平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示優(yōu)質(zhì)課

1、課題：課題： 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)導(dǎo)航：平面向量基本定理告訴我們，平面內(nèi)所有向量可以用平面的一組基底表示出來(lái)，以化歸與轉(zhuǎn)化為思想達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目標(biāo)；那么恰當(dāng)?shù)倪x擇基底（盡可能特殊化的基底），將帶來(lái)更加便利的向量表示及運(yùn)算。我期待ing,你呢？昨天的記憶昨天的記憶平面向量基本定理：平面向量基本定理：12121 122 +e eaaee 如果 、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)線(xiàn)的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、，可使不共12e e 這里不共線(xiàn)的向量 、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.1122 +aee 1122 +aee 這就是說(shuō)平面內(nèi)任

2、一向量 都可以表示成的形式把一個(gè)向量分解為兩個(gè)把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直互相垂直的向量，叫作把的向量，叫作把向量正交分解向量正交分解1F G2F 重力產(chǎn)生兩個(gè)效果，一是木塊受平行于重力產(chǎn)生兩個(gè)效果，一是木塊受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力生垂直于斜面的壓力. .也就是說(shuō)，重力的也就是說(shuō)，重力的效果等價(jià)于和得合力效果，即效果等價(jià)于和得合力效果，即 G1F 2F G12.GFF =+1F 2F 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量做把向量. .如圖，向量如圖，向量是兩個(gè)互相垂是兩

3、個(gè)互相垂直且長(zhǎng)度分別為直且長(zhǎng)度分別為2 2，1 1的向量，向量的向量，向量與與的夾角的夾角是是3030，且，以向量，且，以向量為基底，向量為基底，向量如何表示？如何表示？1e1ea4a aB BO OA AP Pa1e2,e1e2,e有何優(yōu)越性？表示的結(jié)果是什么，的長(zhǎng)度都為若該題中的基底?1,21aeeABCDoxyija如圖，如圖， 是分別與是分別與x軸、軸、y軸方向相同軸方向相同的單位向量，若以的單位向量，若以 為基底，則為基底，則, i j , i j .a a = i +xjyxy對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，可使 i i = =j j = =0 0 = =（1，0

4、）（0，1）（0，0）( , )ax y其中，其中，x叫做叫做 在在x軸上的坐標(biāo)，軸上的坐標(biāo)，y叫做叫做 在在y軸上的軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示. .aa這樣，平面內(nèi)的任一向量這樣，平面內(nèi)的任一向量 都可由都可由x，y唯唯一確定，我們把（一確定，我們把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）的（直角）坐標(biāo)，記作坐標(biāo)，記作aaABCDoxyija概念理解概念理解OxyAijaxya = xi +yjOA = xi +yj1以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)為起點(diǎn)作作 ，點(diǎn)，點(diǎn)A的的位置由誰(shuí)確定位置由誰(shuí)確定?OAa 由由唯一確定唯一確定.a2點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的

5、關(guān)系？的坐標(biāo)的關(guān)系？?jī)烧呦嗤瑑烧呦嗤蛄肯蛄孔鴺?biāo)（坐標(biāo)（x ，y）一一 一一 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng)OxyAijaxyaa例例1.如圖，分別用基底如圖，分別用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它們的坐標(biāo)。它們的坐標(biāo)。ijabcd AA1A2解：如圖可知解：如圖可知1223aAAAAij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐標(biāo)嗎？的坐標(biāo)嗎？1122( ,),(,)ax ybxy,ab aba 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算： 兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)

6、坐標(biāo)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的坐標(biāo)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的坐標(biāo)例例.如圖，已知如圖，已知 ，求，求 的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。1122( ,), (,)A x yB xyAB xyOBA解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,)xx yy 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。思考思考:你能在上圖中標(biāo)出坐標(biāo)為你

7、能在上圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的點(diǎn)嗎？的點(diǎn)嗎？例例2.已知已知 ，求，求 的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。(2,1),( 3,4)ab ,34ab abab 例例3.如圖，已知如圖，已知 的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），試求頂點(diǎn)），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。ABCDABCDxyO解法：設(shè)點(diǎn)解法：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx yxyABDC 且且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以頂點(diǎn)所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)

8、為（2，2）例例4.如圖，已知如圖，已知 的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），試求頂點(diǎn)），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。ABCDABCDxyO解法解法例例4.如圖，已知如圖，已知 的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），試求頂點(diǎn)），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。ABCDABCDxyO解法解法2解法解法2：由平行四邊形法則可得：由平行四邊形法則可得( 2( 1),1 3)(3( 1),43)(3, 1) BDBABC 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) ODOBBD 所以頂點(diǎn)所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（2，2）ABCDoxyija小結(jié)小結(jié)1 :平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示如圖，如圖， 是分別與是分別與x軸、軸、y軸方向相同軸方向相同的單位向量，若以的單位向量，若以 為基底，則為基底，則, i j , i j +aaijxyxy 對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ，可使 這里，我們把（這里，我們把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐標(biāo)，記作的（直角）坐標(biāo)，記作a( , )ax y其中，其