層次分析法AHPANP與熵值法帶例子和軟件操作說明PPT課件

1、一、AHP 層次分析法（AHP）是美國著名的運(yùn)籌學(xué)家Satty等人在20世紀(jì)70年代提出的將一種定性和定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法。這一方法的特點(diǎn)是在對復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素以及內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后，構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為求解多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題，提供一種簡便的決策方法。具體的說，它是指將決策問題的有關(guān)元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，用一種標(biāo)度對人的主觀判斷進(jìn)行客觀量化，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性和定量分析的一種決策方法。他把人的思維過程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量的依據(jù)。它尤其適合于

2、人的定性判斷起主要作用的、對決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的場合。第1頁/共47頁 應(yīng)用層次分析法時(shí)，首先要把問題層次化。根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的目標(biāo)，將問題分解為不同組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響及其隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型。并最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為最底層，相對于最高層目標(biāo)的相對重要性權(quán)值的確定或相對優(yōu)劣次序的排序問題。在排序計(jì)算中，每一層次的因素相對上一層次某一因素的單排序問題又可簡化為一系列成對因素的判斷比較。為了將比較判斷定量化，層次分析法引入了1-9標(biāo)度法，并寫成判斷矩陣形式。形成判斷矩陣后，即可通過計(jì)算判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，計(jì)算

3、出某一層對于上一層次某一個(gè)元素的相對重要性權(quán)值。在計(jì)算出某一層次相對于上一層次各個(gè)因素的單排序權(quán)值后，用上一層次因素本身的權(quán)值加權(quán)綜合，即可計(jì)算出層次總排序權(quán)值?？傊?，依次由上向下即可計(jì)算出最低層因素相對于最高層的相對重要性權(quán)值或相對優(yōu)劣次序的排序值。第2頁/共47頁AHP的模型與步驟假設(shè)某一企業(yè)經(jīng)過發(fā)展，有一筆利潤資金，要企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用。企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)經(jīng)過實(shí)際調(diào)查和員工建議，現(xiàn)有如下方案可供選擇： （1）作為獎(jiǎng)金發(fā)給員工； （2）擴(kuò)建員工宿舍、食堂等福利設(shè)施； （3）辦員工進(jìn)修班； （4）修建圖書館、俱樂部等； （5）引進(jìn)新技術(shù)設(shè)備進(jìn)行企業(yè)技術(shù)改造。從調(diào)動員工工作積極性、提高員工文化技術(shù)

4、水平和改善員工的物質(zhì)文化生活狀況來看，這些方案都有其合理因素。如何使得這筆資金更合理的使用，就是企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)所面臨需要分析的問題。第3頁/共47頁（1）構(gòu)造層次分析結(jié)構(gòu)資金合理使用 A調(diào)動職工積極性 B1提高企業(yè)技術(shù)水平 B2改善職工生活 B3C1 發(fā)獎(jiǎng)金C2 擴(kuò)建福利設(shè)施C3 辦職工進(jìn)修班C4 建圖書館等C5 引進(jìn)新設(shè)備目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層 每一層次中的元素一般不超過9個(gè)，因同一層次中包含數(shù)目過多的元素會給兩兩比較判斷帶來困難。第4頁/共47頁（2）構(gòu)造判斷矩陣 判斷矩陣的一般形式性質(zhì)性質(zhì)：（：（1）Cij0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1此時(shí)，矩陣為正反矩陣。若對于任意此時(shí)，矩陣為正

5、反矩陣。若對于任意i、j、k，均，均有有Cij*Cjk=Cik，則，則C為一致矩陣。為一致矩陣。1211 11 2122 12 2212knnnnnnn nBCCCCCCCCCCCCCCC第5頁/共47頁 1-9標(biāo)度方法1/9i元素比j元素極端不重要91/7i元素比j元素強(qiáng)烈不重要81/5i元素比j元素明顯不重要71/3i元素比j元素稍不重要69i元素比j元素極端重要57i元素比j元素強(qiáng)烈重要45i元素比j元素明顯重要33i元素比j元素稍重要21i，j兩元素同等重要1Cij賦值重要性等級序號注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其間。第6頁/共47頁對于上述例子，假定企對于上述

6、例子，假定企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)對于資金使用業(yè)領(lǐng)導(dǎo)對于資金使用這個(gè)問題的態(tài)度是：這個(gè)問題的態(tài)度是：首先是提高企業(yè)技術(shù)首先是提高企業(yè)技術(shù)水平，其次是改善員水平，其次是改善員工物質(zhì)生活，最后是工物質(zhì)生活，最后是調(diào)動員工的工作積極調(diào)動員工的工作積極性。則準(zhǔn)則層對于目性。則準(zhǔn)則層對于目標(biāo)層的判斷矩陣標(biāo)層的判斷矩陣A-B為：為：AB1B2B3B111/51/3B2513B331/3111/51/351331/31A第7頁/共47頁 同樣，可得：1123471/313251/5 1/311/2 11/4 1/22131/7 1/5 1/2 1/3 1B21 1/7 1/3 1/571533 1/511/35 1/231

7、B3113311331/3 1/3111/3 1/311B第8頁/共47頁（3）判斷矩陣的一致性檢驗(yàn) 判斷矩陣的一致性，是指專家在判斷指標(biāo)重要性時(shí)，各判斷之間協(xié)調(diào)一致，不致出現(xiàn)相互矛盾的結(jié)果。出現(xiàn)不一致在多階判斷的條件下，極容易發(fā)生，只不過是不同的條件下不一致的程度上有所差別而已。 根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍绻麧M足： 則為A的特征值，并且對于所有aii=1，有Axx1niin第9頁/共47頁 顯然，當(dāng)矩陣具有完全一致性時(shí)， 其余特征根均為0；而當(dāng)矩陣A不具有完全一致性時(shí)，則有 ，其余特征根2，3，n有如下關(guān)系：nmax1nmax1max2niin第10頁/共47頁 上述結(jié)論告訴我們，當(dāng)判斷矩陣不能保

8、證具有完全一致性時(shí)，相應(yīng)判斷矩陣的特征根也將發(fā)生變化，這樣就可以用判斷矩陣特征根的變化來檢驗(yàn)判斷的一致性程度。因此，在層次分析法中引入判斷矩陣最大特征根以外的其余特征根的負(fù)平均值，作為度量判斷矩陣偏離一致性的指標(biāo)，即用： 檢查決策者思維的一致性。CI值越大，表明判斷矩陣偏離完全一致性的程度越大；CI值越?。ń咏?），表明判斷矩陣的一致性越好。max1nCIn第11頁/共47頁 當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，CI=0； 當(dāng)判斷矩陣具有滿意一致性時(shí)，需引入判斷矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI值。對于1-9階判斷矩陣，RI值如下： 當(dāng)階數(shù)大于2時(shí)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比

9、稱為隨機(jī)一致性比率CR，當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則需要調(diào)整判斷矩陣。1234567890.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45第12頁/共47頁（4）層次單排序 理論上講，層次單排序計(jì)算問題可歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的最大特征根及其特征向量的問題。但一般來說，計(jì)算判斷矩陣的最大特征根及其對應(yīng)的特征向量，并不需要追求較高的精確度，因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧碛邢喈?dāng)?shù)恼`差范圍。而且，應(yīng)用層次分析法給出的層次中各種因素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來說是表達(dá)某種定性的概念。因此，一般用迭代法在計(jì)算機(jī)上求得近似的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量。在此給出計(jì)算矩陣最大特

10、征根及其對應(yīng)特征向量的方根法的計(jì)算步驟：第13頁/共47頁 計(jì)算判斷矩陣每一行元素的乘積Mi 計(jì)算Mi的n次方根 對向量 正規(guī)化（歸一化處理）iW1niijjMa niiWM12,TnWW WW1iinjjWWW第14頁/共47頁則 即為所求的特征向量。 計(jì)算判斷矩陣的最大特征根其中，（AW）i表示向量AW的第i個(gè)元素。12,TnWW WWm a x1niiiA Wn W第15頁/共47頁 對于判斷矩陣A，其計(jì)算結(jié)果為：p 對于判斷矩陣B1，其計(jì)算結(jié)果為：max0.1050.637 ,3.308,0.019,0.58,0.0330.258WCIRICR0.4910.232,max5.126,0

11、.032,1.12,0.0280.0920.1380.046WCIRICR第16頁/共47頁 對于判斷矩陣B2，其計(jì)算結(jié)果為： 對于判斷矩陣B3，其計(jì)算結(jié)果為：max0.5500.564,4.117,0.039,0.90,0.0430.1180.263WCIRICRmax0.4060.406,4,0,0.90,00.0940.094WCIRICR第17頁/共47頁（5）層次總排序?qū)哟蜝層次CB1B2B3總排序W0.1050.6370.258C10.49100.4060.157C20.2320.0550.4060.164C30.0920.5640.0940.393C40.1380.1180.09

12、40.113C50.0460.26300.17231ji jjbc第18頁/共47頁（6）決策 企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)根據(jù)上述分析結(jié)果，決定各種考慮方案的實(shí)施先后次序，或者決定分配企業(yè)留成利潤的比例。第19頁/共47頁算例 有5個(gè)指標(biāo)：X1對X2明顯重要；X1對X3強(qiáng)烈重要；X1對X4同等重要；X1對X5稍不重要。采用AHP方法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重。列出判斷矩陣15711/31/5121/51/81/71/211/71/915711/338931A第20頁/共47頁一致性檢驗(yàn)求最大特征根：在此采用MATLAB軟件求取A=1,5,7,1,1/3;1/5,1,2,1/5,1/8;1/7,1/2,1,1/7,1/9;1,

13、5,7,1,1/3;3,8,9,3,1B，D=eig（A）則：B = -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 -0.7071 -0.0633 - 0.0182i -0.0633 + 0.0182i 0.2303 -0.0000 -0.0063 - 0.0620i -0.0063 + 0.0620i -0.1231 -0.0000 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 0.7071 0.9339 0.9339 0.8799 0.0000 D = 0 0 0 0 0 -0.0177 + 0.7618i

14、 0 0 0 0 0 -0.0177 - 0.7618i 0 0 0 0 0 -0.0786 0 0 0 0 0 -0.0000 第21頁/共47頁maxCI=(maxRI（5）因此，通過一致性檢驗(yàn)。求得權(quán)重權(quán)重即為最大特征根對應(yīng)的特征向量W=0.3697,0.0906, 0.0595,0.3697,0.8455進(jìn)行歸一化后的結(jié)果，w=W./sum(W) =0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873第22頁/共47頁二、ANP（網(wǎng)絡(luò)分析法） AHP是基于以下幾個(gè)假設(shè)進(jìn)行決策的，而這幾個(gè)假設(shè)與某些實(shí)際決策問題有背離：（1）將決策系統(tǒng)分為若干層次，上層元素對下層元素起支配

15、作用，同一層元素之間是相互獨(dú)立的，但實(shí)際上，一般各層內(nèi)部的元素之間都存在依存關(guān)系，同時(shí)下層對上層也有反支配（反饋）的作用；（2）決策問題可分為多個(gè)層次，上層元素對下層元素起控制，同一層次的元素間相互獨(dú)立，不存在內(nèi)部的相互依賴性。而實(shí)際決策問題中某些指標(biāo)往往存在相互影響；（3）各個(gè)層次間只是存在相鄰兩個(gè)層次間自上向下的影響作用，沒有考慮下層對上層的反作用。非相鄰層次間的相互影響也沒有考慮。而在實(shí)際決策中下層元素對上層元素有反作用（反饋）。ANP則取消了這些假定，在理論上允許決策者考慮復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)中各要素的相互作用，從而更符合決策問題的實(shí)際情況。第23頁/共47頁ANP基本結(jié)構(gòu)目標(biāo)準(zhǔn)則P1準(zhǔn)則Pn

16、元素組C1元素組C2元素組C3元素組C4元素組C5控制層網(wǎng)絡(luò)層第24頁/共47頁ANP的超矩陣算法 設(shè)網(wǎng)絡(luò)ANP中控制層的元素為P1,P2,Ps, Pm，網(wǎng)絡(luò)層有元素組為C1,C2,Ci,Cj,CN。其中Ci有元素ei1,ei2,eini。 構(gòu)造超矩陣如下，其中行表示匯，列表示源。針對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的相互作用和反饋信息，基于源對匯中的元素進(jìn)行兩兩比較，求解源對于匯的相對偏好和重要性。第25頁/共47頁1212121 112 1211 111 11 2112 122 12 222112NNNnnNN nNnNnNNNN NNN nCCCeeeeeeeCWWWeeCWWWWeeWWWCe第26頁/共4

17、7頁 超矩陣W的每一元素Wij都是基于一個(gè)兩兩判斷比較矩陣獲得的歸一化特征向量，列和為1，但是，W不是歸一化矩陣，為此，以控制元素ps為準(zhǔn)則，對控制元素ps下的各元素組對各元素組Cj的重要性進(jìn)行比較，得到一個(gè)歸一化的排序向量：1111NNNNaaAaa第27頁/共47頁 把矩陣把矩陣A與與W相乘得到加權(quán)超矩陣：相乘得到加權(quán)超矩陣： 在網(wǎng)絡(luò)分析法在網(wǎng)絡(luò)分析法ANP中，為了反映元素之間的依中，為了反映元素之間的依存關(guān)系，加權(quán)超矩陣存關(guān)系，加權(quán)超矩陣W需要做一個(gè)穩(wěn)定處理，需要做一個(gè)穩(wěn)定處理，即計(jì)算極限相對排序向量：即計(jì)算極限相對排序向量： 如果極限收斂且唯一，則如果極限收斂且唯一，則W的第的第j列就

18、是控制列就是控制元素下網(wǎng)絡(luò)層各元素對于元素元素下網(wǎng)絡(luò)層各元素對于元素j的極限相對排序。的極限相對排序。ijijWa W 1lim (1/)NKNkNW第28頁/共47頁ANP的決策步驟 1.基于網(wǎng)絡(luò)模型中各要素間的相互作用，進(jìn)行兩兩比較； 2.確定未加權(quán)超矩陣（基于兩兩判斷矩陣，使用特征向量法獲得歸一化特征向量值，填入超矩陣列向量）； 3.確定超矩陣中各元素組的權(quán)重（保證各列歸一）； 4.計(jì)算加權(quán)超矩陣； 5.計(jì)算極限超矩陣；（使用冪法，即求超矩陣的n次方，直到矩陣各列向量保持不變）。第29頁/共47頁案例選車維修成本耐用性美國車日本車歐洲車控制層網(wǎng)絡(luò)層第30頁/共47頁成本美國車歐洲車日本車

19、特征向量美國車1530.637歐洲車1/511/30.105日本車1/3310.258CR=0.033維修美國車歐洲車日本車特征向量美國車1520.582歐洲車1/511/30.109日本車1/2310.309CR=0.003第31頁/共47頁耐用性美國車歐洲車日本車特征向量美國車11/51/30.105歐洲車5130.637日本車31/310.258CR=0.033美國車成本 維修耐用性特征向量成本1340.634維修1/3110.192耐用性1/4110.174CR=0.008第32頁/共47頁歐洲車成本 維修耐用性特征向量成本111/20.25維修111/20.25耐用性2210.50C

20、R=0.008日本車成本 維修耐用性特征向量成本1210.40維修1/211/20.20耐用性1210.40CR=0.000第33頁/共47頁再考慮成本、維修和耐用性之間的相互影響，得到三者的權(quán)重矩陣如下：成本維修耐用性成本維修耐用性0.30.550.1第34頁/共47頁 得到初始超矩陣成本維修耐用性美國車歐洲車日本車成本0.6340.250.4維修0.1920.250.2耐用性0.30.550.10.1740.250.4美國車0.6370.5820.105000歐洲車0.1050.1090.637000日本車0.25

21、80.3090.258000第35頁/共47頁 假定A=0.5,1;0.5,0,則加權(quán)超矩陣：成本維修耐用性美國車歐洲車日本車成本0.6340.250.4維修0.20.1250.150.1920.250.2耐用性0.150.2750.050.1740.250.4美國車0.3190.2910.053000歐洲車0.0530.0550.319000日本車0.1290.1550.129000第36頁/共47頁將加權(quán)超矩陣穩(wěn)定處理，即自乘4-6次，得到穩(wěn)定的極限超矩陣。（注意，每一步自乘之前需要將列向量歸一化，否則加權(quán)超矩陣會越變越小，不會收斂）成本成本維修維修耐用性耐用性美國車美

22、國車歐洲車歐洲車日本車日本車成本成本0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 0.282 維修維修0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 0.184 耐用性耐用性0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 0.193 美國車美國車0.159 0.159 0.159 0.159 0.159 0.159 0.159 0.159 0.

23、159 0.159 0.159 0.159 歐洲車歐洲車0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 0.089 日本車日本車0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 0.093 ANP決策結(jié)果表明：美國車是最優(yōu)選擇，成本是決定性因素。第37頁/共47頁軟件：Superdecision第38頁/共47頁圖 元素組權(quán)重矩陣第39頁/共47頁權(quán)重矩陣第40頁/共47頁三、熵值法 熵的概念源于熱力學(xué)，是對系統(tǒng)狀態(tài)不確定性的一種度量。在信息論中，信息是系統(tǒng)有序程度的一種度量。而熵是系統(tǒng)無序程度的一種度量，兩者絕對值相等，但符號相反。根據(jù)此性質(zhì)，可以利用評價(jià)中各方案的固有信息，通過熵值法得到各個(gè)指標(biāo)的信息熵，信息熵越小，信息的無序度越低，其信息的效用值越大，指標(biāo)的權(quán)重越大。第41頁/共47頁 熵是不確定性的度量，如果用Pj表示的j個(gè)信息不確定度（也即出現(xiàn)的概率）則整個(gè)信息（設(shè)有n個(gè)）的不確定度量也可用下式表示： 這就是熵。其中K為正常數(shù)，當(dāng)各個(gè)信息發(fā)生的概率相等時(shí)，即Pj=