高數(shù)高斯公式ppt課件

1、1高高斯斯 ( Gauss ) 公公式式12一一. 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面 所圍成 , 的方向取外側(cè) , 在 上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則有公式dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz dSRQPcoscoscos 高斯 ( Gauss ) 公式 dxdydzzRRdxdy 只證函數(shù) P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z )3),(:),(:2211yxzzyxzz證明證明: 設(shè)yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21 XY型區(qū)域zyxyxD23132

2、1dxdydzzRdzzRyxzyxz),(),(21yxDdxdyyxRyxR) ,() ,(),(2yxz),(1yxzRdxdy yxDdxdyyxR) ,(),(2yxz),(1yxzyxDdxdyyxRyxR ) ,() ,(),(2yxz),(1yxz又所以dxdydzzRRdxdy yxDdxdyyxDdxdyyxR) ,(Rdxdy312 4類似可證類似可證dxdydzzRRdxdy dxdydzyQRdxdyQdzdxPdydz dxdydzzRyQxPdzdxQ dxdydzxPdydzP 三式相加，即得所證Gauss公式：若不是XY型區(qū)域 ,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)

3、XY型區(qū)域，在在輔助面正反兩側(cè)曲面積分正負(fù)抵消輔助面正反兩側(cè)曲面積分正負(fù)抵消 ,故仍有5GaussGauss公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.)coscoscos(dSRQP 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式56二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用例例1 1 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分xdydzzydxdyyx)()( 其中為柱面其中為柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所圍成的空間閉所圍成

4、的空間閉區(qū)域區(qū)域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). .xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP 7, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐標(biāo)得利用柱面坐標(biāo)得)xozy113dzzrrdrd301020)sin( 高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式78使用使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意公式時(shí)應(yīng)注意:1 1. .RQP,是是對(duì)對(duì)什什么么變變量量求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù); ;2.2.是否滿足高斯公式的條件是否滿足高斯公式的條件; ;3 3. .是是取取閉閉曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). .高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式8

5、92例例dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(223231.上半球的下側(cè)上半球的下側(cè)是是2222Rzyx:解解.)(12220的上側(cè)的上側(cè)加一平面加一平面Ryxz 11111dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(2232311dxdydzyy)(12233421R 高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式9101dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()(2232131dxdyyxxyD22drrrdR020 332R 1133421R 332R 334R 高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式1011xyzo例例 3 3 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 dszyx

6、)coscoscos(222 , ,其中其中為為 錐面錐面 222zyx 介于平面介于平面 0 z及及)0( hhz 之間的部分的下側(cè)之間的部分的下側(cè), , cos,cos,cos 是是在在),(zyx處處 的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. . h 高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式1112xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)閤oyxyD)(:2221hyxhz 補(bǔ)補(bǔ)充充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側(cè)，取上側(cè)，1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域,上上使使用用高高斯斯公公式

7、式在在 11高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式1213dvzyx)(2 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxDxy 其其中中 xyDhyxdzyxdxdy22, 0)(1222dSzyx)coscoscos( .214h xyzo h 1 xyDdszyx1222)coscoscos( 1222dxdyzdzdxydydzxxyDdxdyyxh)(222xyDhyxzdzdxdy222,高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式1314 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)cosc

8、oscos(222421h 4h .214h xyzoh 1 xyD高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式1415:問題問題dxdyyxeydzdxxdydzIz22.,所截部分外側(cè)所截部分外側(cè)被被為為2122zzyxz?公式公式能否加減兩平面用高斯能否加減兩平面用高斯高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式1516三、通量與散度例中例中在第二類曲面積分的引在第二類曲面積分的引流量的概念流量的概念設(shè)向量場(chǎng)設(shè)向量場(chǎng)kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 是是速速度度場(chǎng)場(chǎng)中中的的一一片片有有向向曲曲面面, , 單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量

9、. . dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( SdV,RQPV 其其中中,dxdydzdxdydzSd.稱為有向曲面元稱為有向曲面元高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式18171、通量的定義設(shè)有向量場(chǎng)設(shè)有向量場(chǎng)kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 沿場(chǎng)中某一有向曲面的第二類曲面積分為沿場(chǎng)中某一有向曲面的第二類曲面積分為RdxdyQdzdxPdydzSdA稱稱為為向向量量場(chǎng)場(chǎng)),(zyxA向向正正側(cè)側(cè)穿穿過過曲曲面面的的通通量量. .的的電電通通量量單單位位時(shí)時(shí)間間通通過過為為電電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)強(qiáng)度度如如,ESdEI的磁通量的磁通量單位時(shí)間通過單

10、位時(shí)間通過為磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁感應(yīng)強(qiáng)度,BSdBI18極限極限VSdAMV lim存在存在, , 2. 2. 散度的定義散度的定義: :Adiv= = VSdAMV lim 處處的的通通量量強(qiáng)強(qiáng)度度反反映映了了在在點(diǎn)點(diǎn)),(zyx高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式2019散度在直角坐標(biāo)系下的形式散度在直角坐標(biāo)系下的形式SdAdvzRyQxP)(SdAVdvzRyQxPV11)(SdAVzRyQxP1),()( SdAVzRyQxPM1lim積分中值定理積分中值定理,兩邊取極限兩邊取極限,zRyQxPAdiv高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式2120:說明說明、散度是一數(shù)值。、散度是一數(shù)值。1),(zyxfu 、梯梯度度：2kzfjyfixfzyxgradf),(向量向量5例例kxzjxyieAxy)sin()cos(2Adiv求求:解解zRyQxPAdiv)cos()sin(22xzxzxyxyexy高斯高斯 ( Gauss ) 公公式式2221思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè) 為球面2222Rzyx的外側(cè), 為 所圍立體,222zyxr判斷下列演算是否正確 ?(1)dxdyrzdzdxrydydzrx333333dvR3R4(2)dxdyrzdzdxrydydzrx333333dvrzzryyrxx33333331Rdxdyzdzd