)末的事情，隨著生產(chǎn)世

3、紀(jì)末的事情，隨著生產(chǎn)和自然科學(xué)的發(fā)展，概率論在物理學(xué)、社會保險事業(yè)和自然科學(xué)的發(fā)展，概率論在物理學(xué)、社會保險事業(yè)（人壽保險）和大規(guī)模的工業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用，應(yīng)用（人壽保險）和大規(guī)模的工業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用，應(yīng)用的同時使之得到發(fā)展，廣泛地應(yīng)用了微積分、微分方的同時使之得到發(fā)展，廣泛地應(yīng)用了微積分、微分方程、代數(shù)和幾何的工具。但此時概率論不是一門成熟程、代數(shù)和幾何的工具。但此時概率論不是一門成熟的學(xué)科，它的基本概念缺乏嚴(yán)格定義，僅僅停留在直的學(xué)科，它的基本概念缺乏嚴(yán)格定義，僅僅停留在直觀的基礎(chǔ)上。觀的基礎(chǔ)上。2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率53

4、3. .公理化階段公理化階段 20 20世紀(jì)世紀(jì)3030年代，概率論建立了嚴(yán)格的公理化系統(tǒng)（年代，概率論建立了嚴(yán)格的公理化系統(tǒng)（柯爾莫哥洛夫）。具體地說：用集合定義了事件，用測度柯爾莫哥洛夫）。具體地說：用集合定義了事件，用測度定義概率，用可測函數(shù)定義隨機變量和隨機過程，用積分定義概率，用可測函數(shù)定義隨機變量和隨機過程，用積分定義數(shù)學(xué)期望等，使概率論日趨成熟與完善。定義數(shù)學(xué)期望等，使概率論日趨成熟與完善。應(yīng)用概率論解決實際問題的方法稱為統(tǒng)計方法。應(yīng)用概率論解決實際問題的方法稱為統(tǒng)計方法。2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率6二、應(yīng)用二、應(yīng)用

5、1.大批產(chǎn)品的質(zhì)量估計與控制大批產(chǎn)品的質(zhì)量估計與控制2.誤差理論誤差理論3.氣象、地震的預(yù)測（如：氣象統(tǒng)計學(xué)）氣象、地震的預(yù)測（如：氣象統(tǒng)計學(xué)）4.水文水文“水文統(tǒng)計學(xué)水文統(tǒng)計學(xué)”5.公共服務(wù)事業(yè)：保險（保險精算）、排隊論公共服務(wù)事業(yè)：保險（保險精算）、排隊論6.投資理論投資理論2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率7三、概率論研究的對象三、概率論研究的對象 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門研究隨機現(xiàn)象量的規(guī)律性的概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門研究隨機現(xiàn)象量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)學(xué)科。 那么，什么叫隨機現(xiàn)象？請看下面兩個試驗：那么，什么叫隨機現(xiàn)象？請看下面兩

6、個試驗： 試驗試驗1 1. .一個盒子有一個盒子有1010個完全相同的白球，攪勻從中任個完全相同的白球，攪勻從中任取一個球。結(jié)果如何？取一個球。結(jié)果如何？ 試驗試驗2 2. .一個盒子有一個盒子有1010個大小、質(zhì)地完全相同的球個大小、質(zhì)地完全相同的球, ,其中其中5 5個白球，個白球，5 5個黑球個黑球, ,攪勻從中任取一個球。結(jié)果又如何攪勻從中任取一個球。結(jié)果又如何? ?試驗試驗1 1的結(jié)果是確定性現(xiàn)象，試驗的結(jié)果是確定性現(xiàn)象，試驗2 2的結(jié)果就是隨機現(xiàn)象。的結(jié)果就是隨機現(xiàn)象。2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率8 確定性現(xiàn)象：在給定條

7、件下一定會發(fā)生或一定不會發(fā)生的現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在給定條件下一定會發(fā)生或一定不會發(fā)生的現(xiàn)象. 隨機現(xiàn)象：在給定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在給定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象.例例 1 (1)太陽從東方升起；太陽從東方升起； (2)邊長為邊長為a的正方形的面積為的正方形的面積為a2 ； (3)一袋中有一袋中有10個白球，今從中任取一球為白球；個白球，今從中任取一球為白球；例例 2 (4)擲一枚硬幣，正面向上；擲一枚硬幣，正面向上； (5)擲一枚骰子，向上的點數(shù)為擲一枚骰子，向上的點數(shù)為2 ； (6)一袋中有一袋中有5個白球個白球3個黑球，今從中任取一球為白球個黑球，今從中任取一球

8、為白球. 確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率9第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率 1.1 1.1 隨機事件及其運算隨機事件及其運算試驗：為了研究隨機現(xiàn)象，對客觀事物進行觀察的過程試驗：為了研究隨機現(xiàn)象，對客觀事物進行觀察的過程. 1. 隨機試驗隨機試驗隨機試驗：具有以下特點的試驗稱為隨機試驗，用隨機試驗：具有以下特點的試驗稱為隨機試驗，用E表示表示. （1）在相同的條件下可以重復(fù)進行；（可重復(fù)性）在相同的條件下可以重復(fù)進行；（可重復(fù)性） （2）每次試驗的結(jié)果不止一個，并且在試驗之前可以明

9、確）每次試驗的結(jié)果不止一個，并且在試驗之前可以明確 試驗所有可能的結(jié)果；（結(jié)果的非單一性或多結(jié)果性）試驗所有可能的結(jié)果；（結(jié)果的非單一性或多結(jié)果性） （3）在每次試驗之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗將出現(xiàn)哪一在每次試驗之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗將出現(xiàn)哪一 種結(jié)果。（隨機性）種結(jié)果。（隨機性）注意：注意：今后所說的試驗今后所說的試驗 均指隨機試驗，且是廣泛的術(shù)語均指隨機試驗，且是廣泛的術(shù)語. .一、隨機事件一、隨機事件2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率102. 隨機事件：隨機試驗的結(jié)果稱為事件隨機事件：隨機試驗的結(jié)果稱為事件. 每每 次試驗中，可

10、能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量試次試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量試驗中具有某種規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機事件驗中具有某種規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機事件.用用A,B,C等表示等表示.注意：注意：1.今后所指的事件均指隨機事件今后所指的事件均指隨機事件. 2.試驗的結(jié)果也叫隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象即試驗的結(jié)果也叫隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象即 隨機事件隨機事件. .2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率11隨機事件的分類：隨機事件的分類：(1)基本事件：對于試驗?zāi)康亩圆豢稍偌毞值脑囼灲Y(jié)果基本事件：對于試驗?zāi)康亩圆豢稍偌毞值脑囼灲Y(jié)果.(2)復(fù)合事件：由若干個基本事件

11、構(gòu)成的事件復(fù)合事件：由若干個基本事件構(gòu)成的事件.(3)必然事件：每次試驗中一定發(fā)生的事件必然事件：每次試驗中一定發(fā)生的事件.(4)不可能事件：每次試驗中一定不發(fā)生的事件不可能事件：每次試驗中一定不發(fā)生的事件.例例1. 擲一枚均勻的骰子，擲一枚均勻的骰子， =點數(shù)小于等于點數(shù)小于等于6,A=點數(shù)為點數(shù)為4, B=偶數(shù)點偶數(shù)點，C=點數(shù)不大于點數(shù)不大于3, =點數(shù)為點數(shù)為8則基本事件為則基本事件為? 復(fù)合事件為？必然事件為？不可能事件為？復(fù)合事件為？必然事件為？不可能事件為？注意：（注意：（1）基本事件、復(fù)合事件、必然事件、不可能事件是相對）基本事件、復(fù)合事件、必然事件、不可能事件是相對 于試驗條

12、件而言于試驗條件而言. （2）必然事件、不可能事件是確定性事件，是隨機事件的必然事件、不可能事件是確定性事件，是隨機事件的 極端情況極端情況. （3）事件）事件A發(fā)生：當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生：當(dāng)且僅當(dāng)事件A中的一個基本事件出現(xiàn)中的一個基本事件出現(xiàn).2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率123. 樣本空間：所有的基本事件組成的集合，用樣本空間：所有的基本事件組成的集合，用 表示表示. 樣本點：樣本空間中的每一個元素為一個樣本點樣本點：樣本空間中的每一個元素為一個樣本點. 用用 表示表示.例例:擲硬幣擲硬幣 =正面，反面正面，反面；“正面正面”是一個樣

13、本點是一個樣本點. 擲骰子擲骰子 =1,2,3,4,5,6；“1”是一個樣本點是一個樣本點.可見：可見：樣本空間作為事件即必然事件；樣本空間作為事件即必然事件； 樣本點即基本事件樣本點即基本事件. . 2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率13例例1. 擲一枚均勻的骰子，觀察向上的點數(shù)，擲一枚均勻的骰子，觀察向上的點數(shù)， =？ =1，2，3，4，5，6例例2 .在某段時間內(nèi)，考察車站候車的旅客數(shù)，在某段時間內(nèi)，考察車站候車的旅客數(shù)， =？ =0，1，2，3. 例例3 .向區(qū)間向區(qū)間a, b內(nèi)隨機的投一質(zhì)點，觀察落點的坐標(biāo)，內(nèi)隨機的投一質(zhì)點，觀

14、察落點的坐標(biāo)， =a, b例例4 .同時擲兩枚均勻的硬幣，同時擲兩枚均勻的硬幣， 1表示表示“正面向上正面向上”， 0表示表示“反面向上反面向上”， =？ =( 0 , 0 ), ( 1 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 1 , 1 ) 例例5 .向平面上隨機的投一質(zhì)點，觀察落點的坐標(biāo)，向平面上隨機的投一質(zhì)點，觀察落點的坐標(biāo)， =？ =(x,y)2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率14二、事件的集合表示二、事件的集合表示 我們用點集的概念與圖示方法來研究事件之間的關(guān)系和運算，我們用點集的概念與圖示方法來研究事件之間的關(guān)系和運算，會比較

15、直觀，容易理解會比較直觀，容易理解. 規(guī)定：規(guī)定：樣本空間樣本空間 全部樣本點的集合全部樣本點的集合 全集全集 基本事件基本事件 一個樣本點的集合，即單點集一個樣本點的集合，即單點集. 復(fù)合事件復(fù)合事件 多個樣本點的集合多個樣本點的集合 不可能事件不可能事件 不含任何樣本點的集合不含任何樣本點的集合 空集空集所謂事件所謂事件A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)A中的某個樣本點出現(xiàn)中的某個樣本點出現(xiàn). .2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率15三、事件間的關(guān)系及運算三、事件間的關(guān)系及運算 因為任一隨機事件因為任一隨機事件都是樣本空間的一個子集，所以

16、事都是樣本空間的一個子集，所以事件的關(guān)系和運算與集合的關(guān)系和運算完全類似件的關(guān)系和運算與集合的關(guān)系和運算完全類似. .1 1. .事件的包含與相等事件的包含與相等 事件事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生發(fā)生，則稱事件，則稱事件B 包含事件包含事件A，或稱事件稱事件A包含于事件包含于事件B ，記為，記為A B 或或 B A.樣本空間樣本空間BA屬于屬于 A 的的 必然屬于必然屬于 B 注：對注：對任一事件任一事件 A 有：有： A 當(dāng)事件包含事件當(dāng)事件包含事件且且事件也包含事件也包含事件時事件時，則稱事件與事件，則稱事件與事件相等相等. .記為記為= =. .2021年年7月月12日日

17、自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率16樣本空間 2. 事件的并（和）事件的并（和） “兩事件與中至少有一個發(fā)生兩事件與中至少有一個發(fā)生” 這一事件稱為事這一事件稱為事件與的并（件與的并（和）和）. .記為：記為： 或或+ +. .中的樣本點是中的樣中的樣本點是中的樣本點與中的樣本點的合并本點與中的樣本點的合并 例如：擲一枚例如：擲一枚骰子骰子，A =奇數(shù)點奇數(shù)點 ，B=點數(shù)小于點數(shù)小于4.4.則：則：AB= =1，3，51，2，3注意=1，2，3，5(1)+ A, A+A=A, A+ = .2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第

18、一章事件及其概率17樣本空間A B3. 事件的交（積）事件的交（積） “兩事件與都發(fā)生兩事件與都發(fā)生” 這一事件稱為這一事件稱為事件與的事件與的交（積）交（積）. .記為：記為：或或. .是由與中公是由與中公共的樣本點構(gòu)成共的樣本點構(gòu)成. .A BA則則=1, 3, 51, 2, 3 =1， 3 例如：擲一枚例如：擲一枚骰子骰子，A =奇數(shù)點奇數(shù)點 ，B=點數(shù)小于點數(shù)小于4.4.注意注意 A，A=A， = ， =A .事件的并與交可推廣：事件的并與交可推廣：niiniiAA11或niiniiAA11或2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率18

19、4.事件事件的差的差 事件發(fā)生而事件不發(fā)生事件發(fā)生而事件不發(fā)生，這一事件稱為事件這一事件稱為事件A與事與事件件B的差，記為：的差，記為：AB.即：即：AB是把是把A中屬于中屬于B的元素去的元素去掉掉.5. 事件的互不相容（互斥）事件的互不相容（互斥） 若兩事件與不能同時發(fā)生若兩事件與不能同時發(fā)生，即，即AB=，則則稱事件與是互不稱事件與是互不相容的（或互斥的）相容的（或互斥的）.注：任意兩個注：任意兩個基本事件之間互不相容基本事件之間互不相容, ,樣本空間樣本空間AB如：擲一枚如：擲一枚骰骰子，子，A=偶數(shù)點偶數(shù)點，B=小于小于5的奇數(shù)點的奇數(shù)點，A與與B互斥互斥.注意注意 一般地一般地AB=

20、AAB2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率19 若若 n 個事件個事件 A1，A2，An 中任兩個都不可能同中任兩個都不可能同時發(fā)生時發(fā)生，即：，即：AiAj=，(1ijn)，則稱則稱這這 n 個事件個事件是兩兩互不是兩兩互不相容的（或互斥的）相容的（或互斥的）. 可以進一步推廣到無窮可列個事件兩兩互不相容可以進一步推廣到無窮可列個事件兩兩互不相容.*事件的互不相容的推廣事件的互不相容的推廣書上說書上說“A1，A2，An互不相容互不相容”2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率20樣本空間樣

21、本空間 A6. 對立事件（逆事件）對立事件（逆事件） 若事件與互不相容，若事件與互不相容，且且它們的和是必然事件它們的和是必然事件，即即 （1） AB=（2） AB=（或或A+B=）則則 稱事件與是對立事件，稱事件稱事件與是對立事件，稱事件(事件事件)是事件是事件 (事件事件)的對立事件的對立事件(逆事件逆事件).記為：記為：AABBA或,2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率21 注注 (1 (1）對立事件是相互的對立事件是相互的: :A是是A的對立事件，的對立事件，A也是也是A的對立事件的對立事件 ，即：，即：AA （2 2）一般一般 A

22、 B = A AB = =BA（3） 對立事件與互不相容事件的聯(lián)系與區(qū)別對立事件與互不相容事件的聯(lián)系與區(qū)別10 兩事件對立，必互不相容，反之不然兩事件對立，必互不相容，反之不然. . A與與B對立對立 AB=且且 AB=2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率22在例在例1 1中，設(shè)中，設(shè)Ai=取到取到i號球號球 ，( (i=1,2,=1,2,10),10)7. 完備事件組完備事件組若若 n個事件個事件A1，A2，An兩兩兩兩互不相容互不相容，且，且 Ai = = 即：即： (1) A1A2An = = (2) AiAj=，(1i0，在事件在事

23、件B已經(jīng)發(fā)生的條件下已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率,稱為事件稱為事件A對對B的條件概率的條件概率, 記記P(A|B).注注 (1) P(A)稱為無條件概率，一般稱為無條件概率，一般 P(A)P(A|B).(2)性質(zhì)：設(shè)性質(zhì)：設(shè)P(B)0， P(|B)=1， P(|B)=0. 對于任一事件對于任一事件A,都有都有 0P(A|B)1.(|)(|)1P A BP A B2 2. . 條件概率的計算條件概率的計算兩種方法：按定義直接計算；按公式計算兩種方法：按定義直接計算；按公式計算2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率39 例例1

24、 全年級全年級100名學(xué)生中，有男生（名學(xué)生中，有男生（A表示）表示）80人，女生人，女生20人；人；來自北京的（來自北京的（B表示）有表示）有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英語人；免修英語的（的（C表示）表示）40人中有人中有32名男生名男生.求下列事件的概率：求下列事件的概率：P(A),P(B),P(C)，P(AB), P(AC), P(A|B), P(B|A), P(C|A),(|).P A B解：解：. 4 . 010040)(, 2 . 010020)(, 8 . 010080)(CPBPAPP(A|B)=12/20，P(B|A)=12/80，(|)P A

25、 B=12/80.P(AB)=12/100，12()20P A B 12/10020/100()( )P ABP BP(AC)=32/100.P(C|A)=32/80，()(|)( )P ABP A BP B()(|)( )P ABP B AP A2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率40 例例2 在全部產(chǎn)品中，有在全部產(chǎn)品中，有4%是廢品，有是廢品，有72%為一等品為一等品.現(xiàn)從其中任取一件為合格品，求它是一等品的概率現(xiàn)從其中任取一件為合格品，求它是一等品的概率.解：設(shè)解：設(shè)A表示表示“合格品合格品”，B“一等品一等品”.()(|)()P

26、ABP B AP AP14例例1-18由題設(shè)知，由題設(shè)知，P(A)=1-4%=96%, P(AB)=72%,0.720.750.96()(|)( )P ABP A BP B()(|)( )P ABP B AP A練習(xí)：練習(xí)：P14例例1-19,1-20.2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率41 對任意兩事件對任意兩事件A、B，都有都有 P(AB)=P(A)P(B|A) ( P(A)0 )2.2.乘乘 法法 公公 式式P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)0 )推廣推廣 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB)()(|)()

27、()(|)()P ABP B AP AP ABP A BP B例例1-21 在在10個產(chǎn)品中，有個產(chǎn)品中，有2個次品，不放回抽取個次品，不放回抽取2次，每次，每次取一個，求取到的次取一個，求取到的2件都是次品的概率件都是次品的概率.解：設(shè)解：設(shè)A“第一次取到次品第一次取到次品”，B“第二次取到次品第二次取到次品”AB由乘法公式：由乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)21109145再求第二次才取到次品的概率？再求第二次才取到次品的概率？()P AB( ) (|)P A P B A82810945練習(xí)：練習(xí)：P15例例1-222021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概

28、率論課件第一章事件及其概率42例例1-23 設(shè)設(shè)P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25，求，求P(A|B).解：解：P(AB)=P(A)P(B|A) =0.80.25=0.2()(|)( )P ABP A BP B0.20.50.4P17習(xí)題習(xí)題1.32.( )0.5, ()0.3,(|).P AP ABP B A設(shè)設(shè)求求解：解：,AB A B A AB ()( )(),P ABP AP AB0.3=0.5-P(AB),P(AB)=0.2，()(|)( )P ABP B AP A0.20.40.51113.( ), (|), (|)().432P AP B AP A B

29、P AB設(shè)設(shè), ,求求P(AB)=P(A)P(B|A)解：解：=1/12，()(|),( )P ABP A BP BP(B)=1/2P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 2/32021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率43例例 市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠占市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠占60%，乙廠占，乙廠占40%.甲廠甲廠產(chǎn)品的合格品率為產(chǎn)品的合格品率為90%，乙廠產(chǎn)品的合格品率為，乙廠產(chǎn)品的合格品率為80%.求：求：(1)從市場上買一燈泡是甲廠生產(chǎn)的合格品的概率；從市場上買一燈泡是甲廠生產(chǎn)的合格品的概率；(2)從從市場上買一燈泡是乙廠生產(chǎn)的合

30、格品的概率市場上買一燈泡是乙廠生產(chǎn)的合格品的概率. 解解: :記記A“甲廠生產(chǎn)的燈泡甲廠生產(chǎn)的燈泡”, B“合格燈泡合格燈泡”. 由已知由已知: :( | )0.8P B A (1) P(AB)= P(A)P(B|A) AB“甲廠產(chǎn)的合格品甲廠產(chǎn)的合格品”, AB“乙廠產(chǎn)的合格品乙廠產(chǎn)的合格品”= 0.60.9 = 0.54 . (2) ()( ) (|)P ABP A P B A= 0.40.8 = 0.32 . 問題：如何求市場上燈泡的合格品率問題：如何求市場上燈泡的合格品率P(B)？全概率公式全概率公式( )0.6, ( )0.4,P AP A(|)0.9,P B A BB ( )()(

31、)P BP ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A()AA BABAB= 0.60.9+0.40.8=0.86.2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率44二、全概率公式與二、全概率公式與BayesBayes公式公式全概率公式全概率公式 設(shè)設(shè)A1, A2, , An 構(gòu)成一個完備事件組，并且構(gòu)成一個完備事件組，并且 P(Ai)0, i=1,2, n, 則任意事件則任意事件B的概率為的概率為1( )() (|)niiiP BP A P B A證明：證明：1niiBAP) ()(BPBP)|()(1iniiAB

32、PAP)(1niiABPniiBAP1)()(|)( )kkP A BP ABP BBayes公式公式1() ( |)(| )( ) ( |)kkkniiiP A P B AP A BP A P B A2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率45使用全概率公式時，應(yīng)注意以下三點：使用全概率公式時，應(yīng)注意以下三點： 1.在較復(fù)雜情況下直接計算在較復(fù)雜情況下直接計算P(B)不易，將不易，將B分解成互斥事件分解成互斥事件AiB的和，所以在使用全概率公式時，關(guān)鍵在于尋找完備事件組的和，所以在使用全概率公式時，關(guān)鍵在于尋找完備事件組A1，A2，就是尋找導(dǎo)

33、致，就是尋找導(dǎo)致B發(fā)生的各種原因，或伴隨發(fā)生的各種原因，或伴隨B發(fā)生的各種情發(fā)生的各種情況況. 2.定理的條件可以降低為定理的條件可以降低為 ： 3.若試驗可看作分兩個階段進行，而第一階段有多種可能的結(jié)果若試驗可看作分兩個階段進行，而第一階段有多種可能的結(jié)果（即不確定的），要求的是第二階段中某個結(jié)果（即不確定的），要求的是第二階段中某個結(jié)果B發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，就用全概率公式就用全概率公式. .兩兩互斥。且,.,21BABABAii2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率46 解：解： 設(shè)設(shè)A“第一次取出的是白球；第一次取出的是白球； 例例

34、1-24（P15）盒中有盒中有5 5個白球個白球3 3個黑球，連續(xù)不放回地從個黑球，連續(xù)不放回地從中取兩次，每次取一個球，求第二次取到白球的概率中取兩次，每次取一個球，求第二次取到白球的概率. .A“第一次取出的球是黑球第一次取出的球是黑球. .B“第二次取出的球是白球第二次取出的球是白球”. .由全概率公式得：由全概率公式得：)()()()()(ABPAPABPAPBP58473857582021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率47 例例1-25（P162）某工廠中有甲、某工廠中有甲、 乙、丙三臺機器生產(chǎn)同乙、丙三臺機器生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品，它

35、們的產(chǎn)量各占一型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量各占30%，35%，35%，且，且各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率分別占各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率分別占5%，4%，3%.求從該求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率.設(shè)設(shè)A1,A2,A3分別表示分別表示“甲甲,乙乙,丙三臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品丙三臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品” ，解解由全概率公式得：由全概率公式得：=0.30.05+0.350.04+0.350.03= 0.0395B “廢品廢品”P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論

36、課件第一章事件及其概率48 例例(補補)某廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分某廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%.又這四條流水線又這四條流水線的不合格率依次為的不合格率依次為0.05，0.04，0.03，0.02.現(xiàn)從出廠產(chǎn)品現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，求恰好取到不合格品的概率中任取一件，求恰好取到不合格品的概率; 解解: Ai“第第i條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品” (i=1，2，3，4), B “不合格品不合格品”. 由題設(shè)知：由題設(shè)知： P(A1)=0.15, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(A4)=0.35

37、; P(B|A1)=0.05, P(B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.03, P(B|A4)=0.02 .則則41( )() (|)iiiP BP A P B A =0.150.05 +0.20.04+0.30.03+0.350.02=0.03152021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率49 實際中還有一類問題實際中還有一類問題“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因”. .這類問題在實際中常這類問題在實際中常見見( (如流水線追究責(zé)任問題如流水線追究責(zé)任問題), ),已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的可能

38、性大小，即求條件概率生的可能性大小，即求條件概率. .貝葉斯公式就解決這類問題貝葉斯公式就解決這類問題. . 某廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的某廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%.又這四條流水線的不合格率依次為又這四條流水線的不合格率依次為0.05，0.04，0.03，0.02.現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件,結(jié)果是次品結(jié)果是次品,問該次品屬問該次品屬于第四條流水線生產(chǎn)的可能性有多大？于第四條流水線生產(chǎn)的可能性有多大？BP(A4|B)=4()( )P A BP B4441() (|)() (|)iiiP A P B

39、 AP A P B A0.35 0.020.2220.03152021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率50 例例1-29 (P17) 針對某疾病進行一種化驗，患該病的人針對某疾病進行一種化驗，患該病的人中有中有90%呈陽性反應(yīng)，而未患該病的人中有呈陽性反應(yīng)，而未患該病的人中有5%呈現(xiàn)陽呈現(xiàn)陽性反應(yīng)性反應(yīng).設(shè)人群中有設(shè)人群中有1%的人患有這種病的人患有這種病.若某人做化驗呈若某人做化驗呈現(xiàn)陽性反應(yīng)，則他確患該病的概率是多少？現(xiàn)陽性反應(yīng)，則他確患該病的概率是多少？()(|)( )P ABP A BP B要求要求P(A|B).解：設(shè)解：設(shè)A“患病患病

40、”, ,B“化驗呈陽性反應(yīng)化驗呈陽性反應(yīng)”. . 人人有病有病無病無病陽性陽性陰性陰性陽性陽性陰性陰性1%90%5%由全概率公式得：由全概率公式得：( )( ) ()( ) ()P BP A P B AP A P B A=1%90%+ 99%5%=0.05851% 90%0.150.05852021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率51練習(xí)：有朋友自遠方來，他坐火車、船、汽車、飛機的可能性練習(xí)：有朋友自遠方來，他坐火車、船、汽車、飛機的可能性分別是分別是0.3、0.2、0.1和和0.4，如果他坐火車、船、汽車來的話，如果他坐火車、船、汽車來的話，

41、 遲到的概率分別是遲到的概率分別是 1/4、1/3、1/12，而坐飛機不會遲到，而坐飛機不會遲到.結(jié)果結(jié)果他遲到了，問他坐火車來的概率是多少？他遲到了，問他坐火車來的概率是多少？解：設(shè)解：設(shè)A1“坐火車坐火車”，A2“坐船坐船”，A3“坐汽車坐汽車”，A4“坐飛機坐飛機”， B“遲到遲到”. 由貝葉斯公式得：由貝葉斯公式得：10.340.51110.30.20.10.4 04312 P(A1)=0.3， P(A2)=0.2， P(A3)=0.1， P(A4)=0.4 P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3， P(B|A3)=1/12， P(B|A4)=0 11()(|) ( )P A

42、 BP A BP B要求要求P(A1|B)1141() (|)() (|)iiiP A P B AP A P B A2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率52 用用P(AB)=P(A)P(B)來刻劃獨立性更方便，它不受來刻劃獨立性更方便，它不受P(B)是否為是否為0 0的制約，而且，式中事件的制約，而且，式中事件A與與B的地位對稱，反映的地位對稱，反映了獨立的相互性了獨立的相互性. . 一般地，一般地，P(A|B) P(A) ，當(dāng)，當(dāng)P(A|B) =P(A) 時，意味著事件時，意味著事件B發(fā)發(fā)生與否不影響事件生與否不影響事件A的概率，從這個意

43、義上講，的概率，從這個意義上講，A對于對于B是獨立是獨立的的. 反之亦然反之亦然.P(A)=P(A|B)1.4 事件的獨立性事件的獨立性P(AB)=P(A)P(B) ( P(A)0, P(B) 0 )一、事件的獨立性一、事件的獨立性 1.1.定義定義 若若P(AB)=P(A)P(B)， 則稱事件則稱事件A與與B相互獨立相互獨立.必然事件必然事件與任意事件與任意事件A獨立；不可能事件獨立；不可能事件與與A獨立獨立.2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率533 3. .多個事件的獨立性多個事件的獨立性（1 1）三個事件獨立的定義：）三個事件獨立的

44、定義：若事件若事件A A、B B、C C滿足下列等式滿足下列等式)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP則稱則稱A A、B B、C C相互獨立相互獨立. .A、B、C兩兩獨立兩兩獨立.注注 (1)由由A、B、C獨立，可得兩兩獨立；反之不然獨立，可得兩兩獨立；反之不然.(2)由由A、B、C獨立獨立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)；反之不然反之不然. .(3)若若A、B、C獨立，則它們及它們的對立事件中任一部分也獨立獨立，則它們及它們的對立事件中任一部分也獨立.CBA,也獨立也獨立. . (4)若若A、B、C獨立，則獨

45、立，則)()()(1)(CPBPAPCBAP如：如：2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率542.事件事件A與與B獨立的性質(zhì)獨立的性質(zhì) 若事件若事件A與與B獨立，則以下各對事件獨立，則以下各對事件證證: :()P AB =P(A)- -P(AB) =P(A) 1-P(B)( ) ( )P A P B;AB AB AB與與與都相互獨立都相互獨立.()( ) ( )P ABP A P B需證需證P(A- -AB) =P(A)- -P(A)P(B)獨立的問題有很多：射擊、投籃、有放回地抽取獨立的問題有很多：射擊、投籃、有放回地抽取2021年年7月月

46、12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率55(2) (2) n 個事件的獨立性個事件的獨立性則稱則稱事件事件A1 ,A2 ,An 互相獨立互相獨立. 定義定義 對于事件對于事件A1 ,A2 ,An ,若滿足若滿足: : P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) (1ij n) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) (1ij kn) P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)（1 1）它們及它們的對立事件中任意一部分也是互相獨立）它們及它們的對立事件中任意一部分也是互相獨立. .（2 2）注注 若事件若事件A A1 1 ,A,A2 2 ,A ,

47、An 互相獨立，則互相獨立，則121()1(.)nniiPAP A AA 121() (). ()nP A P AP A 兩兩獨立兩兩獨立. .2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率56甲乙丙三人獨立地破譯密碼，他們能破譯出密碼甲乙丙三人獨立地破譯密碼，他們能破譯出密碼的概率分別為的概率分別為0.45,0.55,0.6.求密碼被破譯的概率求密碼被破譯的概率.例例1 1-33-33則則A+B+C表示表示“密碼被破譯密碼被破譯”. 這就從概率的計算上證實了三個并不聰明的這就從概率的計算上證實了三個并不聰明的“臭皮匠臭皮匠”居然能解出居然能解出90

48、%90%以上的問題，聰明的諸葛亮也不過如此以上的問題，聰明的諸葛亮也不過如此. . “三三個臭皮匠，頂一個諸葛亮個臭皮匠，頂一個諸葛亮”，這是對人多辦法多，人多智慧，這是對人多辦法多，人多智慧高的一種贊譽高的一種贊譽.P(A+B+C) = 解：解：用用 A，B，C分別分別 表示表示“甲、乙、丙破譯出密碼甲、乙、丙破譯出密碼”.1( ) ( ) ( )P A P B P C且且A，B，C相互獨立相互獨立.= 1- - (1- - 0.45) (1- - 0.55) (1- - 0.60) = 0.9012021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率57

49、解：設(shè)解：設(shè)A“甲投中甲投中”，B“乙投中乙投中”，C“丙投中丙投中”. 例（補）例（補）甲、乙、丙三人各投籃一次甲、乙、丙三人各投籃一次, ,他們投中的概率他們投中的概率分別為分別為 0.7 0.7,0.8,0.75, ,0.8,0.75, 求：（求：（1 1）三人中恰好有一人投中的概率；）三人中恰好有一人投中的概率；（2 2）三人都投中的概率；（）三人都投中的概率；（3 3）三人中至少有一人投中的概）三人中至少有一人投中的概 . .ABC“三人都投中三人都投中” ；A+B+C“三人至少有一人投中三人至少有一人投中”.(2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)“三人恰有一人投中三人恰有一

50、人投中”；=0.7 0.2 0.25+0.3 0.8 0.25+0.3 0.2 0.75=0.14ABCABCABC(1)()P ABCABCABC()()()P ABCP ABCP ABC( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P C=0.7 0.8 0.75=0.42(3) P(A+B+C)=1- -( ) ( ) ( )P A P B P C=1-0.3 0.2 0.25=0.985A、B、C 獨立獨立.2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率58獨立性

51、獨立性: :是相對于概率而言的是相對于概率而言的, ,指兩事件發(fā)生的可能性互不影響指兩事件發(fā)生的可能性互不影響. .互不相容互不相容: : 是兩個事件不可能同時發(fā)生，即沒有公共的樣本點，是兩個事件不可能同時發(fā)生，即沒有公共的樣本點， 僅就事件的結(jié)構(gòu)而言的，并不涉及到事件的概率僅就事件的結(jié)構(gòu)而言的，并不涉及到事件的概率. .事件獨立事件獨立與與事件互不相容事件互不相容的區(qū)別的區(qū)別P(A+B)=P(A)+P(B)- -P(AB)A,B互斥互斥P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)A,B獨立獨立P(AB) = P(A) P(B) 對對照照區(qū)區(qū)別別使使用用. .2021年年7

52、月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率59解：解：(1)當(dāng)當(dāng)事件事件A與與B 互不相容時，互不相容時，例例(P22 1.)已知已知 P(A+B)=0.7, P(A)=0.4,在下列兩種情況下，在下列兩種情況下，求求 P(B). (1)當(dāng)事件當(dāng)事件A與與B互不相容時；互不相容時；(2)當(dāng)事件當(dāng)事件A與與B獨立時獨立時. (2)當(dāng)當(dāng)事件事件A與與B獨立時，則獨立時，則P(AB) = P(A)P(B)= 0.4 P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)- -P(AB) 0.7=0.4+P(B)-0.4P(B) 故故 P(B)=0.7- -0.4=0.3P(B)

53、=0.5 .P(A+B)=P(A)+P(B)2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率60事件的獨立事件的獨立與與互不相容互不相容的聯(lián)系：的聯(lián)系： 設(shè)兩事件設(shè)兩事件A、B滿足：滿足：0P(A)1, 0P(B)0.說明事件說明事件A與與B能同時發(fā)生，即能同時發(fā)生，即A、B相容相容.等價命題：若等價命題：若A與與B不相容，則不相容，則A、B必不獨立必不獨立.（不相容必不獨立）（不相容必不獨立）2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率61二、二、Bernoulli 概型概型若試驗若試驗 E 的的樣本空間

54、樣本空間 = A , A ,則稱則稱E為為貝努里試驗貝努里試驗 .將試驗將試驗E獨立重復(fù)進行獨立重復(fù)進行n次，稱為次，稱為n重重Bernoulli試驗試驗.且在且在n重重Bernoulli試驗中，試驗中，P(A)=p保持不變保持不變.問題：在問題：在n重貝努里試驗中重貝努里試驗中,事件事件A發(fā)生發(fā)生k次的概率次的概率(0 k n)？引例：一批產(chǎn)品的廢品率為引例：一批產(chǎn)品的廢品率為0.1,每次取一個每次取一個,觀察后放回觀察后放回,下一次再取下一次再取一個一個,共重復(fù)取三次共重復(fù)取三次,求下列事件的概率求下列事件的概率: (1)三次都沒有取到廢品的概三次都沒有取到廢品的概率；率；(2)三次恰有一

55、次取到廢品的概率；三次恰有一次取到廢品的概率；(3)三次恰有兩次取到廢品三次恰有兩次取到廢品的概率；的概率；(4)三次都取廢品的概率三次都取廢品的概率.解：解：Ai表示三次中恰有表示三次中恰有i次取到廢品（次取到廢品（i= =0，1，2，3）（1）P(A0)=P(正，正，正正，正，正)= 0.93 =30039 . 01 . 0C2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率62 （2）A1=(廢，正，正廢，正，正)+(正，廢，正正，廢，正)+(正，正，廢正，正，廢)P(A1)=P(廢，正，正廢，正，正)+P(正，廢，正正，廢，正)+P(正，正，廢正

56、，正，廢)1230.1 0.9C引例：一批產(chǎn)品的廢品率為引例：一批產(chǎn)品的廢品率為0.1,每次取一個每次取一個,觀察后放回觀察后放回,下一次再取下一次再取一個一個,共重復(fù)取三次共重復(fù)取三次,求下列事件的概率求下列事件的概率: (1)三次都沒有取到廢品的概三次都沒有取到廢品的概率；率；(2)三次恰有一次取到廢品的概率；三次恰有一次取到廢品的概率；(3)三次恰有兩次取到廢品三次恰有兩次取到廢品的概率；的概率；(4)三次都取廢品的概率三次都取廢品的概率.= 0.10.90.9 + 0.90.10.9 + 0.90.9 0.1(3)P(A2)= P(廢，廢，正廢，廢，正) + P(廢，正，廢廢，正，廢)

57、 + P(正，廢，廢正，廢，廢)= 0.10.10.9 + 0.10.90.1 + 0.90.1 0.12230.10.9C（4）P(A3)=P(廢，廢，廢廢，廢，廢)33030.10.9C= 0.13 一般地，有如下定理：一般地，有如下定理：2021年年7月月12日日自考概率論課件第一章事件及其概率自考概率論課件第一章事件及其概率63 定理定理1-1 設(shè)設(shè)P(A)=p，則在則在n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A恰好恰好發(fā)生發(fā)生k次的概率為：次的概率為： ( )kkn knnP kC p q(其中其中q=1-p,k=0,1,n)注：注：A至少發(fā)生一次的概率為：至少發(fā)生一次的概率為：0001nnC p q1nq 例例1-35 一射手對目標(biāo)獨立射擊一射手對目標(biāo)獨立射擊4次，每次射擊命中率為次，每次射擊命中率為0.8，求求: (1)恰好命中兩次的概率；恰好命中兩次的概率；(2)至少命中一次的概率至少命中一次的概率.解：設(shè)解：設(shè)A“命中命中”,則則P(A)=0.8，n=4.(1)224 244(2)0.8 0.2PC=0.1536(2)所求概率所求概率p=4444(1)(2)(3)(4)PPPP41(0)P 4