數(shù)理方法總復(fù)習(xí)2013

1、數(shù)學(xué)物理方法課程總結(jié)建議：復(fù)習(xí)鞏固以下知識點建議：復(fù)習(xí)鞏固以下知識點+重溫重溫例題和作業(yè)例題和作業(yè)+自主補充復(fù)習(xí)和練習(xí)自主補充復(fù)習(xí)和練習(xí)教學(xué)目的：n既是物理學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課又是一門工具課。n掌握本課程所涉及的數(shù)學(xué)方法、技巧去解決物理學(xué)中的一些問題。 留數(shù)理論解決反常積分； 分離變量法求解三類數(shù)理方程的有界問題； 積分變換法求解無界問題；格林函數(shù)法解決各類問題。n提高邏輯思維能力，分析及解決問題的能力。對所學(xué)物理知識加深理解、融會貫通。知識要點：n熟悉復(fù)變函數(shù)論中與實變函數(shù)論相平行的一些概念，如：連續(xù)、極限、可導(dǎo)等。n掌握解析函數(shù)的概念及重要性質(zhì)，級數(shù)展開的方法和利用留數(shù)理論計算積分特別是計算

2、實積分的方法。n掌握求解偏微分方程的各種解法。n特殊函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。n兩個求解積分方法 柯西理論 留數(shù)理論n級數(shù)展開復(fù)變函數(shù)論-解析函數(shù) 三個方程三個方程： 波動方程波動方程 輸運方程輸運方程 穩(wěn)定場方程穩(wěn)定場方程 三個解法三個解法： 分離變量法分離變量法 積分變換法積分變換法 格林函數(shù)法格林函數(shù)法 兩個特殊函數(shù)兩個特殊函數(shù)： 球函數(shù)球函數(shù) 柱函數(shù)柱函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程主要內(nèi)容：n第一篇：復(fù)變函數(shù)論 第一章解析函數(shù)、第二章解析函數(shù)積分、第三章復(fù)變函數(shù)級數(shù)、第五章留數(shù)理論n第二篇：數(shù)學(xué)物理方程 第六章定解問題、第八章分離變量法、第九章積分變換法、第十章格林函數(shù)法n第三篇：特殊函數(shù) 第十四章勒讓德多項

3、式第一章 解析函數(shù)1、復(fù)數(shù)的表示形式：n復(fù)數(shù)的代數(shù)式代數(shù)式:z=x+iyn復(fù)數(shù)的三角式三角式:n復(fù)數(shù)的指數(shù)式：指數(shù)式：x xy yA Ar rc ct ta an ny yx x2 22 2，ize例題例題：將：將 寫成三角形式及指數(shù)形式寫成三角形式及指數(shù)形式31 isincosiz2、復(fù)數(shù)的運算規(guī)則1212()1212()12122/(/)(0)i ArgzArgzi ArgzArgzzzzz ezzzzez20,12 .2argzkimmmkmzz e，inArgznnezz 例題例題：31 i) 1-,.(1 , 0mk 1sin()21cos()2izizizizzeeizee歐拉公式

4、歐拉公式: 3、復(fù)變函數(shù)的區(qū)域n鄰域：n內(nèi)點、外點、邊界、邊界正向；n區(qū)域：n閉區(qū)域、單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域。n例題：（1） ， 。n （2） ；（3）21ezzR且的鄰域。的點集稱為zzzz00；的線連接可用全和zz，且，設(shè)全由內(nèi)點組成；212100.2.1zz若點集zarg221 z22ziz1z2z3z4、柯西-黎曼條件 (函數(shù)可導(dǎo)必要條件) (其中f(z)=u+iv) 5、解析：函數(shù)f(z)=u+iv在z0點及其鄰域上處處可導(dǎo),則稱f(z)在z0點解析。在區(qū)域B上每一點都解析,則稱f(z)是在區(qū)域B上的解析函數(shù)。yuxvyvxu6、解析函數(shù)的性質(zhì): 1.若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B

5、上解析,則 ，說明 ( 為常數(shù)) 是B上的兩組正交曲線族。2.若函數(shù)在區(qū)域B上解析,則u,v均為B上的調(diào) 和函數(shù),即 ，且由C-R聯(lián)系著。 12( , ), ( , )u x yC v x yC12,C C0vu0,0vu例題: 已知某解析函數(shù)f(z)的虛部為v=x+y，求實部和這個解析函數(shù)。第二章 解析函數(shù)積分（7個公式）n1、單連通區(qū)域柯西定理： 如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域上解析,則沿其上任意一分段光滑閉合閉合曲線L(也可以是的邊界),有2、復(fù)連通區(qū)域柯西定理：如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù),則 . lnklkdzzfdzzf1)()(lzdzf0)(3、單通區(qū)域的Cauc

6、hy公式：alHzf上連續(xù)，在設(shè)),()(則ldzazzfiaf)(21)(4、復(fù)通區(qū)域的科西公式)()(HzfL設(shè) 為 的邊界復(fù)圍線，在 上連續(xù)，則 nkkllL1lnklkdzzfdzzfizf1)()(21)(5、解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)設(shè) 滿足科西公式存在的條件，則在內(nèi)有：)(,zfllnndzfinzf1)()()(2!)(的長度。lszfMMsdsdzdzzfdzzfll, )(,)()(6、積分估計值定理M為為f(z)在在l上的最大值上的最大值lnnniazdz1,01,2)(7、l是包含a的任意正向簡單閉曲線。 計算復(fù)變函數(shù)的圍道積分n步驟：（1）判斷被積函數(shù)有無奇點，有何奇點；（

7、2）判斷圍道內(nèi)有無奇點，有何奇點；（3）適當選擇公式。例題：21 -511zdzz、求411-3z2zdzzz、求3、求33) 1)(1(1zdzzzzI11sin44adzzzaz，、求第三章 復(fù)變函數(shù)級數(shù)n一、無窮級數(shù)n二、泰勒級數(shù)與羅朗級數(shù)n三、孤立奇點的分類一、無窮級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) 0kkf復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù))(zfkk 0,)(0kkkbza均與相應(yīng)的實級數(shù)具有類似均與相應(yīng)的實級數(shù)具有類似的相關(guān)概念、定理和性質(zhì)。的相關(guān)概念、定理和性質(zhì)。,Rbz kkkkkkaaaR11limlim。定斂散性不,當發(fā)散;,當11lllffkkk1lim絕對收斂;1時當則,

8、0lfkk二、泰勒級數(shù)與羅朗級數(shù)泰勒級數(shù)羅朗級數(shù)展開式收斂域與解析函數(shù)的關(guān)系性質(zhì)展開方法二者關(guān)系,)()(kkkbzazf 0,)()(kkkbzczf ,Rbzr ,Rbz Rbzkkkbza)(0!)()(kbfakk lkkdbfic 121)()(是羅朗展開的正則部是羅朗展開的正則部是泰勒展開的推廣是泰勒展開的推廣在收斂域內(nèi)絕對收斂，在較小的閉域內(nèi)一致收斂。在收斂域內(nèi)絕對收斂，在較小的閉域內(nèi)一致收斂。1.直接用展開定理展開；直接用展開定理展開；)()(RbzHzfRbzrkkkbzc)()()(RbzrHzf2.利用已知級數(shù)展開式展開利用已知級數(shù)展開式展開常用的級數(shù)展開公式：常用的級數(shù)

9、展開公式：1,110zzzkkzkzekkz,!0zkzzkkk,)!12()1(sin012zkzzkkk,)!2()1(cos02三、孤立奇點的分類奇點類型b 展開 式Rbzbzckkk0 ,)(zRzckkk,可去奇點m階極點本性奇點無負冪無負冪有有m m項負冪項負冪有無限項負冪有無限項負冪無正冪無正冪有有m m項正冪項正冪有無限項正冪有無限項正冪習(xí)題：n一、確定冪級數(shù)的收斂半徑n二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)n三、將函數(shù)展開為羅朗級數(shù)n四、判斷奇點的類型一、確定冪級數(shù)的收斂半徑2、求冪級數(shù) 的收斂半徑。0kkkz1、判斷級數(shù) 的斂散性。1321kki3、求級數(shù) 的收斂半徑。02221kkkz

10、二、將函數(shù)展開為級數(shù) zzzf-11101 z）（將函數(shù)在下列區(qū)域中展開為級數(shù)。 1103 z）（12z）（11-4z）（三、判斷奇點的類型步驟：1、判斷何點為奇點2、判斷奇點是孤立奇點還是非孤立奇點3、對于孤立奇點判斷奇點的類型?)(lim)(zfabz）（本性不定，可去有限，極，若)()()()(lim)(bbbzfbz階極點。為點階為以有限非則當為極點若mbmbzfzgzfbzbzzzfbbmbzm0)(1)(0)()(lim)()()(,)( 若 但 則稱 為函數(shù) 的 級零點。)(zga, 0)()()()() 1( agagagagm, 0)()(agmm附: 解析函數(shù)的零點： 設(shè)函

11、數(shù) 在解析區(qū)域 內(nèi)一點 的值為零，即 ，則稱 為解析函數(shù)的 零點。 zgaa zg 0agzzzzzzzzzz?0,1sin)(3 ?0,sin1)2( ?1:1) 1(3？，習(xí)題： 0,sin4zzzzf）（n利用留數(shù)定理計算積分第四章 留數(shù)理論（1）積分環(huán)路內(nèi)存在被積函數(shù)的孤立奇點，將此積分歸結(jié)為被積函數(shù)在環(huán)路所圍區(qū)域內(nèi)各孤立奇點的留數(shù)和。（2）復(fù)雜的實積分：將實積分與一復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分聯(lián)系起來。習(xí)題求解n一、計算留數(shù)n二、用留數(shù)定理計算圍道積分n三、計算實積分一、計算留數(shù) )0( ,RbzbzCzfzfbkkk則的孤立奇點為若 處的留數(shù)。在孤立奇點為的系數(shù)稱bzfCbz1111),()

12、(CbzfresCbresf或記一、計算留數(shù))( )()()(lim ,)()(!11)()(21)resf( )(21)(z1111kkkbkbznknnkllkbbzfbznbzfbzdzdnbresfdzzfiCdzzfiCbresfkkk階極點）（1n 0resres1fbfnkk一、計算留數(shù)（可去）（本性），（單極點）zzzzzzz0,1sin)(2 1:1) 1( （可去）（0,sin3zzzzf1,11-)4(2zzzz在二、用留數(shù)定理計算圍道積分1 、留數(shù)定理 nkklbfidzzf1res2上連續(xù)，則解析，在外單值內(nèi)除有有限個孤立奇點在設(shè)lnkbzfk), 2 , 1()(二

13、、用留數(shù)定理計算圍道積分azdzzz31cos1a?sin123zdzz三、用留數(shù)定理計算實積分用留數(shù)定理計算實積分的要領(lǐng)：;,)(. 11lbadxxfba復(fù)平面中實軸上的一段為的積分路徑視所要計算的積分klnkkkdzzflllnkl易于計算；，且閉合圍道使，幾段曲線在復(fù)平面內(nèi)補充一段或)()()(), 3 , 2(. 221.)(. 3ldzzf數(shù)的圍道積分用留數(shù)定理計算復(fù)變函), ,(lba面中的閉合圍道變?yōu)閺?fù)平上的一段或做變量代換，使實軸1、無窮積分 dxxf 0Im1res2znkkbfidxxf 則時外單值解析，且當（中除有奇點在在實軸上無奇點若, 0)(), 2 , 10Im,

14、zfzznkbzzfk1、無窮積分 dxxf 實軸上nkkznkkbfibfidxxf10Im1resres2 則時且當外單值解析，（中除有有限個孤立奇點在點在實軸上有有限個單極若, 0)(), 2 , 10Im,zfzznkbzzfk 則時外單值解析，且當（中除有奇點在在實軸上無奇點若0, 0)(), 2 , 10Im,pzfznkbzzfk 為偶函數(shù)；)(,rescos10Im0 xfebfipxdxxfnkzipbkk nkzipbkxfebfpxdxxfk10Im0)(,ressin為奇函數(shù)。 0sincos2dxpxpxxf、dzizizzzzRdRz1)2,2(sin,cos201

15、11 nkzkbfi11res2, iez 令令izdzd d,R20sincos3 3、20sin,cosdR,2sin,2cos11izzzz 則則4、練習(xí)n利用留數(shù)理論計算實積分：dxx211)2(-211) 1 (dxx022)(cos3dxbxx）（20cos25)4(d第六章 定解問題hufuautt2fuDut波動方程輸運方程泊松方程一、 三類數(shù)學(xué)物理方程： h- h-與源有關(guān)的已知量，與源有關(guān)的已知量，u-u-表示穩(wěn)定物理量表示穩(wěn)定物理量 - -波動， -波速， -與源有關(guān)的函數(shù)auf濃度， -系數(shù)， -與源有關(guān)的已知量uDf0u 2、求解：3、分析解答：二、用數(shù)理方法研究問題

16、的步驟1、寫出定解問題三、定解條件定解條件初始條件邊界條件其它條件1、初始條件：弦振動:)(|)(|00 xuxuttt熱傳導(dǎo):)(|0 xut2、邊界條件：第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件),(|tMfu邊),(|tMfun邊),(| )(tMfhuun邊3、典型習(xí)題：0|,0|0lxxuu兩端固定弦的橫振動:tlxeTu0|桿的導(dǎo)熱問題:桿的縱振動問題:一端固定，另一端單位面積受力為F(t),/|EFulxx0|0 xu寫出下兩種情況的桿的導(dǎo)熱問題的邊界條件。（1）桿的兩端溫度為0（2）桿的兩端絕熱0,00lxxuu0,00lxxxxuu)()tlxa度為端有熱量流出，熱流密kt

17、xulx)(|第八章 分離變量法n中心內(nèi)容:用分離變量法求解各種有界問題 掌握分離變量法的解題思想、解題步驟及其核心問題本征值問題 （齊次方程，齊次邊界條件） 掌握在球坐標系中對 的分離變量及所得到的特殊函數(shù)微分方程0u分離變量法的解題步驟為： 對齊次方程和齊次邊界條件分離變量 解常微分方程的本征值問題 解其它變量的常微分方程 疊加，用初始條件（或非齊次邊界條件)定系數(shù)分離變量法要領(lǐng)是，令 tT.zZyYxXz,.ty,x,u 從而將偏微分方程變成常微分方程 求解。 3xu,xu20u0,u1lx0,uau0tt0tlx0 xxx2tt xuxutuulxuautttlxxxxxxtt0002

18、,0, 0, 00, 0一、齊次方程、齊次邊界條件的分離變量法本征值：0)1(2222 RlldrdRrdrRdr本征函數(shù)： , )(rR22),1(,),1(mllmll ,.2 , 1 , 0,02 mm 0sin)1()(sinsin122 mlldddd01) 1(2)1 (222 yxmllyxyx0u二、在球坐標系中的分離變量)()()(),( rRru 令連帶勒讓德方程應(yīng)該選擇坐標系，使所研究問題的邊界面和一個或幾個坐標面重合。邊界：長方形 球 圓柱坐標：“直” “球” “柱”三、第十四章 勒讓德多項式二、有關(guān)特殊函數(shù)性質(zhì)一、在球坐標中 的解0uv本章主要內(nèi)容： rRuu令一、0

19、)()(012102xpxyyllyxyxml 0)1(000)1(cos)(cos)(sincosllllllmllmmlllllmlmlPrdrcPrdrcmBmAu mBmAmmmmsincos02)1(2)(0) 1(2 llllrdrcrRRllRrRr )(01121)(222xpxyyxmllyxyxml 二、勒讓德多項式的性質(zhì) xPxPxPllll1112. 2 0121. 111xPlxPxlxPllll ,.,2 , 1 , 0,12211lkldxxPxPklkl3、廣義傅氏展開 0lllxPCxf 11212dxxPxflCll1、遞推公式2、正交性例題： ?:11300199dxxPxP問0 1128?dxxP17