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文檔簡(jiǎn)介

1、概率論總復(fù)習(xí)概率論總復(fù)習(xí) 基本要求 三個(gè)基本1、基本概念熟練掌握2、基本公式熟練靈活應(yīng)用3、基本性質(zhì)、重要定理熟練掌握并會(huì)靈活應(yīng)用第一章 概率論的基本概念關(guān)鍵詞:關(guān)鍵詞: 樣本空間 隨機(jī)事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨(dú)立性二、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、重點(diǎn)與難點(diǎn)(1)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算,)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算, 互不相容事件、對(duì)立事件;互不相容事件、對(duì)立事件;(2)概率的公理定義及概率的性質(zhì)和應(yīng)用;)概率的公理定義及概率的性質(zhì)和應(yīng)用; (加法公式、減法公式)(加法公式、減法公式)(3)古典概型的計(jì)算)古典概型的計(jì)算(3)條件概率和三大公式;)條件概率和三大公式;(4)獨(dú)立性和貝努利試驗(yàn)和二項(xiàng)概率。)

2、獨(dú)立性和貝努利試驗(yàn)和二項(xiàng)概率。事件間的關(guān)系事件間的關(guān)系BAAB 若若 與與 同時(shí)成立,則稱事件同時(shí)成立,則稱事件A A與與B B相等,記為相等,記為A=BA=B。1. 1. 包含關(guān)系:若包含關(guān)系:若 ,則稱,則稱 B B 包含包含 A A 或或 A A 含在含在 B B 中。中。BA 發(fā)生發(fā)生發(fā)生發(fā)生若若設(shè)設(shè)BABA :2. 2. 相等關(guān)系相等關(guān)系1. 1. 稱稱“事件事件A A與與B B中中至少有一個(gè)至少有一個(gè)發(fā)生發(fā)生”這樣一個(gè)新事件這樣一個(gè)新事件為事件為事件 A A與與 B B的的和事件和事件( (或并或并) ) ,記為,記為 。BA事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算2. 2. 稱稱“事件事件A A與與

3、B B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生”這樣一個(gè)新事件為事件這樣一個(gè)新事件為事件A A與與B B的的積事積事件件,記為,記為 或或 ABAB。BA3. 3. 稱稱“事件事件A A發(fā)生而發(fā)生而B B不發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為A A與與B B的差事件的差事件, ,記為記為 A-B A-B 。 4 4、互不相容性:、互不相容性: 若若 AB= AB= 則稱則稱A A、B B互不相容,或稱互斥。互不相容,或稱互斥。1.AB=1.AB=2.AUB=S2.AUB=S5. 5. 對(duì)立事件:對(duì)立事件: “A A不發(fā)生不發(fā)生”稱為稱為A A的對(duì)立事件,記為的對(duì)立事件,記為 。A例例 設(shè)設(shè)A A、B B、C C為三個(gè)

4、事件,用為三個(gè)事件,用A A、B B、C C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件1.1.事件事件 “A A發(fā)生而發(fā)生而B B與與C C都不發(fā)生都不發(fā)生”2.2.事件事件“A A與與B B發(fā)生而發(fā)生而C C不發(fā)生不發(fā)生”3.3.事件事件“A A、B B、C C都發(fā)生都發(fā)生”4.4.事件事件“A A、B B、C C至少發(fā)生一個(gè)至少發(fā)生一個(gè)”5.5.事件事件“A A、B B、C C恰好發(fā)生一個(gè)恰好發(fā)生一個(gè)”6 6、事件、事件“A A、B B、C C恰好發(fā)生恰好發(fā)生二二個(gè)個(gè)”7 7、事件、事件“A A、B B、C C中有不多于一個(gè)事件發(fā)生中有不多于一個(gè)事件發(fā)生 ”8 8、事件、事件“A A、B

5、 B、C C中不多于兩個(gè)發(fā)生中不多于兩個(gè)發(fā)生”9 9、事件、事件“A A、B B、C C至少有兩個(gè)發(fā)生至少有兩個(gè)發(fā)生”概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 1)0P 2) 有限可加性有限可加性:若若 兩兩互不相容,即兩兩互不相容,即nAAA,21 jiAAji nji2,1, 則則 niiiniAPAUP113)對(duì)任何事件)對(duì)任何事件A有有 APAP 14)若)若 ,則,則P(A - B)=P(A) - P(B) 且且AB BPAP 5)對(duì)任對(duì)任意意兩事件兩事件A 與與 B ,有有 ABPBPAPBAP 對(duì)任意兩事件對(duì)任意兩事件A與與B, P(A-B)= P(A-AB)= P(A)-P(AB)古典概型古典概型

6、的的計(jì)算公式:計(jì)算公式: nrAAP 基本事件總數(shù)包含的基本事件數(shù)概率的古典的計(jì)算概率的古典的計(jì)算 BPABPBAP |定義:設(shè)定義:設(shè)A A、B B為兩個(gè)事為兩個(gè)事 , , 稱稱為在事件為在事件 B B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A A 發(fā)生的條件概率。發(fā)生的條件概率。 |P ABCP AP B AP C AB 121211111()() (|)|2|nnnnP A AAP A P AAP AAAP AAA 0APA/BPAPABP 0BPB/APBP 乘法定理:設(shè)乘法定理:設(shè)A A、B B為兩個(gè)事件,則有為兩個(gè)事件,則有乘法公式乘法公式則對(duì)任一隨機(jī)事件則對(duì)任一隨機(jī)事件A,有,有)|

7、()()()()()(111iniiniiiniBAPBPABPABPASPAPU全概率公式與全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式SBin1iU 定理:設(shè)定理:設(shè) 為一組兩兩互不相事件,即為一組兩兩互不相事件,即 并且并且n21B,B,B jiBBji SBi ,/1iniikkkkBAPBPBAPBPAPABPABP B1試試驗(yàn)驗(yàn)1試試驗(yàn)驗(yàn)2B2BnA觀觀察察者者有兩箱同種類的零件。第一箱裝有兩箱同種類的零件。第一箱裝50只,其中只,其中10只一等品;只一等品;第二箱裝第二箱裝30只,其中只,其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一只一等品。今從兩箱中任挑出一箱,然后從該箱中取零件兩次,每次任取一只

8、,作不放箱,然后從該箱中取零件兩次,每次任取一只,作不放回抽樣?;爻闃?。求求(1) 第一次取到的零件是一等品的概率。第一次取到的零件是一等品的概率。 (2) 第一次取到的零件是一等品的條件下,第二次取到的第一次取到的零件是一等品的條件下,第二次取到的也是一等品的概率也是一等品的概率A1從第一箱中取出從第一箱中取出,A2從第二箱中取出從第二箱中取出B1第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品B2第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品(1)由全概率公式可求由全概率公式可求 p(B1) p(B1B2)(2)p(B2|B1)第二章第二章 一維隨機(jī)變量及其分布主要知識(shí)點(diǎn)一維隨機(jī)變量及其分布主要知識(shí)點(diǎn)一

9、、一、離散型隨機(jī)變量及其分布律、分布函數(shù);離散型隨機(jī)變量及其分布律、分布函數(shù);二、二、幾種重要的離散型隨機(jī)變量:幾種重要的離散型隨機(jī)變量: 三、隨機(jī)變量的分布函數(shù):三、隨機(jī)變量的分布函數(shù): 及其性質(zhì):及其性質(zhì): )()(xXPxF 四、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)及其性質(zhì):四、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)及其性質(zhì): 1dx)x( f)2( ; 0)x( f )1( xdx)x( f)x(F);x( f)x( F 五、幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù):五、幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù): 其它其它:均勻分布均勻分布01)( )1(bxaabxfb, aUX記為記為 0001)()2( xxexfx

10、 指數(shù)分布:指數(shù)分布:222)(21)()3( xexf正態(tài)分布:正態(tài)分布:),(2 NX記為記為 x)(xfmaxf 1dx)x()1(21)0()2( )0 x()x(1)x()3( )x()xX(P)xX(P),(NX)4(2 六、關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的結(jié)論:六、關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的結(jié)論:xx 七、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布七、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1 1)分布函數(shù)法:)分布函數(shù)法: 000)()(21)( )(yyyfyfyyFyfXXYY2XY 特別地,特別地, 的分布密度為:的分布密度為:)y)X(g(P)y(F (2 2)公式法:)公式法: 設(shè)設(shè)g(x)g(x)處處可導(dǎo)且處處可導(dǎo)且 或或

11、 ,則則 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為0)x( g 0)x( g )X(gY 其它0y| )y( h|)y(hf)y(fXY( ),XXfx本知識(shí)單元主要本知識(shí)單元主要內(nèi)內(nèi)容容l二維隨機(jī)變量定義二維隨機(jī)變量定義l二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)l二維離散隨機(jī)變量的分布律二維離散隨機(jī)變量的分布律l二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)l邊緣分布邊緣分布基本要求:基本要求:l了解二維隨機(jī)變量的概念了解二維隨機(jī)變量的概念l了解聯(lián)合分布函數(shù),聯(lián)合分布了解聯(lián)合分布函數(shù),聯(lián)合分布律和聯(lián)合概率密度的概念與性質(zhì)律和聯(lián)合概率密度的概念與性質(zhì)l會(huì)求聯(lián)合分布律及進(jìn)行概率的會(huì)求聯(lián)合分布律及進(jìn)

12、行概率的計(jì)算計(jì)算l掌握邊緣分布的求法掌握邊緣分布的求法 第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布.,2, 1, jipyYxXPijji則由概率的定義有:則由概率的定義有:1, 011 ijijijpp二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量dudvvufyxFyx),(),( 8);,(),(2yxfyxyxF (1);0),( yxf1),(),( Fdxdyyxf(2)(3) 若若f(x,y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)處連續(xù)(4) 設(shè)設(shè)G是是 xoy 平面上的一個(gè)區(qū)域,點(diǎn)平面上的一個(gè)區(qū)域,點(diǎn)(X,Y)落在落在G內(nèi)內(nèi)的概率為

13、的概率為 GdxdyyxfGYXP),(),(邊緣分布邊緣分布)(xfXdyyxf),( 23dxyxf),( )(yfY)(xXPxFX ),( xF),()(yFyFY , 2 , 1, 1 ixXPppijiji, 2 , 1, 1 jyYPppjiijj 定義定義 設(shè)設(shè) 及及 分別是二維隨機(jī)分別是二維隨機(jī)變量變量(X,Y) 的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù),若對(duì)所有的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù),若對(duì)所有 x,y 有有)(),(),(yFxFyxFYX1,yYPxXPyYxXP 即即)()(,yFxFyxFYX 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

14、等式等式)()(),(yfxfyxfYX 幾乎處處成立。幾乎處處成立。(2) 當(dāng)當(dāng)(X,Y) 是離散型隨機(jī)變量時(shí),是離散型隨機(jī)變量時(shí),X 和和Y 相互獨(dú)立的條件相互獨(dú)立的條件式等價(jià)于:對(duì)于式等價(jià)于:對(duì)于(X,Y) 的所有可能取的值的所有可能取的值 有有),(jiyx,jijiyYPxXPyYxXP , 2 , 1, jipppjiij即即2隨機(jī)變量的相互獨(dú)立的充要條件隨機(jī)變量的相互獨(dú)立的充要條件(1) 設(shè)設(shè) (X,Y) 是連續(xù)型隨機(jī)變量,是連續(xù)型隨機(jī)變量,f(x,y)、 分分別為別為(X,Y) 的概率密度和邊緣密度,則的概率密度和邊緣密度,則X 和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立的條的條 件等價(jià)于件等價(jià)

15、于)(),(yfxfYX兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Z=X+Y的分布的分布 dxxzxfzfZ),()( dyyyzfzfZ),()(當(dāng)當(dāng)X和和Y相互獨(dú)立時(shí),有相互獨(dú)立時(shí),有 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(YXff (1),max(YXZ )(maxzZPzF )()(zFzFYX ),min(YXZ )(1)(11zFzFYX )(minzZPzF 第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 1)(kkkpxXE 1)()()(kkkpxgXgEYE dxxfxgXgEYE)()()()( dxdyyxf

16、yxgZE),(),()( dxxxfXE)()( jiijjipyxgYXgEZE),(),()( dxdyyxxfdxxxfXEX),()()( dxdyyxyfdyyyfYEY),()()(數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1) ,其中,其中 c 是常數(shù)是常數(shù) ccE )(2) , c 為常數(shù),為常數(shù),X為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 )()(XcEcXE 3) 設(shè)設(shè)X,Y是任意兩個(gè)隨機(jī)變量,則是任意兩個(gè)隨機(jī)變量,則 )()()(YEXEYXE 推論:設(shè)推論:設(shè)是是n個(gè)任意的隨機(jī)變量,個(gè)任意的隨機(jī)變量, 都存在,則都存在,則 nX,X,X21)(,),(),(21nXEXEXE niiiniiiXEaX

17、aE11)()(4) 設(shè)設(shè)X,Y為兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,為兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,)(),(YEXE都存在都存在,)()()(YEXEXYE 則則方差方差)()(XVarXD 2)(XEXE 22)()()(XEXEXD 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)0)( cDc為常數(shù)為常數(shù))()(2XDccXD c為常數(shù)為常數(shù))()(2XDkbkXD 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,是兩個(gè)隨機(jī)變量, 存在存在 ,則有,則有)(),(YDXD)()()(YDXDYXD 的充要條件是:的充要條件是:X依概率依概率1 取常數(shù)取常數(shù) c,即,即0)( XD1 cXP若若X和和Y相互獨(dú)立,則有相互獨(dú)立,則有),(2)()()(YX

18、CovYDXDYXD ),(2)()()(22YXabCovYDbXDacbYaXD )()()(22YDbXDacbYaXD 切比雪夫不等式切比雪夫不等式定理定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望 ,方差,方差 )(XE 2)( XD則對(duì)則對(duì)0 222)( XDXP可得可得2)(1| )(| XDXEXP 或或隨機(jī)變量隨機(jī)變量 分布分布 期望期望 方差方差 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 knkkn)p(pC 1 np npq (q=1-p) 泊松分布泊松分布 e!kk 均勻分布均勻分布 )ab/()x(f 1 2ba 122)ab( 指數(shù)分布指數(shù)分布 0001)(xxexfx 2 正態(tài)分布

19、正態(tài)分布 ),(N2 2 幾種重要分布的期望和方差:幾種重要分布的期望和方差:),(YXCov)()(YEYXEXE )()()(),(YEXEXYEYXCov 協(xié)方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) XY )()(),cov(YDXDYX 1| YX 1)1 baXYP使使 的充要條件是存在常數(shù)的充要條件是存在常數(shù)a,b1| YX 2) 0XY X與與Y 不相關(guān)不相關(guān)隨機(jī)變量序列的兩種收斂性隨機(jī)變量序列的兩種收斂性1、依概率收斂、依概率收斂定義定義 1,Y,Yn為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量為一隨機(jī)變量序列為一隨機(jī)變量序列設(shè)設(shè)有有如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的,0 1lim |YY|Pnn.YYYYPnn,記記作

20、作依依概概率率收收斂斂于于則則稱稱 0lim |YY|Pnn或或Ch 5 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理定義定義2的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量,X,XX21)()(limxFxFnn 記作記作弱收斂于弱收斂于則稱則稱),()(xFxFn都有都有的任意連續(xù)點(diǎn)的任意連續(xù)點(diǎn)若對(duì)若對(duì),)(),(),(),(21xxF,xFxFxF( )( )WnF xF x 記作記作按分布收斂于按分布收斂于也稱也稱,XXn.LnXX 證明大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切證明大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式比雪夫不等式. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ,則

21、對(duì)于任給則對(duì)于任給 0, 221| )(| XEXP2 一、切比雪夫Chebyshev 大數(shù)定律設(shè)設(shè) r.v. 序列序列則0有011lim11 nkknkknEXnXnP或,X,X,Xn21兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān),定理定理1Var(),1,2,iiXXci若每個(gè)的方差存在,且有共同的上界,即111lim11 nkknkknEXnXnP大數(shù)定律的一般形式定義定義1有有若若對(duì)對(duì)任任意意的的設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列0, nX111lim11 niiniinEXnXnP.服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律序列序列成立,則稱該隨機(jī)變量成立,則稱該隨機(jī)變量nX011lim11 nkknkknEXnXnP或2、馬爾

22、可夫大數(shù)定律、馬爾可夫大數(shù)定律若下式成立若下式成立對(duì)隨機(jī)變量序列對(duì)隨機(jī)變量序列,nX0)Var(112 niiXn有有任任意意的的則則大大數(shù)數(shù)定定律律成成立立,即即對(duì)對(duì),0 1)(11lim11 niiniinXEnXnP定理定理2馬爾可夫條件3、 伯努利伯努利(Bernoulli)大數(shù)定律大數(shù)定律 設(shè)設(shè) 是是 n 次獨(dú)立重復(fù)伯努利試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)伯努利試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), p 是每次試驗(yàn)中是每次試驗(yàn)中 A 發(fā)生的概率發(fā)生的概率, 則則0lim pnPnn或或1lim pnPnnn定理定理3nAn注: 稱為事件 發(fā)生的頻率有有,0 4、辛、辛欽欽大數(shù)定律大數(shù)定律0, 的的

23、意意服從大數(shù)定律,即對(duì)任服從大數(shù)定律,即對(duì)任則則數(shù)學(xué)期望存在數(shù)學(xué)期望存在的的若若量序列量序列對(duì)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變對(duì)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變ninX,XX1.)(1lim11 XEXnPniin有有下下式式成成立立,定理定理4a2、獨(dú)立同分布的中心極限定理、獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列且有期望和方差且有期望和方差:,k,X,XEkk210)Var()(2 則對(duì)于任意實(shí)數(shù)則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x ,)(21lim212xdtexnnXPxtnkkn 定理定理1勒勒維維中中心心極極限限定定理理林林德德貝貝格格 nX獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布,12121(0,1)(,),1(,)niiniini

24、iXnNnXN nnXNnn 近近似似近近似似近近似似3 30(1)試判斷X,Y 的獨(dú)立性解: 求)(),(yfxfYX當(dāng) 0 x1 時(shí)xdyxfxxX2)( 其它0)( xfXxy0 xy xy 16故 0102xx)x(fX其它 其它010 ,|1),(),(xxyyxfYX(2)求EX,DY ,X,Y的相關(guān)系數(shù)當(dāng)ydxyfyyY 1)(,011時(shí)ydxyfyyY 1)(,101時(shí)當(dāng)其它0)( yfY所以 0101011yyyy)y(fY其它xy0 xy xy 170110 y,x時(shí)當(dāng))1(2)()(yxyfxfYX ),(1yxf 故X 和Y 不獨(dú)立。 一、填空題()_P AB ()_P

25、 AB 1、設(shè)A, B, C是三個(gè)事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.3, P(A-B)=0.5, 則2、設(shè)事件A,B互不相容,且P(A)=p, P(B)=q, 則.3、已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3 ,則()_P AB .4、設(shè)X服從泊松分布,且已知P(X=1)=P(X=2),則P(X=4)=_.2(2,)XN(24)0.3PX(4)_P X 5、設(shè) ,且 ,則 . 2(1)3P X6、若隨機(jī)變量X服從-1,b上的均勻分布, 且有切比雪夫不等式 ,則b=_,_. 7. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布,都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),U=X+Y,V=X-Y,則U和V的相關(guān)系數(shù)U

26、V=_( ),( )XYFxFy( )_ZFz min(, )NX Y( )_NFz 8、X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,分布函數(shù)分別為 ,則Z=max(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù).(4,9)XN( 3,4)YN 2 _XY(327)_DXY9.設(shè) , ,且X和Y獨(dú)立,則 .1. 從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗,假設(shè)個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是概率都是1/3,設(shè),設(shè) X 是途中遇到的紅燈的次數(shù),是途中遇到的紅燈的次數(shù),求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)的分布律、分布函數(shù)

27、一、計(jì)算題 220( )00 xXexfxx2YX2XYe2.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 試求以下Y的密度函數(shù):(1) ;(2)cosf( )440Axxx其它P(0)4X3設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 (1)求系數(shù) A;(2)求X的分布函數(shù)F(x); (3)求概率。nX4. 設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布,其密度函數(shù)為1,0( )0,xp x其他120,max(),nnnYX ,X ,XY其中常數(shù)令求的密度函數(shù)。 nX5.設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布,其密度函數(shù)為12min(), nnnYX ,X ,XY令求的密度函數(shù)。 ()f( )0 x ae,xax,xa ),(YX, 0( , )0,yexyf x y其他f ( )Xx( )Yfy(),( ),(, )E XE Y Cov X Y6設(shè)二維隨機(jī)變

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