海南大學(xué) 數(shù)字信號處理課件(第三版)第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計

1、第第6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計6.6 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 1. 數(shù)字濾波器的分類 數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(II

2、R)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z(6.1.1) (6.1.2) 圖6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222 2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示： ()()()jjjH eH ee圖6.1.2 低通濾波器的技術(shù)要求通帶過渡帶阻帶|H(ejw)|0通帶通帶過渡帶過渡帶阻帶阻帶p s sd dpd d 1 1+p

3、通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：00()20lg()()20lg()psjpjjsjH edBH eH edBH e(6.1.3) (6.1.4) 如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：20lg()20lg()psjpjsH edBH edB (6.1.5) (6.1.6) 3. 數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述 IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進(jìn)行的。其設(shè)計步驟是：先設(shè)計模擬濾波器得到傳

4、輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 6.2 模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。 圖6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c 1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo) 及逼近方法 模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有p, p,s和s。

5、其中p和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶(=0p)中的最大衰減系數(shù)，s是阻帶s的最小衰減系數(shù)，p和s一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj(6.2.1) (6.2.2) 如果=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示為 以上技術(shù)指標(biāo)用圖6.2.2表示。圖中c稱為3dB截止頻率，因 2210lg()10lg()papsasHjHj (6.2.3) (6.2.4) ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB模擬低通濾波器的典型幅度指標(biāo)模擬低通濾波器的典型幅度指標(biāo)例如：通帶最大衰

6、耗為0.01dB，阻帶最小衰耗為70的dB，則相應(yīng)的幅度誤差分別為0.00115、0.0003162.AF-LP歸一化幅度指標(biāo)歸一化幅度指標(biāo)圖6.2.2 低通濾波器的幅度特性 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此2()( )()()()aasjaaHjHs HGsHjHj (6.2.5) 2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(6.2.6) 圖6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系 將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s

7、的函數(shù)： 21( )()1()aaNcHs Hssj(6.2.7) 此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje (6.2.8) 圖6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點分布 為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)。 Ha(s)的表示式為10( )()NcaNkkHsss設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)： 32233( )()()()aajjccc

8、Hssss 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。 令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為101( )()aNkkccHsss(6.2.10) 101( )()aNkkHppp(6.2.11) 式中，pk為歸一化極點，用下式表示： 將極點表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示： 1 21()22,0,1,1kjNkpekN(6.2.12)/10/10221()101()10psapN

9、caNsc 將=s代入(6.2.6)式中，再將|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14) (6.2.15) 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak ,則N由下式表示： lglgspspkN (6.2.16) 用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(6.2.15)式得到： (

10、6.2.17)(6.2.18) 總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下： (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s，用(6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。 (2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。 表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 例6.2.1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數(shù)N。 0

11、.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 按照(6.2.12)式，其極點為3455016523754,jjjjjsesesesese按照(6.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為401( )()akkHppp 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到： 極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb 式 b0=1.0000,b1=3.236

12、1,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。 按照(6.2.17)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 將c代入(6.2.18)式，得到：將p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb 我們這里僅介紹切比雪夫型濾波器的設(shè)計方法。圖6.2.5分別畫出階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時的切比雪夫型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2()表示： 22221()()1()aNpAHjC (6.2

13、.19) 圖6.2.5 切比雪夫型濾波器幅頻特性 式中，為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，愈大，波動幅度也愈大。p稱為通帶截止頻率。令=/p，稱為對p的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為cos(arccos ),1( )(),1NNxxCxch NArchxx當(dāng)N=0時，C0(x)=1；當(dāng)N=1時，C1(x)=x；當(dāng)N=2時，C2(x)=2x 21；當(dāng)N=3時，C3(x)=4x 33x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為 C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20) 圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時的切比雪夫多項式特性。 由圖可

14、見： (1)切比雪夫多項式的過零點在|x|1的范圍內(nèi)； (2)當(dāng)|x|1時，|CN(x)|1,在|x|1時，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。 圖6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多項式曲線 按照(6.2.19)式，平方幅度函數(shù)與三個參數(shù)即,p和N有關(guān)。其中與通帶內(nèi)允許的波動大小有關(guān)，定義允許的通帶波紋用下式表示： 2max2min2maxmin2()10lg()1()1,()1AAAd(6.2.21) 因此 220.110lg(1)101dd (6.2.22) 圖6.2.7 切比雪夫型與巴特沃斯低通的A2()曲線 設(shè)阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用s表示，在s處的A2(s)用(6.2.

15、19)式確定： 2221()1()ssNPAC(6.2.23) 令s=s/p，由s1，有22211()()1()111()()1111()NsssssspsCch NArchAArchANArchArchNA (6.2.24) (6.2.25)可以解出 3dB截止頻率用c表示，22221()2()1,1()()ccNccpNccACCch NArch 按照(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式： 11( )cpchArchN (6.2.26) 以上p,和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha(p)，p=s/p。求解的過程請參考有關(guān)資料。下面僅介紹一

16、些有用的結(jié)果。 設(shè)Ha(s)的極點為si=i+ji，可以證明： 2221()1()ssNpAC(6.2.23) 令s=s/p，由s1，有22111()()1111()ssspsArchANArchArchNA (6.2.24) (6.2.25) 上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式：11( )cpchArchN (6.2.26) 設(shè)Ha(s)的極點為si=i+ji，可以證明：21sin()2,1,2,3,21cos()2ipipichNiNichNd (6.2.27) 式中 22222211( )1iippArshNshshd(6.2.28) (6.2.28)式是一個橢圓方程，長半軸為p

17、ch(在虛軸上)，短半軸為psh(在實軸上)。令bp和ap分別表示長半軸和短半軸，可推導(dǎo)出： 111121()21()2111NNNNaa(6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 圖6.2.8 三階切比雪夫濾波器的極點分布 設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點分布如圖6.2.8所示(極點用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點構(gòu)成Ha(p)，即11( )()aNiiHpcpp(6.2.32) 式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為111( )2()aNNiiHppp(6.2.33a) 按照以上分析，下面介紹切比

18、雪夫型濾波器設(shè)計步驟。 1) 確定技術(shù)要求p,p,s和s p是=p時的衰減系數(shù)，s是=s時的衰減系數(shù)，它們?yōu)?去歸一化后的傳輸函數(shù)為11( )2()NpaNNipiHssp(6.2.33b) 22110lg()110lg()ppssAA(6.2.34) (6.2.35) 這里p就是前面定義的通帶波紋，見(6.2.21)式。歸一化頻率 2) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù) 由(6.2.19)式，得到： 1,spsp222211()()11()()NppNssCACA 將以上兩式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到： 0.122220.12220.120.1101()1cos ( arccos1

19、)1101()1()101()101psspNpNsssCnCchNArchchNArch 令 0.1110.11111101101()()spaasskch NArchkArch kNArch(6.2.36) (6.2.37) 這樣，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)。 按照(6.2.22)式求，這里p=。 +2=10 0.11 3) 求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p) 為求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出歸一化極點pk,k=1,2,:,N。 11/(21)(21)sincos221( )2()( )( )pkaNNiiaap

20、skkpchjchNNHsppHsHp 將極點pk代入(6.2.33)式，得到： 4) 將Ha(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即 (6.2.38) (6.2.39) 例6.2.2設(shè)計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=60dB。 解 (1) 濾波器的技術(shù)要求： 0.1,260,21,4ppppssspspdBfdBfff (2) 求階數(shù)N和：110.1110.10.10.01()()1016553101(6553)9.474.6,5(4)2.061011010.1526sppsaaaArch kNA

21、rchkArchNNArch (3) 求Ha(p):5(5 1)11( )0.1526 2()aiiHppp由(6.2.38)式求出N=5時的極點pi，代入上式，得到：2211( )2.442(0.5389)(0.33311.1949)0.87200.6359aHpppppp (4)將Ha(p)去歸一化，得到：/7261427141( )( )(1.0158 10 )(6.2788 104.2459 10 )11.6437 102.2595 10paap sHsHpsssss 4.模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計 為了防止符號混淆，先規(guī)定一些符號如下： 1) 低通到高通的頻

22、率變換 和之間的關(guān)系為 上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉(zhuǎn)換：1(6.2.41) 1()()H jG j(6.2.40) 圖6.2.9 低通與高通濾波器的幅度特性 模擬高通濾波器的設(shè)計步驟如下： (1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率p，阻帶上限頻率s，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s。 (2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)：按照(6.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項設(shè)計指標(biāo)為： 低通濾波器通帶截止頻率p=1/p； 低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s； 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。 (3)設(shè)計歸一化低通

23、濾波器G(p)。 (4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.40)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/c代入H(q)中，得 例6.2.3 設(shè)計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。( )( )cpsH sG p(6.2.42) 解 高通技術(shù)要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率1,0.5pspsccffff低通技術(shù)要求：11,23,15psspsdBdB 設(shè)計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故0.10.1321010.181012lg2.4

24、7,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模擬高通H(s)： 2) 低通到帶通的頻率變換 低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。 33223( )( )222cpcccscpsH sG psssf 112220/,/,/sssslluuluBBBB 圖6.2.10 帶通與低通濾波器的幅度特性 表6.2.2 與的對應(yīng)關(guān)系 由與的對應(yīng)關(guān)系，得到：2202201upul由表6.2.2知p對應(yīng)u，代入上式中，有 (6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于 pj 將(6.

25、2.43)式代入上式，得到：220220pjqpq將q=j代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：22()()( )( )luulluulspsspsH sG p (6.2.44) (6.2.45)上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率u，帶通下限頻率l下阻帶上限頻率 s1 ,上阻帶下限頻率 s2 通帶中心頻率20=lu，通帶寬度B=ul與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：121220,sslssluuluBBBB (2) 確定歸一化低通技術(shù)要求： s與-s的絕對值可能不相等，一般取絕對

26、值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。 (3) 設(shè)計歸一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。 22222010211,sspssss 例6.2.4 設(shè)計模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2200rad/s，中心頻率0=21000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻帶最小衰減s=15dB。 解 (1) 模擬帶通的技術(shù)要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/

27、s; 0=5,s1=4.15,s2=6 (2) 模擬歸一化低通技術(shù)要求：222220103211,1.833,1.874sspsss 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)設(shè)計模擬歸一化低通濾波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有0.10.11010.181011.833lg2.83lgpsspssppspspkkN 取N=3，查表6.2.1，得232()1( )221( )( )luulspsG ppppH sG p (4) 求模擬帶通H(s)： 23652242330042224610000( )2(32)(4)(32)2SH ss B sBBsBB sBsBs 3) 低通到帶阻

28、的頻率變換 低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。 圖6.2.11 低通與帶阻濾波器的幅頻特性 圖中，l和u分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，s1和s2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，0為阻帶中心頻率，20=ul，阻帶帶寬B=ul，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表6.2.3 與的對應(yīng)關(guān)系 根據(jù)與的對應(yīng)關(guān)系，可得到： 且ul=1，p=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=j，并去歸一化，可得 上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。 220(6.

29、2.46) 2220()ululsBspss (6.2.47) 220( )( )sBpsH sG p(6.2.48) 下面總結(jié)設(shè)計帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率l,上通帶截止頻率u阻帶下限頻率s1，阻帶上限頻率s2阻帶中心頻率+20=ul，阻帶寬度B=ul它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。 (2) 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即： 取s和s的絕對值較小的s；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。 (3) 設(shè)計歸一化模擬低通G(p)。 (4) 按照(6.2.

30、48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。12222210201,sspssss 例6.2.5 設(shè)計模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。試設(shè)計巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=ul=2200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸一化低通的技術(shù)

31、要求：222101,4.95,4.953,25spssspsdBdB (3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p):0.10.121010.05621014.95lg1.8,2lg1( )21psspssppspspkkNNG ppp (4) 帶阻濾波器的H(s)為22042240042222240002( )( )2(2)2sBpssssH sG psBBsBs 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響

32、應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t) ( )( )aaHsLT h t 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t(6.3.2) 式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nT

33、Aeu nT(6.3.3)對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6.3.4)設(shè)ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，( )( ) ()aanhth ttnTd 對 進(jìn)行拉氏變換，得到: ( )aht( )( )()()staastansnTHsht edth tnT edtnT e 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 上式表示采樣信號的拉氏變換與相

34、應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：sTze(6.3.6) ( )aht()aHj1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 將s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7) (6.3.8) (6.3.9) 上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標(biāo)

35、準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)jsjzre 按照(6.3.6)式，得到:jTj Treee因此得到:TreT (6.3.10) 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM為任意整數(shù)圖6.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖6.3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 假設(shè) 沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足 按照(6.3.9)式，并將關(guān)系式s=j代入，=T，代入得到： 令()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1()(/),iaNisTijah nTh nTTA

36、H zezH eHjT 一般Ha(s)的極點si是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(6.3.1)式中將一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為1112211()sjs 極點為 (6.3.11) 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實數(shù)乘法)的形式為 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e (6.3.12) 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 極點為 (6.3.13)(6.3.14) 例6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

37、用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj極點為12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的極點為1212,s Ts Tzeze按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到 設(shè)T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzz

38、Hzzz 轉(zhuǎn)換時，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.13)式的形式，如極點s1,2=1j1,則112222111110.5012( )0.6449()()aHsss再按照(6.3.14)式，H(z)為111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz e圖6.3.3 例6.3.1的幅度特性6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字?jǐn)?shù)字低通濾波器低通濾波器 正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： 121tan()2TT (6.4.1) 式中T仍是采樣間隔，當(dāng)1從/T經(jīng)過0變化到/T時，則由經(jīng)過0變化到+，實現(xiàn)了s

39、平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有111212 1()21s Ts TesthTTTe(6.4.2) 再通過 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：1s Tze112 1122zsTzsTzsT(6.4.3) (6.4.4) 下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。 圖6.4.1 雙線性變換法的映射關(guān)系 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有2 1121tan2jjejTeT (6.4.5) 圖6.4.2 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系圖6.4.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射)2/tan(2T)(jeH)(jHpsps缺點：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真缺點：

40、幅度響應(yīng)不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真優(yōu)點：無混疊優(yōu)點：無混疊 設(shè) 112012201211120121212( )2( )( ),( )1kkakkazszkkkkAAsA sA sHsBB sB sB sH zHsCTaa za za zH zb zb zb z 表6.4.1 系數(shù)關(guān)系表 例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 解 首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為1( ),aHssRC 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為 11( )1TH zez 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H

41、2(z)為 111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTTH1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5 例6.4.1圖H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1(z); (b)H2(z) 下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 21tan()2TT 如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為圖6.4.6例6.4.1 圖數(shù)字濾波器H1(z)

42、和H2(z)的幅頻特性 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 例6.4.2 設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2rad時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。 解 (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB;

43、s=0.3rad/s,s=15dB 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取N=6。為求3dB截止頻率c,將p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。 根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp 為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實

44、際的傳輸函數(shù)Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH z

45、zzzzzzz圖6.4.7 例6.4.2圖用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性 (2) 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。為求c,將s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad

46、/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。 根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實際的Ha(s)， 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz圖6.4.8 例6.4.2圖用雙線性變換法設(shè)計的

47、數(shù)字低通濾波器的幅度特性6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計 例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計步驟如下： (1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (2) 將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為 21tan2T (3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。 (4)設(shè)計模擬低通濾波器。 (5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 (6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。 例6.5.1 設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻

48、率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB (2) 模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計算如下： 令T=1，則有12tan6.155/ ,3212tan1.655/ ,32pppsssrad sdBrad sdB (3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計算如下：10.163/ ,36.15510.604/ ,151.655ppssrad sdBrad sdB 將p和s對3dB截止頻率c歸一化，這里c=p, (4)設(shè)計歸一化模擬低通濾波器G(

49、p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：1,3.71spsp0.10.1lglg1010.18031013.711.31,2psspspspssppkNkNN 查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為22221( )21( )2cccG pppG sss 為去歸一化，將p=s/c代入上式得到： (5) 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： 22221( )( )21caccsHsGsss (6)用雙線性變換法將模擬高通H (s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：11121( )( )azszH zHs實際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即111

50、1211 21 21212( )( )0.106(1)0.0653(1)( )1.6241.9470.5661 1.1990.349zszH zG szzH zzzzz 例6.5.2設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為 通帶上截止頻率 u=0.4rad 通帶下截止頻率 l=0.3rad 阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶下截止頻率 s1=0.2rad 通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。

51、(2) 模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下： 設(shè)T=1，則有2211012tan1.453/212tan1.019/212tan2/212tan0.650/21.217/0.434/uullssssululrad srad srad srad srad sBrad s (通帶中心頻率) (帶寬) 將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498; 0=2.804 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)： 歸一化阻帶截止頻率222022.902sss歸一化通帶截止頻率p=1p=3dB,s=18dB (4) 設(shè)計模擬低通濾波器：0.10.11010.1

52、271012.902lg0.1271.940,2lg2.902psspssppkNN 查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),21( )21G ppp (5) 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計算：220()( )( )ulaspsHsG p 11121zsz 將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得11221 221 20021211212224(1)(1)()2(1)()5.484.57.4816.3135.18806190.868(1)1zsululzszzpszzzzzzz 將上面的p等式

53、代入G(p)中，得 2412340.021(12)( )1 1.4912.8481.681.273zzHzzzzz 例6.5.3設(shè)計一個數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率l=0.19,阻帶下截止頻率s1=0.198，阻帶上截止頻率s2=0.202，通帶上限頻率u=0.21，阻帶最小衰減s=13dB，l和u處衰減p=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)： l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB; s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dB (2) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 設(shè)T=1，則有1122112tan0.615/ ,2tan0.685/22

54、112tan0.615/ ,2tan0.685/22lluussssrad srad srad srad s 阻帶中心頻率平方為 20=lu=0.421阻帶帶寬為 B=u-l=0.07rad/s 將以上邊界頻率對B歸一化： l=8.786,u=9.786, s1=9.186,s2=9.386; 20=lu=85.98 (3) 模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 按照(6.2.48)式，有 p=1,p=3dB222204.434,13ssssdB (4) 設(shè)計模擬低通濾波器：0.10.11010.2291014.434lg0.2290.99,1lg4.434psspssppkNN 220220(

55、)( )asBpssBpsHsG p(5) 將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)： (6) 將Ha(s)通過雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。1121 221 202221 221 21200112122(1)4(1)(1)2(1)4(1)(1)0.969(1619)( )( )1 1.5690.939zszzBpzzsBzBpszzzzH zG pzz6.6 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法 1. 零極點累試法 稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意： (1)極點必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復(fù)數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理

56、式的系數(shù)是實的。 圖6.6.1 例6.6.1圖(a)零極點分布； (b)幅度特性 2.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 設(shè)IIR濾波器由K個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示， 121211( )1Kiiiiia zbzH zAc zd z(6.6.1) 式中，A是常數(shù)；ai,bi,ci,di是待求的系數(shù)；Hd(e j)是希望設(shè)計的濾波器頻響。如果在(0，)區(qū)間取N點數(shù)字頻率i,i=1,2,:,N，在這N點頻率上，比較|Hd(e j)|和|H(e j)|，寫出兩者的幅度平方誤差E為21()()iiNjjdiEH eHe(6.6.2) 而在(6.6.1)式中共有(4K+

57、1)個待定的系數(shù)，求它們的原則是使E最小。下面我們研究采用(6.6.1)式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如何求出(4K+1)系數(shù)。 按照(6.6.2)式，E是(4K+1)個未知數(shù)的函數(shù)，用下式表示： 1 1 112( , )TKKKKEEAa bc d aa b c d 上式表示4K個系數(shù)組成的系數(shù)向量。為推導(dǎo)公式方便，令21(),()( , )iijjiddNidiH eHHHeAEAA HH(6.6.3) 為選擇A使E最小，令121NiddefigNiiH HAAH(6.6.4) 設(shè)k是 的第k個分量(ak或bk或ck或dk)，1 ,2(),1,2,4NgiggidikkEAHAA AHkK(6.6.5) 因

58、為 ,式中H*i表示對Hi函數(shù)共軛。 12iiiHHH121112Re22ReiiiiiikkkikiiiiikHHHHHHHHH HHHH (6.6.6) 將上式具體寫成對ak,bk,ck,dk的偏導(dǎo)，得到：211112ReRe1ReRe1jjiiiiiiiiikkikiiiizeikkikiHHHHHHHaHaHzHHHaa zb z(6.6.7) 式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。 同理求得212112212Re1Re1Re1jiijiijiiiiizekkikiiiizekkikiiiizekkikiHzHba zb zHzHcc zd zHzHdc zd z (6.6.8) (6.6.9) (6.6.10) 由于系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù)，極、零點均以共軛成對的形式存在，對于極點z1,一定有下面關(guān)系：11111111112111() ()11()()11jjjjjjjjjjjjez ezezezezezzeezeezzzeezz (6.6.11) 圖6.6.2 例6.6.2圖(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2時的幅度特性 例6.6.2 設(shè)計低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖6.6.2(a)所示。截止頻率s=0.1rad。 解 考慮到通帶和過渡帶的重要，在00.2區(qū)間，每隔0.01