1995年考研數學三真題及全面解析

1、1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設,則 .(2) 設,可導,則 .(3) 設,則 .(4) 設,是的伴隨矩陣,則 .(5) 設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本,其中參數和未知,記則假設的檢驗使用統(tǒng)計量_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1) 設為可導函數,且滿足條件,則曲線在點處的切線斜率為 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 下列廣義積分發(fā)散的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3)

2、 設矩陣的秩為,為階單位矩陣,下述結論中正確的是 ( )(A) 的任意個行向量必線性無關(B) 的任意一個階子式不等于零(C) 若矩陣滿足,則(D) 通過初等行變換,必可以化為的形式(4) 設隨機變量和獨立同分布,記,則隨機變量與必然( )(A) 不獨立 (B) 獨立 (C) 相關系數不為零 (D) 相關系數為零(5) 設隨即變量服從正態(tài)分布,則隨的增大,概率 ( )(A) 單調增大 (B) 單調減少 (C) 保持不變 (D) 增減不定三、(本題滿分6分)設,試討論在處的連續(xù)性和可導性. 四、(本題滿分6分)已知連續(xù)函數滿足條件,求.五、(本題滿分6分)將函數展成的冪級數,并指出其收斂區(qū)間.六

3、、(本題滿分5分)計算.七、(本題滿分6分)設某產品的需求函數為,收益函數為,其中為產品價格,為需求量(產品的產量),為單調減函數.如果當價格為,對應產量為時,邊際收益,收益對價格的邊際效應,需求對價格的彈性.求和.八、(本題滿分6分)設、在區(qū)間()上連續(xù),為偶函數,且滿足條件(為常數).(1) 證明；(2) 利用(1)的結論計算定積分.九、(本題滿分9分)已知向量組()；()；(),如果各向量組的秩分別為,.證明:向量組的秩為4.十、(本題滿分10分)已知二次型.(1) 寫出二次型的矩陣表達式；(2) 用正交變換把二次型化為標準形,并寫出相應的正交矩陣.十一、(本題滿分8分)假設一廠家生產的

4、每臺儀器,以概率0.70可以直接出廠；以概率0.30需進一步調試,經調試后以概率0.80可以出廠；以概率0.20定為不合格品不能出廠.現該廠新生產了臺儀器(假設各臺儀器的生產過程相互獨立).求： (1) 全部能出廠的概率；(2) 其中恰好有兩臺不能出廠的概率； (3) 其中至少有兩臺不能出廠的概率.十二、(本題滿分8分)已知隨機變量和的聯合概率密度為求和聯合分布函數.1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.) (1)【答案】【解析】由于所以 .(2)【答案】【解析】根據復合函數求導法則, ,.所以 .【相關知識點】復合函數求導法則：的

5、導數為.(3)【答案】【解析】在中令,則,從而.(4)【答案】【解析】由,有,故.而 ,所以 .(5)【答案】【解析】假設檢驗是統(tǒng)計推斷的另一個基本問題,它是根據具體情況和問題的要求,首先提出原假設,再由樣本提供的信息,通過適當的方法來判斷對總體所作的假設是否成立.首先分析該題是屬于一個正態(tài)總體方差未知的關于期望值的假設檢驗問題.據此類型應該選取檢驗的統(tǒng)計量是,經過化簡得 .【相關知識點】假設檢驗的一般步驟：(1) 確定所要檢驗的基本假設；(2) 選擇檢驗的統(tǒng)計量,并要求知道其在一定條件下的分布；(3) 對確定的顯著性水平,查相應的概率分布,得臨界值,從而確定否定域；(4) 由樣本計算統(tǒng)計量,

6、并判斷其是否落入否定域,從而對假設作出拒絕還是接受的判斷.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因 所以應選(D).(2)【答案】(A)【解析】由計算知,且泊松積分 ,故應選(A).注：對于本題選項(A),由于當時,故在積分區(qū)間中是瑕點,反常積分應分解為兩個反常積分之和:,而且收斂的充要條件是兩個反常積分與都收斂.由于廣義積分 ,即發(fā)散,故發(fā)散. 在此不可誤以為是奇函數,于是,從而得出它是收斂的錯誤結論.(3)【答案】(C)【解析】表示中有個列向量線性無關,有階子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正確.經初等變換可把化成標準形,一般應當

7、既有初等行變換也有初等列變換,只用一種不一定能化為標準形.例如,只用初等行變換就不能化成的形式,故(D)不正確.關于(C),由知,又,從而,按定義又有,于是,即.故應選(C).(4)【答案】(D)【解析】 .由于和同分布, 因此,于是有.由相關系數的計算公式 ,所以與的相關系數也為零,應選(D).【相關知識點】協(xié)方差的性質：；.(5)【答案】(C)【解析】由于將此正態(tài)分布標準化,故,計算看出概率的值與大小無關.所以本題應選(C).三、(本題滿分6分)【解析】這是一道討論分段函數在分界點處的連續(xù)性和可導性的問題.一般要用連續(xù)性與可導性的定義并借助函數在分界點處的左極限與右極限以及左導數和右導數.

8、,故,即在處連續(xù).即,故在處可導,且.四、(本題滿分6分)【解析】首先,在變上限定積分中引入新變量,于是.代入題設函數所滿足的關系式,得 .在上式中令得,將上式兩端對求導數得.由此可見是一階線性方程滿足初始條件的特解.用同乘方程兩端,得,積分即得.由可確定常數,于是,所求的函數是.五、(本題滿分6分)【解析】由知.因為 ,其收斂區(qū)間為；又 ,其收斂區(qū)間為.于是有 ,其收斂區(qū)間為.【相關知識點】收斂區(qū)間：若冪級數的收斂半徑是正數,則其收斂區(qū)間是開區(qū)間；若其收斂半徑是,則收斂區(qū)間是.六、(本題滿分5分)【解析】方法一：本題中二重積分的積分區(qū)域是全平面,設,則當時,有.從而.注意當時,；當時,.于是

9、,且 由于,從而可得.同理可得.于是 .方法二：設,則圓域當時也趨于全平面,從而.引入極坐標系,則當與時,；當時,.于是 .由此可得 七、(本題滿分6分)【解析】本題的關鍵在于和之間存在函數關系,因此既可看作的函數,也可看作的函數,由此分別求出及,并將它們與彈性聯系起來,進而求得問題的解.由是單調減函數知,從而需求對價格的彈性,這表明題設應理解為.又由是單調減函數知存在反函數且.由收益對求導,有,從而 ,得.由收益對求導,有,從而 ,于是.八、(本題滿分6分)【解析】(1)由要證的結論可知,應將左端積分化成上的積分,即,再將作適當的變量代換化為在上的定積分.方法一：由于 ,在中令,則由,得,且

10、,所以 .方法二：在中令,則由,得,且 .所以 (2)令,可以驗證和符合(1)中條件,從而可以用(1)中結果計算題目中的定積分.方法一：取,.由于滿足,故 .令,得,即.于是有 .方法二：取,于是.(這里利用了對任何,有)以下同方法一.九、(本題滿分9分)【解析】因為,所以線性無關,而線性相關,因此可由線性表出,設為.若 ,即 ,由于,所以線性無關.故必有解出.于是線性無關,即其秩為4.十、(本題滿分10分)【解析】(1)因為對應的矩陣為,故的矩陣表示為.(2)由的特征方程 ,得到的特征值為.由得基礎解系,即屬于的特征向量.由得基礎解系,即屬于的特征向量.由得基礎解系,即屬于的特征向量.對于實對稱矩陣,特征值不同特征向量已正交,故只須單位化,有那么令 ,經正交變換,二次型化為標準形.十一、(本題滿分8分)【解析】對于新生產的每臺儀器,設事件表示“儀器需要進一步調試”,表示“儀器能出廠”,則“儀器能直接出廠”,“儀器經調試后能出廠”.且,與互不相容,應用加法公式與乘法公式,且由條件概率公式,有 .設為所生產的臺儀器中能出廠的臺數,則服從二項分布.由二項分布的概率計算公式,