數(shù)理方程課件：3_1達(dá)朗貝爾

1、1)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdttxfdxdxx dttxfxxx )()(),( 關(guān)于關(guān)于二元函數(shù)二元函數(shù)含參變量積分含參變量積分的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 特別地，特別地，2第三章第三章 行波法與積分變換法行波法與積分變換法本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問(wèn)題的方法，本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問(wèn)題的方法，一是一是行波法行波法( (或或達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法) )，二是，二是積分變換法積分變換法。行波法行波法只能用于求解只能用于求解無(wú)界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程無(wú)界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程的定的定解問(wèn)題。解問(wèn)題。 雖有很大的局限性，但

2、對(duì)于波動(dòng)問(wèn)題有其雖有很大的局限性，但對(duì)于波動(dòng)問(wèn)題有其特殊的優(yōu)點(diǎn)，所以該法是數(shù)理方程的基本解法之一。特殊的優(yōu)點(diǎn)，所以該法是數(shù)理方程的基本解法之一。積分變換法積分變換法不受方程類型的限制，不受方程類型的限制，主要用于無(wú)主要用于無(wú)界區(qū)域界區(qū)域，但對(duì)于有界區(qū)域也能應(yīng)用。，但對(duì)于有界區(qū)域也能應(yīng)用。33.1 3.1 達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式. .波的傳播波的傳播3.1.1 3.1.1 弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法如果我們所考察的如果我們所考察的弦線長(zhǎng)度很長(zhǎng)弦線長(zhǎng)度很長(zhǎng)，而我們需要而我們需要知道的又只是在較短時(shí)間且知道的又只是在較短時(shí)間且離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)的一段離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)的一段范圍范圍內(nèi)的振

3、動(dòng)情況，內(nèi)的振動(dòng)情況，那么那么邊界條件的影響邊界條件的影響就可以就可以忽略忽略。不妨把所考察弦線的不妨把所考察弦線的長(zhǎng)度視為無(wú)限長(zhǎng)度視為無(wú)限，而需，而需要知道的只是要知道的只是有限范圍內(nèi)有限范圍內(nèi)的振動(dòng)情況。的振動(dòng)情況。此時(shí)，定解問(wèn)題歸結(jié)為如下形式此時(shí)，定解問(wèn)題歸結(jié)為如下形式：),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)4),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)對(duì)于上述初值問(wèn)題，由于微分方程及定解條件對(duì)于上述初值問(wèn)題，由于微分方程及定解條件都是線性的，

4、所以都是線性的，所以疊加原理疊加原理同樣成立。同樣成立。),(1txu),(2txu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(),(21txutxuu即如果即如果和和分別是下述初值問(wèn)題分別是下述初值問(wèn)題和和的解，的解， 則則是原問(wèn)題是原問(wèn)題(1)(2)(1)(2)的解。的解。5,atx ,atx ,2x.2at),(uu autxu2,2),().,(uuxt),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxu

5、xxut (3)(3)(4)(4)首先我們考察問(wèn)題首先我們考察問(wèn)題(3)(4)(3)(4). .通過(guò)通過(guò)自變量變換自變量變換求解。求解。為此，令為此，令(7)(7)其逆變換為其逆變換為(8)(8)用用記新的未知函數(shù)，則記新的未知函數(shù)，則6,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)uxtxxxuuu,uu )(xxuu)(xxxxuuu).2(2uuuautt,2uuu利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到利用復(fù)合函數(shù)微分法則，得到同理可得同理可得(9)(9)(10)(10)將將(9)(10)(9)(10)代入方程代

6、入方程(3)(3)化簡(jiǎn)即得化簡(jiǎn)即得7,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)將將(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化簡(jiǎn)即得化簡(jiǎn)即得. 0u),()(),(gfugf ,(11)(11)方程方程(11)(11)可以通過(guò)可以通過(guò)積分法積分法直接求解直接求解。先關(guān)于先關(guān)于積分一次，積分一次，積分一次，便可得到方程積分一次，便可得到方程(11)(11)再關(guān)于再關(guān)于的的通解通解為為(12)(12)其中其中都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。都是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。再將自變量變換再將自變

7、量變換(7)(7)代入代入(12)(12)則可得則可得8., gf ),()()(xxgxf),()()(xxgaxf a0 xc,)()()(0 xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13)下面，我們利用下面，我們利用初始條件初始條件(4)(4)來(lái)確定通解來(lái)確定通解(13)(13)中中的任意函數(shù)的任意函數(shù)將將(4)(4)代入代入(13)(13)得得(14)(14)(15)(15)再將再將(15)(15)式兩邊積分得式

8、兩邊積分得(16)(16)其中其中是任意一點(diǎn)，而是任意一點(diǎn)，而是積分常數(shù)。是積分常數(shù)。9),()()(xxgxf,)(1)()(0 xxdaacxgxf),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13)(14)(14)(16)(16),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx由由(14)(14)和和(16)(16)變形得變形得(17)(17)把把(17)(17)代入通解式代入通解式(13)(13)

9、得初值問(wèn)題得初值問(wèn)題(3)(4)(3)(4)的解的解102)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示為可表示為).()(),(atxgatxftxu(13)(13),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx(17)(17)這種求解方法稱為這種求解方法稱為達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法。(18)(18)這個(gè)公式稱為這個(gè)公式稱為無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式，或稱或稱達(dá)朗貝爾

10、解達(dá)朗貝爾解。11),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)3.1.4 3.1.4 齊次化原理齊次化原理齊次化原理齊次化原理);,(txw),(2twawxxtt ),(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(若若是初值問(wèn)題是初值問(wèn)題(21)(21)的解的解( (其中其中 為參數(shù)為參數(shù)),), 則則(22)(22)就是初值問(wèn)題就是初值問(wèn)題(5)(6)(5)(6)的解。的解。12),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(2twawxxtt ),

11、(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(21)(21)(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (23)(23)令令并記并記則問(wèn)題則問(wèn)題(21)(21)可化為如下形式：可化為如下形式：132)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)t axt axdfatxw.),(21);,(tdtxwtxu0);,(),(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (2

12、3)(23)令令并記并記則問(wèn)題則問(wèn)題(21)(21)可化為如下形式：可化為如下形式：由由達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式(18)(18)知問(wèn)題知問(wèn)題(23)(23)的解為的解為14)()(.),(21);,(taxtaxdfatxw ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)tdtxwtxu0);,(),(22)(22)t axt axdfatxw.),(21);,(,tt由由將變量還原得將變量還原得(24)(24)再將再將(24)(24)代入公式代入公式(22)(22)即得初值問(wèn)

13、題即得初值問(wèn)題(5)(6)(5)(6)的解的解(25)(25) ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事實(shí)上，由事實(shí)上，由(25)(25)確定的函數(shù)確是問(wèn)題確定的函數(shù)確是問(wèn)題(5)(6)(5)(6)的解的解二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式二元函數(shù)含參變量積分的求導(dǎo)公式: :15)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdttxfdxdxxdttxfxxx)()(),(16ftudtfattaxttax)()(),(21dtaxft021),(dtax

14、ft021),(,),(),(210dtaxftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事實(shí)上，由事實(shí)上，由(25)(25)確定的函數(shù)確是問(wèn)題確定的函數(shù)確是問(wèn)題(5)(6)(5)(6)的解的解當(dāng)當(dāng)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，由具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，由(25)(25)式可得式可得17),(txfutt;),(),(20dtaxftaxfat,),(),(210dtaxftaxfautx;),(),(210dtaxftaxfautxxtu,),(),(210dt

15、axftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)18),(2txfuauxxtttu,|0tu. 0|0ttu ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)于是于是再驗(yàn)證再驗(yàn)證初始條件初始條件(6)(6)。即即(25)(25)滿足方程滿足方程(5)(5)。tu,),(),(210dtaxftaxft由由(25)(

16、25)式及式及可得可得 以上證明了由以上證明了由(25)(25)確定的函數(shù)確是初值問(wèn)題確定的函數(shù)確是初值問(wèn)題(5)(6)(5)(6)的解。的解。的表達(dá)式的表達(dá)式192)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18) ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(25)(25)2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)(26).),(210)()( ttaxtaxddfa),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)由由疊加原理疊加原理，可得定解問(wèn)題，可得定解問(wèn)題(1)

17、(2)(1)(2)解可表示為解可表示為20),0,(2txxuuxxtt .)0 ,(,sin)0 ,(xxuxxut )sin()sin(21),(txtxtxutxtxd21ddttxtx 0)()(221txcossinxt.2xt例例求解下列初值問(wèn)題求解下列初值問(wèn)題解解由公式由公式(26)(26)得得2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)(26).),(210)()( ttaxtaxddfa213.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfut),0,(2txuauxxtt

18、 )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)顯然它是方程顯然它是方程(3)(3)的解。的解。 給給 以不同的值，就可以以不同的值，就可以看出弦在各個(gè)時(shí)刻相應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)?？闯鱿以诟鱾€(gè)時(shí)刻相應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)。223.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfu0t),()0 ,(1xfxu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)在在時(shí)，時(shí)，它對(duì)應(yīng)于初始時(shí)刻的它對(duì)應(yīng)于初始時(shí)刻

19、的振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)( (相當(dāng)于弦在初始時(shí)刻各點(diǎn)的位移狀態(tài)相當(dāng)于弦在初始時(shí)刻各點(diǎn)的位移狀態(tài)) )，如圖如圖3.13.1實(shí)線所示實(shí)線所示xuO)(1xfu )0( t1x2x圖圖3.13.1233.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfu0t),(),(001atxftxu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)經(jīng)過(guò)時(shí)間經(jīng)過(guò)時(shí)間 后，后，在在它相當(dāng)于原來(lái)的圖形它相當(dāng)于原來(lái)的圖形xuO)(1xfu )0( t)(01atx

20、fu)(0tt 1x01atx 2x02atx ),(ux平面上，平面上，)(1xfu 向右平移了一段距離向右平移了一段距離,0at圖圖3.13.1243.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)xuO)(1xfu )0( t)(01atxfu)(0tt 1x01atx 2x02atx )(atxg)(atxfa因此，由函數(shù)因此，由函數(shù)右傳播波右傳播波。的解，稱為的解，稱為左傳播波左傳播波常數(shù)常數(shù)為傳播速度為傳播速度。所描

21、述的振動(dòng)規(guī)律，稱為所描述的振動(dòng)規(guī)律，稱為同樣，形如同樣，形如圖圖3.13.1253.1.2 3.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義達(dá)朗貝爾解的物理意義).()(),(atxgatxftxu(13)(13),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)xuO)(1xfu )0( t)(01atxfu)(0tt 1x01atx 2x02atx a由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，通解通解(13)(13)表示弦上的任意擾動(dòng)總是表示弦上的任意擾動(dòng)總是以以行波形式行波形式分別分別向兩個(gè)方向向兩個(gè)方向傳播出去，傳播出去，正好是方程正好是方程(3)(3)中出現(xiàn)的常數(shù)中出現(xiàn)的

22、常數(shù)其傳播速度其傳播速度達(dá)朗貝爾解法達(dá)朗貝爾解法又稱為行波法又稱為行波法圖圖3.13.126內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)1 1無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)問(wèn)題問(wèn)題的的達(dá)朗貝爾解達(dá)朗貝爾解為公式為公式).()(),(atxgatxftxu(13)(13)其中方程其中方程(3)(3)的的通解通解形式為形式為行波法或達(dá)朗貝爾解法行波法或達(dá)朗貝爾解法27內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2 2無(wú)限長(zhǎng)弦強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)限長(zhǎng)弦強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題問(wèn)題的的解解為公式為公式),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(