瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則

1、 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別與無(wú)窮積分的3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別則與比較判別法等.性質(zhì)與收斂判別相類(lèi)似,并有相應(yīng)的柯西準(zhǔn)定理定理11.7 （瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則）（瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則）2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx ( )d ()baf xxa瑕瑕積積分分瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為收收斂斂的的充充要要條條件件是是證證( )( )d ,( , ),( )dbbuaf uf xx ua bf xx設(shè)設(shè)則則lim( ).uaf u收收斂斂的的充充要要條條件件是是存存在在 由由函函數(shù)數(shù)收收斂斂的的1212,( ,)()(),u ua af uf u ，120,0,( ,)u

2、ua a 任任給給存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于0,0, 2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx 即即性質(zhì)性質(zhì)11212,ffxa kk設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)與與的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)同同為為1122( )( )d,bak fxk fxx也也收收斂斂 且且12,( )d( )d,bbaafxxfxx為為任任意意常常數(shù)數(shù) 若若和和都都收收斂斂 則則1122( )( )dbak fxk fxx1122( )d( )d .bbaakf xxkf xx性質(zhì)性質(zhì)2 ,( , ),fxaca b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)若若則則( )d( )d,bcaaf xxf xx與

3、與同同時(shí)時(shí)收收斂斂或或同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散 且且( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx性質(zhì)性質(zhì)3,( , fxa fa b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為在在的的任任一一,(),( ) d,bau buaf xx閉閉區(qū)區(qū)間間 上上可可積積 則則收收斂斂時(shí)時(shí)( )d,( )d( ) d .bbbaaaf xxf xxf xx也也收收斂斂 且且定理定理11.8 (非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法)( , ( ),a bf x若若定定義義在在上上的的非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)在在任任意意閉閉區(qū)區(qū)間間 , (),( )dbau buaf xx上上可可積積 則則收收斂斂的的充充要要條

4、條件件( , ,( )d.bumua bf xxm是是: :存存在在，對(duì)對(duì)任任意意定理定理11.9 (比較法則比較法則)( , ,a bfg設(shè)設(shè)定定義義在在上上的的兩兩個(gè)個(gè)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)與與瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)同同, , ( , xau ba b為為在在任任何何上上都都可可積積, ,且且滿(mǎn)滿(mǎn)足足( )( ),( , .f xg xxa b( )d,( )d;bbaag xxf xx則則當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)必必定定收收斂斂( )d,( )d.bbaaf xxg xx發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)必必定定發(fā)發(fā)散散 , ()fgu baub若若非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)和和在在任任何何推論推論1 則則且且上上可可積積,lim,cxgxfax

5、 (i) 0( )d( )d;bbaacf xxg xx 時(shí)時(shí)，與與收收斂斂性性相相同同(ii)0( )d( )d;bbaacg xxf xx時(shí)時(shí)，收收斂斂可可推推得得收收斂斂(iii)( )d( )d.bbaacf xxg xx 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散可可推推得得發(fā)發(fā)散散 , ( , u ba b在在任任何何上上可可積積. .則則有有1(i)( ),01,( )d()bpaf xpf xxxa當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂; ;1(ii)( ),1,( )d.()bpaf xpf xxxa當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散推論推論2( , ,fa ba設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)定定義義在在上上為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn) 且且推論推論3( , ,fa

6、ba設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)定定義義于于為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn) 且且在在任任 , ( , lim()( ),pxau ba bxaf x 何何上上可可積積. .若若則則(i)01,0( )dbapf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，收收斂斂; ;(ii)1,0( )d.bapf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散 sin tan arcsin arctanxxxxx利利用用可以判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分的收斂性可以判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分的收斂性. ln(1) e1 (0),xxx例例12313sind.1lnxxxx判判別別瑕瑕積積分分的的收收斂斂性性1,x 解解 瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為1 321 333sin1sin.ln(1)(1)ln(11

7、)1xxxxxxxx由于由于21 33sinsin10(1),(1)3xxxx而而1 31 34 3111,(1)ln(11)(1)(1)(1)xxxxx224 33311dsind.(1)1lnxxxxxx因因此此由由發(fā)發(fā)散散知知發(fā)發(fā)散散例例210lnd.xxx判判別別瑕瑕積積分分的的收收斂斂性性解解0ln0(0,1).xxx是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn), ,由由于于3/ 41 400lnlimlimln0,xxxxxxx 1100lnln3dd.xxxxxx因因此此由由推推論論 知知收收即即, ,收收斂斂斂斂10( )d1axaxx 的的收收斂斂性性. .11101( )dd11aaxxaxxxx (i)

8、( ).10,1;i aaa先先討討論論當(dāng)當(dāng)即即時(shí)時(shí)它它是是定定積積分分討論反常積分討論反常積分例例3( )a 把把反反常常積積分分寫(xiě)寫(xiě)成成解解( )( ).i aj a11.3321,1paa因因此此由由定定理理的的推推論論 , ,當(dāng)當(dāng)即即12limlim1,11aaxxxxxxxaa 00 a 1a 1i (a)發(fā)散發(fā)散收斂收斂定積分定積分j (a)收斂收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散 (a)發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散發(fā)散1, ( ),:j a 時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散. .綜綜上上所所述述 總總結(jié)結(jié)如如下下1, ( );21,1j apaa 且且時(shí)時(shí)收收斂斂 而而當(dāng)當(dāng)即即且且( )01.aa 所所以以, ,只只有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)才才是是收收斂斂的的復(fù)習(xí)思考題1.試給出瑕積分的狄利克萊判別法和阿貝爾判別法試給出瑕積分的狄利克萊判別法和阿貝爾判別法.2.( ) , ).f xa bb設(shè)設(shè)為為上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù), , 為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn) 試試問(wèn)問(wèn)當(dāng)當(dāng)2( ) d,( )d?bb