2022年中考數(shù)學(xué)一輪精講精練第21課時《圖形的相似與位似》 (含詳解)

1、第21課時圖形的相似與位似平面直角坐標(biāo)系中的位似變換1.如圖，已知ABC與ABC是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且，若點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C，則AC.相似三角形的判定與性質(zhì)2.如圖，已知AB為O的直徑，AC為O的切線，OC交O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于點(diǎn)E.（1）求證：1CAD；（2）若AEEC2，求O的半徑.（1）證明：AB為O的直徑，ADB90°，ADOBDO90°.AC為O的切線，OAAC，OADCAD90°.OAOD，OADODA.1BDO，1CAD；（2）解：1CAD，CC，CADCDE，CDCACECD，CD2CA·CE.AEEC2，AC

2、AEEC4，CD2.設(shè)O的半徑為x，則OAODx，則在RtAOC中，OA2AC2OC2，x242（2x）2，解得x.O的半徑為.核心考點(diǎn)解讀比例的相關(guān)概念及性質(zhì)1.兩條線段的比：用同一個長度單位去度量兩條線段a，b得到它們的長度，我們把這兩條線段的長度的比叫做這兩條線段的比.2.成比例線段：在四條線段a，b，c，d中，如果其中兩條線段a，b的比，等于另外兩條線段c，d的比，即（或abcd），那么這四條線段的比叫做成比例線段.如果，即b2ac，那么b就是a，c的比例中項.3.比例的性質(zhì)基本性質(zhì)如果，那么adbc（b，d0）合（分）比性質(zhì)如果，那么（b，d0）等比性質(zhì)如果，且b1b2bn0，那么4

3、.黃金分割：如圖，如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比值為.5.平行線分線段成比例基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.相似三角形及其性質(zhì)與判定6.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.7.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.8.相似三角

4、形的判定（1）兩角分別相等的兩個三角形相似；（2）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（3）三邊成比例的兩個三角形相似；（4）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的三角形與原三角形相似；（5）對于兩個直角三角形，除了以上判定方法外，還可以通過得到：一個銳角相等；兩組直角邊對應(yīng)成比例；斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例來判定這兩個直角三角形相似.9.相似多邊形：一般地，兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊長度的比相等，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比或相似系數(shù).圖形的位似變換10.位似圖形：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)所

5、在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心.【溫馨提示】（1）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.（2）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），那么位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（kx，ky）或（kx，ky）.11.找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心.12.位似作圖的步驟（1）確定位似中心、原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)、相似比（即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)）；（2）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；（3）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點(diǎn).1.（定西）

6、已知（a0，b0），下列變形錯誤的是（B）A. B.2a3bC. D.3a2b2.（成都）已知，且ab2c6，則a的值為12.3. （嘉興）如圖，直線l1l2l3， 直線AC交l1， l2， l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF交l1， l2， l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn).已知，則2.4.（）兩三角形的相似比是23，則其面積之比是（C）A. B.23 C.49 D.8275.（永州）如圖，在ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，ADCACB，AD2，BD6，則邊AC的長為（B）A.2 B.4 C.6 D.86.（濱州）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，8），B（10，2），若以原點(diǎn)O為位似中心

7、，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（C）A.（5，1） B.（4，3） C.（3，4） D.（1，5）7.（河池）（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AEBF于點(diǎn)M，求證：AEBF；（2）如圖2，將 （1）中的正方形ABCD改為矩形ABCD，AB2，BC3，AEBF于點(diǎn)M，探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 圖1圖2（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABCC90°，ABBC.AEBF，AMBBAMABM90°.ABMCBF90°，BAMCBF，ABEBCF（ASA），AEBF；（2）解：

8、AEBF.證明：四邊形ABCD是矩形，ABCC90°.AEBF，AMBBAMABM90°.ABMCBF90°，BAMCBF，ABEBCF，AEBF.8.（來賓）如圖，在正方形ABCD中，H為CD的中點(diǎn)，延長AH至F，使AH3FH，過F作FGCD，垂足為G，過F作BC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：ADHFGH；（2）求證：四邊形CEFG是正方形.證明：（1）四邊形ABCD是正方形，ADH90°，ADDC.FGCD，ADHFGH90°.又AHDFHG，ADHFGH；（2）ADHFGH，.AH3FH，3，F(xiàn)GAD，DH3GH.H為CD的中點(diǎn)

9、，DHCH，CG2GH，CD6GH，CGCD，F(xiàn)GCG.FGCD，DCBE，F(xiàn)EBE，四邊形CEFG是正方形.典題精講精練平行線分線段成比例例1如圖，在ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD2AD，DEBC交AC于E，則下列結(jié)論不正確的是（D）A.BC3DEB.C.ADEABCD.SADESABC【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、相似三角形的性質(zhì)解答即可.BD2AD，AB3AD.DEBC，BC3DE，故A結(jié)論正確；DEBC，故B結(jié)論正確；DEBC，ADEABC，故C結(jié)論正確；DEBC，AB3AD，SADESABC，故D結(jié)論錯誤.【點(diǎn)評】本題考查的是平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行

10、線分線段成比例定理、掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.相似三角形的判定與性質(zhì)例2如圖，在ABC中，ABAC，AD為BC邊上的中線，DEAB于點(diǎn)E.（1）求證：BDECAD；（2）若AB13，BC10，求線段DE的長.【解析】（1）由已知可得BC，DEBADC90°即可解決問題；（2）利用面積法：SABDAD·BDAB·DE求解即可.【解答】解：（1）ABAC，AD為BC邊上的中線，ADBC，BC.DEAB，DEBADC90°，BDECAD；（2）由（1）知，ADB90°.在RtADB中，BDBC5，AD12.SABDAD

11、83;BDAB·DE，DE.【點(diǎn)評】本題第（2）問也可以利用（1）中結(jié)論求解.圖形的位似變換例3（中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中，將ABC進(jìn)行位似變換得到A1B1C1.（1）A1B1C1與ABC的相似比是2；（2）畫出A1B1C1關(guān)于y軸對稱的A2B2C2；（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b）為ABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后，點(diǎn)P在A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（2a，2b）.【解析】（1）根據(jù)位似圖形可得相似比即可；（2）根據(jù)軸對稱圖形的畫法畫出圖形即可；（3）根據(jù)兩次變換的坐標(biāo)變化規(guī)律得出坐標(biāo)即可.【解答】解：（1）A1B1C1與ABC的相似比為2.（2）如圖所示；（3）點(diǎn)P（a，b

12、）為ABC內(nèi)一點(diǎn)，依次經(jīng)過上述兩次變換后，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，2b）.【點(diǎn)評】此題考查作圖問題，關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱圖形的畫法和位似圖形的性質(zhì)分析.1.（云南）如圖，已知ABCD，若，則.,（第1題圖）,（第2題圖）2.如圖，直線abc，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).若ABBC12，DE3，則EF的長為6.3.（貴港）如圖，在ABC中，EFBC，AB3AE，若S四邊形BCFE16，則SABC（B）A.16B.18C.20D.244.（瀘州）如圖，正方形 ABCD 中，E，F(xiàn)分別在邊 AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn) G，若 AE3ED，DFCF，則的值是（

13、C）A. B. C. D.,（第4題圖）,（第5題圖）5.（）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作EACA交DB的延長線于點(diǎn)E，若AB3，BC4，則的值為.6.已知AD為O的直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為M，分別過A，D兩點(diǎn)作BC的垂線，垂足分別為B，C，AD的延長線與BC相交于點(diǎn)E.（1）求證：ABMMCD；（2）若AD8，AB5，求ME的長.（1）證明：AD為O的直徑，AMD90°，BMACMD90°.又ABBC，DCBC，ABMMCD90°，BAMBMA90°，BAMCMD，ABMMCD；（2）連接OM，則OMBC，OMAB，EMOEBA.AD8，AOODOM4，即，ED12，EO12416.在RtEMO中，ME4，即ME的長為4.7.如圖，線段CD兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（1，2），D（2，0），以原點(diǎn)為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（B）A.（2，5） B.（2.5，5） C.（3，5） D.（3，6）8.（安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中，已知點(diǎn)O，A，B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn).（1）在給定的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似