數(shù)學(xué)分析習(xí)題第十五章多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

1、第十五章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性§1 平面點(diǎn)集1設(shè)是平面點(diǎn)列，是平面上的點(diǎn). 證明的充要條件是，且.2 設(shè)平面點(diǎn)列收斂，證明有界.3 判別下列平面點(diǎn)集哪些是開(kāi)集、閉集、有界集和區(qū)域，并分別指出它們的聚點(diǎn)： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8).4設(shè)是閉集，是開(kāi)集，證明是閉集，是開(kāi)集.5證明開(kāi)集的余集是閉集.6設(shè)是平面點(diǎn)集. 證明是的聚點(diǎn)的充要條件是中存在點(diǎn)列，滿足且.7用平面上的有限覆蓋定理證明致密性定理.8用致密性定理證明柯西收斂原理.9設(shè)是平面點(diǎn)集，如果集合的任一覆蓋都有有限子覆蓋，則稱(chēng)是緊集. 證明緊集是有界閉集.10設(shè)是平面上的有界閉集

2、，是的直徑，即.求證：存在 ，使得.11仿照平面點(diǎn)集，敘述維歐氏空間中點(diǎn)集的有關(guān)概念 (如鄰域、極限、開(kāi)集、聚點(diǎn)、閉集、區(qū)域、有界以及一些基本定理等).12敘述并證明三維空間的波爾察諾魏爾斯特拉斯致密性定理.§2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性1敘述下列定義： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2求下列極限（包括非正常極限）： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ；(13) ；(14) .3討論下列函數(shù)在點(diǎn)的全面極限和兩個(gè)累次極限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6)

3、 ；(7) ；(8) .4敘述并證明二元函數(shù)極限的局部有界性定理和局部保號(hào)性定理.5敘述并證明存在的柯西收斂準(zhǔn)則.6試作出函數(shù)，使當(dāng)時(shí)，(1) 全面極限和兩個(gè)累次極限都不存在；(2) 全面極限不存在，兩個(gè)累次極限存在但不相等；(3) 全面極限和兩個(gè)累次極限都存在.7討論下列函數(shù)的連續(xù)范圍：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) (6) (7) ；(8) (9) .8若在某區(qū)域內(nèi)對(duì)變量連續(xù)，對(duì)變量滿足利普希茨條件，即對(duì)任意和，有，其中為常數(shù)，求證在內(nèi)連續(xù). 9證明有界閉集上二元連續(xù)函數(shù)的最值定理和一致連續(xù)性定理. 10設(shè)二元函數(shù)在全平面上連續(xù)，求證： (1) 在全平面有界； (2) 在全平面一致連續(xù). 11證明：若分別對(duì)每一變量和是連續(xù)的，并