第八講.一元一次方程

1、一元一次方程 一、知識要點梳理知識點一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程： 一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)。要點詮釋：一元一次方程須滿足下列三個條件： （1） 只含有一個未知數(shù)； （2） 未知數(shù)的次數(shù)是1次； （3） 整式方程2、方程的解： 判斷一個數(shù)是否是某方程的解：將其代入方程兩邊，看兩邊是否相等知識點二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性質(zhì)）等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如果，那么；(c為一個數(shù)或一個式子)。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。如

2、果，那么；如果，那么要點詮釋：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。即：（其中m0）特別須注意：分?jǐn)?shù)的基本的性質(zhì)主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)（特別是分母中的小數(shù)）化為整數(shù)，如方程：=1.6，將其化為： =1.6。方程的右邊沒有變化，這要與“去分母”區(qū)別開。2、解一元一次方程的一般步驟： 解一元一次方程的一般步驟 常用步驟具體做法依據(jù)注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)等式基本性質(zhì)2防止漏乘（尤其整數(shù)項），注意添括號；去括號一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號去括號法則、分配律注意變號，防止漏乘；移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一

3、邊(記住移項要變號)等式基本性質(zhì)1移項要變號，不移不變號；合并同類項把方程化成axb(a0)的形式合并同類項法則計算要仔細(xì)，不要出差錯；系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x等式基本性質(zhì)2計算要仔細(xì)，分子分母勿顛倒要點詮釋：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用: a0時，方程有唯一解； a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解； a=0，b0時，方程無解。知識點三：列一元一次方程解應(yīng)用題1、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟： （1）審題，分析題中已知什么，未知什么，明確各量之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系（2）設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)（

4、3）列方程，把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，列出方程（4）解方程（5）檢驗，看方程的解是否符合題意（6）寫出答案2、解應(yīng)用題的書寫格式： 設(shè)根據(jù)題意解這個方程答。3、常見的一些等量關(guān)系常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型：類型基本數(shù)量關(guān)系等量關(guān)系(1)和、差、倍、分問題較大量較小量多余量總量倍數(shù)×倍量抓住關(guān)鍵性詞語(2)等積變形問題變形前后體積相等(3)行程問題相遇問題路程速度×時間甲走的路程乙走的路程兩地距離追及問題同地不同時出發(fā)：前者走的路程追者走的路程同時不同地出發(fā)：前者走的路程兩地距離追者所走的路程順逆流問題順流速度靜水速度水流速度逆流速度靜水速度水流速

5、度順流的距離逆流的距離(4)勞力調(diào)配問題從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找相等關(guān)系，要抓住“相等”“幾倍”“幾分之幾”“多”“少”等關(guān)鍵詞語(5)工程問題工作總量工作效率×工作時間各部分工作量之和1(6)利潤率問題商品利潤商品售價商品進(jìn)價商品利潤率×100售價進(jìn)價×(1利潤率)抓住價格升降對利潤率的影響來考慮(7)數(shù)字問題設(shè)一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字、個位上的數(shù)字分別為a，b，則這個兩位數(shù)可表示為10ab抓住數(shù)字所在的位置或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系(8)儲蓄問題利息本金×利率×期數(shù)本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)×(1利息稅率)(

6、9)按比例分配問題甲乙丙abc全部數(shù)量各種成分的數(shù)量之和(設(shè)一份為x)(10)日歷中的問題日歷中每一行上相鄰兩數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大1；日歷中每一列上相鄰的兩數(shù)，下邊的數(shù)比上邊的數(shù)大7日歷中的數(shù)a的取值范圍是1a31，且都是正整數(shù) 知識點四：方程與整式、等式的區(qū)別（1）從概念來看：整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。等式：用等號來表示相等關(guān)系的式子叫做等式。如，mnnm等都叫做等式，而像，m2n不含等號，所以它們不是等式，而是代數(shù)式。方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。如5x311，等都是方程。理解方程的概念必須明確兩點：是等式；含有未知數(shù)。兩者缺一不可。（2）從是否含有等號來看：方程首先是一個等式，

7、它是用“”將兩個代數(shù)式連接起來的等式，而整式僅用運算符號連接起來，不含有等號。（3）從是否含有未知量來看：等式必含有“”，但不一定含有未知量；方程既含有“”，又必須含有未知數(shù)。但整式必不含有等號，不一定含有未知量，分為單項式和多項式。四、規(guī)律方法指導(dǎo)1、判斷一個式子是否是一元一次方程： （1）首先看是否是方程，（2）再看是否滿足一元一次方程的三個條件或?qū)υ竭M(jìn)行等價變形化簡后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有： (1)有多重括號，去括號與合并同類項可交替進(jìn)行。(2)當(dāng)括號內(nèi)含有分?jǐn)?shù)時，常由外向內(nèi)先去括號，再去分母。(3)當(dāng)分母中含有小數(shù)時，可用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化成整數(shù)。(4)運用整體思想，即把

8、含有未知數(shù)的代數(shù)式看做整體進(jìn)行變形。四、經(jīng)典例題透析類型一：一元一次方程的相關(guān)概念已知下列各式： 2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的個數(shù)是()A、5B、6C、7D、8思路點撥：方程是含有未知數(shù)的等式，根據(jù)定義逐個進(jìn)行判斷，顯然不合題意。解：是方程的是，共六個，所以選B總結(jié)升華：根據(jù)定義逐個進(jìn)行判斷是解題的基本方法，判斷時應(yīng)注意兩點：一是等式；二是含有未知數(shù)，體現(xiàn)了對概念的理解與應(yīng)用能力。舉一反三：變式1判斷下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)解析：判斷是否為

9、一元一次方程需要對原方程進(jìn)行化簡后再作判斷。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是變式2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60是一元一次方程，求a的值。解析：分兩種情況：（1）只含字母y，則有(a-3)(2a+5)0且a-30 （2）只含字母x，則有a-30且(a-3)(2a+5)0 不可能綜上，a的值為。變式3（2011重慶江津）已知3是關(guān)于x的方程2xa=1的解,則a的值是( )A5 B5 C7 D2答案：B類型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。如果我們在牢固掌握這一常規(guī)解題思路的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程原形和特點，靈活安排

10、解題步驟，并且巧妙地運用學(xué)過的知識，就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。1巧湊整數(shù)解方程： 思路點撥：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，含未知數(shù)的項的系數(shù)和為，常數(shù)項的和故直接移項湊成整數(shù)比先去分母簡單。解：移項，得。合并同類項，得2x1。系數(shù)化為1，得x。舉一反三：變式解方程：2x5解：原方程可變形為2x5整理，得8x18(215x)2x5，去括號，得8x18215x2x5移項，得8x15x2x5182合并同類項，得9x21系數(shù)化為1，得x。2巧用觀察法解方程： 思路點撥：該方程可化為3，不難看出，當(dāng)y1時，該方程左邊三項的值都是1，即左邊右邊，因原方程是一元一次方程，故只能有一個解，于是可求得方程的解是y1。

11、解：由觀察可得y13巧去括號解方程： 思路點撥：含多層括號的一元一次方程，要根據(jù)方程中各系數(shù)的特點，選擇適當(dāng)?shù)娜ダㄌ柕姆椒?，因為題目中分?jǐn)?shù)的分子和分母具有倍數(shù)關(guān)系，所以從外向內(nèi)去括號可以使計算簡單。解：去括號，得去小括號，得去分母，得(3x5)88去括號、移項、合并同類項，得3x21兩邊同除以3，得x7原方程的解為x7舉一反三：變式解方程：解：依次移項、去分母、去大括號，得依次移項、去分母、去中括號，得依次移項、去分母、去小括號，得，x484巧去分母解方程： 思路點撥：當(dāng)方程的分母含有小數(shù)，而小數(shù)之間又沒有特殊的倍數(shù)關(guān)系時，若直接去分母則會出現(xiàn)比較繁瑣的運算。為了避免這樣的運算。應(yīng)把分母化成整

12、數(shù)?；麛?shù)時，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將分子、分母同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)即可。解：原方程化為去分母，得100x(1320x)7去括號、移項、合并同類項，得120x20兩邊同除以120，得x原方程的解為總結(jié)升華：應(yīng)用分?jǐn)?shù)性質(zhì)時要和等式性質(zhì)相區(qū)別?？梢曰癁橥帜傅模然癁橥帜?，再去分母較簡便。舉一反三：變式（2011山東濱州）依據(jù)下列解方程的過程，請在前面的括號內(nèi)填寫變形步驟，在后面的括號內(nèi)填寫變形依據(jù)。解：6巧組合解方程： 思路點撥：按常規(guī)解法將方程兩邊同乘72化去分母，但運算較復(fù)雜，注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數(shù)3，左邊的第二項和右邊的第一項的分母有公約數(shù)4，移項局部通分化簡，可簡化

13、解題過程。解：移項通分，得化簡，得去分母，得8x1449x99。移項、合并，得x45。7巧解含有絕對值的方程： |x2|30思路點撥：解含有絕對值的方程的基本思想是先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般的一元一次方程。對于只含一重絕對值符號的方程，依據(jù)絕對值的意義，直接去絕對值符號，化為兩個一元一次方程分別解之，即若|x|m，則xm或xm；也可以根據(jù)絕對值的幾何意義進(jìn)行去括號，如解法二。解法一：移項，得|x2|3 當(dāng)x20時，原方程可化為x23，解得x5 當(dāng)x20時，原方程可化為(x2)3，解得x1。 所以方程|x2|30的解有兩個：x5或x1。解法二：移項，得|x2|3。 因為絕對值等于3的數(shù)有兩個：

14、3和3，所以x23或x23。 分別解這兩個一元一次方程，得解為x5或x1。舉一反三：【變式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是_.變式3 8利用整體思想解方程： 思路點撥：因為含有的項均在“”中，所以我們可以將作為一個整體，先求出整體的值，進(jìn)而再求的值。解：移項通分，得：化簡，得：移項，系數(shù)化1得：總結(jié)升華：解一元一次方程有一般程序化的步驟，我們在解一元一次方程時，既要學(xué)會按部就班(嚴(yán)格按步驟)地解方程，又要能隨機(jī)應(yīng)變(靈活打亂步驟)解方程。對于一般解題步驟與解題技巧來說，前者是基礎(chǔ)，后者是機(jī)智，只有真正掌握了一般步驟，才能熟能生巧。類型三、一元一次方程的常見應(yīng)用題1.優(yōu)化方案問題

15、由于活動需要，78名師生需住宿一晚，他們住了一些普通雙人間和普通三人間，結(jié)果每間客房正好住滿，且在賓館給他們打五折優(yōu)惠的基礎(chǔ)上一天一共付住宿費2130元。請你算一算，他們需要雙人普通間和三人普通間各多少間？ 類型普通(元/間)豪華(元/間)雙人房140300三人房150400解：設(shè)安排普通雙人房x間，則可住2x人，費用為140×50·x元，此時安排普通三人房間，可住(782x)人，費用為150×50×元。由題意，得140×50×x150×50×2130。解得x9，20。即安排三人房20間，雙人房9間即可。舉一反三：

16、【變式】某學(xué)校組織學(xué)生春游，如果租用若干輛45座的客車，則有15個人沒有座位，如果租用相同數(shù)量60座的客車，則多出1輛，其余車恰好坐滿，已知租用45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為300元，問租用哪種客車更合算？租幾輛車？解：設(shè)租用45座客車x輛，則根據(jù)春游學(xué)生人數(shù)不變，列方程：45x+15=60x-60解得： x=5若租用45座客車，則需用5輛，需花費：250×5=1250元若租用60座客車，則需用4輛，需花費300*4=1200元因為：1250>1200，因此租用60座客車比較合算。答：租用60座客車更合算 ，租用4輛車。2.行程中的追及相遇問題甲、乙兩

17、人從A、B兩地同時出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛.出發(fā)后經(jīng)3小時兩人相遇.已知在相遇時乙比甲多行了90千米，相遇后經(jīng)1小時乙到達(dá)A地.問甲、乙行駛的速度分別是多少？ 思路點撥：設(shè)甲的速度為千米/時，題目中所涉及的有關(guān)數(shù)量及其關(guān)系可以用下表表示：相遇前相遇后速度時間路程速度時間路程甲333+90乙33+9013相遇前甲行駛的路程+90=相遇前乙行駛的路程；相遇后乙行駛的路程=相遇前甲行駛的路程.解：設(shè)甲行駛的速度為千米/時，則相遇前甲行駛的路程為3千米，乙行駛的路程為（3+90）千米，乙行駛的速度為千米/時，由題意，得.解這個方程，得=15.檢驗：=15適合方程，且符合題

18、意.將=15代入，得=45.答：甲行駛的速度為15千米/時，乙行駛的速度為45千米/時.總結(jié)升華：理解相遇前后的等量關(guān)系，相遇問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題可以通過畫線段圖或列表幫助理解、分析。舉一反三：變式 甲、乙兩地相距240千米，汽車從甲地開往乙地，速度為36千米/時，摩托車從乙地開往甲地，速度是汽車的。摩托車從乙地出發(fā)2小時30分鐘后，汽車才開始從甲地開往乙地，問汽車開出幾小時后遇到摩托車？思路點撥：本題是一個異地不同時出發(fā)的相遇問題，其基本關(guān)系是：速度×時間路程。雖然不同時出發(fā)，但在相遇時，汽車所行的路程摩托車所行的路程甲、乙兩地的距離，這就是本題的等量關(guān)系。如果設(shè)汽車開出x小時后與摩托車相遇，則在相遇時，汽車和摩托車所行的路程可表示如圖：其中摩托車先行的路程為千米；摩托車后來所行的路程為千米。解：設(shè)汽車開出x小時與摩托車相遇，則36x36×240，解得x3答：汽車開出3小時后遇到摩托車。3銀行儲蓄小張在銀行存了一筆錢，月利率為2%，利息稅為20%，5個月后，他一共取出了本息和為1080元，問它存入的本金是多少元？解：設(shè)小張存入的