第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試試卷A卷答案

1、第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷（a卷）答案第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)b（）期末考試試卷（a卷）答案一填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請(qǐng)將合適的答案填在空中 1設(shè)，則 _ 解： 由，得，所以， 應(yīng)填： 2交換累次積分的順序 _ 解： 應(yīng)填： 3設(shè)，則_ 解： ，所以， ，所以，而， 應(yīng)填： 4設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，且，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_ 解： 由于冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，且，所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 應(yīng)填： 5微分方程的通解為_ 解： 這是一個(gè)可分離變量的微分方程，由，得，兩端積分，得，得所以，即 （為任意常數(shù)） 應(yīng)填： （為任意常數(shù)）二選擇填空題

2、（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）以下每道題有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)選出合適的答案填在空中，多選無效 1函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)的【 】 （a）充分條件； （b）必要條件； （c）充分必要條件； （d）既不是必要，也不是充分條件 解： 由二元函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，可知：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)的既非必要，也非充分條件 應(yīng)選：（d） 2設(shè)是平面上以、為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分，則積分等于【 】 （a）； （b）； （c）； （d） 解： 將平面區(qū)域分成兩個(gè)小區(qū)域與，是以、為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，是以、為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域則

3、由于區(qū)域是關(guān)于軸對(duì)稱的，則 前一個(gè)積分中的被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，而后一個(gè)積分中的被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，所以 又由于區(qū)域是關(guān)于軸對(duì)稱的，則 前一個(gè)積分中的被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，而后一個(gè)積分中的被積函數(shù)也是關(guān)于的奇函數(shù)，所以 因此， 應(yīng)選：（a） 3下列級(jí)數(shù)中，屬于條件收斂的是【 】 （a） ； （b） ； （c）； （d） 解： 級(jí)數(shù)是發(fā)散的（因?yàn)槠渫?xiàng)的極限不為0） 級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的（因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂） 級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的（因?yàn)?，而?jí)數(shù)收斂） 級(jí)數(shù)是條件收斂的（因?yàn)榘l(fā)散，而由leibniz判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂） 應(yīng)選：（d） 4設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為 ，再設(shè)的four

4、ier（傅立葉）級(jí)數(shù)的和函數(shù)為，則【 】 （a） ； （b） ； （c） ； （d） 解： 由于，所以， 應(yīng)選：（） 5微分方程的特解的形式為【 】 （a）； （b）； （c）； （d） 解： 微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程是，因此其特征方程為得其解為因此微分方程有形如的特解又微分方程有形如的特解所以，微分方程有形如的特解 應(yīng)選：（d）三（本題滿分7分） 設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試求， 解： ， 四（本題滿分7分） 計(jì)算二重積分 ，其中 解： 作極坐標(biāo)變換，有 五（本題滿分8分） 當(dāng)輪船的前進(jìn)速度為時(shí)，推進(jìn)器停止工作，已知受水的阻力與船速的平方成正比（比例系數(shù)為，其中為常數(shù)，而為船的質(zhì)量

5、）問經(jīng)過多少時(shí)間，船的速度減為原速度的一半？ 解： 由題意，得方程 ，解方程，得 ，由初始條件，得 ，因此，有 當(dāng)時(shí)，即經(jīng)過時(shí)間，船的速度減為原速度的一半六（本題滿分8分） 判別級(jí)數(shù)的斂散性 解： 而 所以，由比值判別法，知級(jí)數(shù)收斂再由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂七（本題滿分8分） 計(jì)算曲面積分其中為曲面 ，取下側(cè) 解： 取平面，取上側(cè)則與構(gòu)成封閉曲面，取外側(cè)令與所圍空間區(qū)域?yàn)椋蒰auss公式，得 八（本題滿分8分） 求微分方程的積分曲線，使該積分曲線過點(diǎn)，且在該點(diǎn)的切線斜率為 解： 這是一個(gè)不顯含自變量的微分方程 設(shè)，則有，代入方程，得 解此方程，得由，得因此有方程 其解為，由，得，因此所求積分曲線為 或 九（本題滿分8分） 選取與，使得成為某一函數(shù)的全微分，并求 解： ， 由，得 即有 解得，所以， 十（本題滿分8分） 過直線作曲面的切平面，求此切平面的方程 解： 過已知直線作平面束方程，即， 其法向量為設(shè)所求切平面的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有 ，解得，或