信號與系統(tǒng)微分方程式的經(jīng)典解法

1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)n n階常系數(shù)微分方程的求解法階常系數(shù)微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order全響應(yīng)全響應(yīng)= =齊次方程通解齊次方程通解 + + 非齊次方程特解非齊次方程特解（自由響應(yīng)） （受迫響應(yīng)）全響應(yīng)全響應(yīng)= =零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) + + 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（解齊次方程） （卷積法） 時域分析法時域分析法（經(jīng)典法）變換域法變換域法（第四章拉普拉斯變換法）微分方程求解微分方程求解信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)n 階線性時不變系統(tǒng)的描述階線性時

2、不變系統(tǒng)的描述 一個線性系統(tǒng)，其激勵信號一個線性系統(tǒng)，其激勵信號 與響應(yīng)信號與響應(yīng)信號 之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述可以用下列形式的微分方程式來描述( )x t( )r t階次：階次：方程的階次由獨(dú)立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。方程的階次由獨(dú)立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。-1101-1101dd( )( )( )dddd( )( )( )ddnnnnnnmmmmmmay tay ta y tttbx tbx tb x ttt若系統(tǒng)為時不變的，則若系統(tǒng)為時不變的，則 ， 均為常數(shù)，此方程為常系均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的數(shù)的n 階線性常微分方程階線性常微分方程。kakb信號與系統(tǒng)信

3、號與系統(tǒng) 一般將激勵信號加入的時刻定義為一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0 ，響應(yīng)為，響應(yīng)為 時的方程的解，時的方程的解， 初始條件初始條件:0t齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式1ekntkkC注意：注意：重根情況處理方法（修改齊次解的形式）重根情況處理方法（修改齊次解的形式）特特 解：解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式（自由項(xiàng)）形式，設(shè)含待定系根據(jù)微分方程右端函數(shù)式（自由項(xiàng)）形式，設(shè)含待定系 數(shù)的數(shù)的特解函數(shù)式，特解函數(shù)式，代入原方程代入原方程，比較系數(shù)，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。+2+n-1+2n-1dy(0 )d y(0 )dy(0 )y

4、(0 )dtdtdt, , , , ,經(jīng)典法經(jīng)典法kC完全完全 解：解：齊次解齊次解+特解，由初始條件定出特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)齊次解系數(shù)線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)齊次微分方程齊次微分方程1ekntkkC特征方程特征方程特征根特征根0)()()(011 -n1ntyatydtdatydtdannnnaaaannnn11100齊次解形式：（和特征根有關(guān)）齊次解形式：（和特征根有關(guān)）12,n齊次解齊次解線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)特征根特征根齊次解的形式齊次解的形式rrtkkrtrtetCteCeC1211 2 ,a

5、b jbteCbteCatatsincos21btetDbtteDbteDbtetCbtteCbteCatkkatatatkkatatsinsinsincoscoscos121121kr對于每一個單根對于每一個單根k重實(shí)根重實(shí)根ajb1,21,2k重復(fù)根重復(fù)根線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解rtCe給出一項(xiàng)給出一項(xiàng)信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)3232ddd( )7( ) 16( ) 12 ( )( )dddr tr tr tr te tttt解：解：系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 32716120 2230122 , 3 重根tthAAtAtr33221ee)(特征根特征根因而對應(yīng)的齊次

6、解為因而對應(yīng)的齊次解為求微分方程求微分方程齊次解齊次解解：解：系統(tǒng)的齊次方程為系統(tǒng)的齊次方程為3232ddd( )7( ) 16( ) 12 ( )0dddr tr tr tr tttt例例信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)esin()a ttecos()a tt12cos()B sin()ateBtt自由項(xiàng)自由項(xiàng)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù) r(t) 的的特解特解EBpt1121ppppBtB tB tBea teka tBtcos() tsin() t12cos()sin()BtBtesin()pa tttecos()pa ttt11211121()ecos()()esin()pptpppptppBtB tB tB

7、tDtD tD tDt或或12cos()sin()atteBtBt當(dāng)當(dāng) a 是是 k 重特征根時重特征根時當(dāng)當(dāng)ajb不是特征根不是特征根當(dāng)當(dāng)ajb是特征根是特征根線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此方程的特解。分別求兩種情況下此方程的特解。 )(d)(d3d)(d2d)(d22tettetrttrttr,e)( )2( ;)( ) 1 (2ttette 給定微分方程式給定微分方程式3221p)(BtBtBtr這里這里 為待定系數(shù)，將此式代入方程得到為待定系數(shù)，將此式代入方程得到 321,BBBttBBBtBBtB2322 34

8、323212121例：例：（1 1） ，自由項(xiàng)為，自由項(xiàng)為 ， 選特解函數(shù)式為選特解函數(shù)式為2( )e tt22tt信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有032223413321211BBBBBB聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,92 ,31321BBB所以，特解為所以，特解為27109231)(2ptttr信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)te31 于是，特解為于是，特解為tttttBBBeee3e2e31Bp( )( )( )hr tr tr t(2)(2)()(phtrtr 求出的齊次解求出的齊次解 和特解和特解 相加即得方程得完全解相加即得方程得完

9、全解當(dāng)當(dāng) 將其代入方程的右端，可求得自由項(xiàng)為將其代入方程的右端，可求得自由項(xiàng)為 很明顯，很明顯，可選可選 這里，這里，B 是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。代入方程后有：代入方程后有：( )ete t ( )etpr tB。2et信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)22dd( )6( )5 ( )ddty ty ty tett(0)(0)0yy例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解2650512( )tthytC eC e解解: : 齊次方程為齊次方程為 特征方程：特征方程： 特征根：特征根： 該方程的齊次解為：該方程的齊次解為：1251 ，22dd( )6( )5 ( )0ddy ty ty ttt ( )tp

10、ytCte此處，自由項(xiàng)即為激勵函數(shù)。其中中此處，自由項(xiàng)即為激勵函數(shù)。其中中a = -1= -1，與微分方程的一個特，與微分方程的一個特征根相同，因此特解為：征根相同，因此特解為： 線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)t -t -t -t -22)(5)(dd6)(ddeCteCtetCtet代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 41C所以特解為所以特解為 tptety41)(完全解為完全解為tttphteeCeCtytyty41)()()(251代入初始條件代入初始條件求得求得161,16121CC所以有所以有041161161)(5tteeetyttt0)0()0( yy線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解或?qū)憺榛驅(qū)憺?111( )( )16164ttty teeteu t信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) 完全解中的齊次解稱為完全解中的齊次解稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)的自由響應(yīng)自由響應(yīng),特解稱為特解稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng).特特征方程根征方程根 i(i=1,2,n)稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的“固有頻率固有頻率”(或或“自由頻率自由頻率”)完全響應(yīng)完全響應(yīng)自由響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)上例中完全