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文檔簡介

§1.5 行列式展開定理一、余子式，代數余子式的定義在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，留下來的階行列式叫做的余子式，記作；記叫做元素的代數余子式。例如四階行列式中元素的余子式與代數余子式分別為：二、行列式的按行（列）展開法則定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即：或證明：1）d經過次行對換得再經過次列對換得：所以。3）根據引理即得：。類似地，若按列證明可得：推論：行列式某一行（列）的元素與另一行列的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即： 或證明：在上式中把換成可得：當時，上式右端行列式中有兩行對應元素相同，故行列式等于零，即：上述證法按列證明即可得： 或三、綜合舉例例1.計算行列式解：d=例2. 設： d的元的余子式和代數余子式依次記作和，求。解：因為等于用1，1，1，1代替d的第一行所得的行列式，即=4例3：計算行列式d=按最后一列展開得：d例4：計算行列式解：從第4行開始后行減前行例5：證明范德蒙行列式證明：用數學歸納法：因為所以時命題成立。假設命題對于階行列式成立，要證明命題對n階范德蒙行列式也成立。設法把降階，從第n行開始，后一行減前一行的倍得：按第1行展開，并把每一列的公因子提出，有，按歸納假設，上式右端等于所有因子的乘積，其中，故例6：計算2n階行列式其中

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