復變函數(shù)課件：第九章 Laplace變換(精簡)

1、1第九章第九章 Laplace 變換變換9.2 Laplace 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)9.1 Laplace 變換的概念變換的概念9.3 Laplace 逆變換逆變換9.4 Laplace 變換的應用變換的應用求解常微分方程（組）求解常微分方程（組）29.1 Laplace 變換的概念變換的概念 一、一、Laplace 變換的定義變換的定義二、幾個常用函數(shù)的二、幾個常用函數(shù)的 Laplace 變換變換 3一、一、Laplace 變換的定義變換的定義 s 的某一區(qū)域內(nèi)收斂，的某一區(qū)域內(nèi)收斂， 即即如果對于如果對于 則稱則稱 為為 的的 Laplace 變換變換 )(sF)(tf相應地，稱相應地，稱

2、 為為 的的 Laplace 逆變換逆變換或或像原函數(shù)像原函數(shù)， )(tf)(sF設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是定義在是定義在 上的實值函數(shù)，上的實值函數(shù)， ),0( )(tf定義定義 復參數(shù)復參數(shù) , js 0d)()(ettfsFts積分積分 在復平面在復平面 記為記為 )(sF,)(tf或或像函數(shù)像函數(shù)， .d)()()(0e ttftfsFts記為記為 )(tf.)(1sF 的的 Laplace 變換就是變換就是 的的 Fourier 變換。變換。 ttutf e)()()(tf注注 P213定義定義 9.1 Re s足夠大足夠大4 0eedtt sta 0)(e1tsasa)Re(Reas 0e)

3、(dttut s,1as ,1s )0(Re s 0e1dtts 0e1tss,1s )0(Re s 0e1dtt s1例例 )(tueatP213 例例 9.1 P216 例例 9.3 5二、幾個常用函數(shù)的二、幾個常用函數(shù)的 Laplace 變換變換(2) )(t ; 1 ;1s (1) 1 )(tu= (4) tae;1as 6 0ed1tsmts 0e1tsmts 01dettsmtsm.!1 msm二、幾個常用函數(shù)的二、幾個常用函數(shù)的 Laplace 變換變換 0detttsmmt解解 (3) 1 mtsm 2 mt2)1(smm 1msm! (2) )(t ; 1 ;1s 1! ms

4、m(1) 1 mt(3) )(tu= (4) tae;1as 7)11(21ajsajs .22ass 二、幾個常用函數(shù)的二、幾個常用函數(shù)的 Laplace 變換變換costa解解 (5) e(21taj) etaj (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= 8(2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= .22asa 二、幾個常用函數(shù)的二、幾個常用函數(shù)的 Laplace 變換變換(6) tasin)11(21a

5、jsajs .22ass costa解解 (5) e(21taj) etaj 9(2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= .22asa 二、幾個常用函數(shù)的二、幾個常用函數(shù)的 Laplace 變換變換(6) tasin特點特點 變換的結(jié)果均為變換的結(jié)果均為分式函數(shù)分式函數(shù)。 109.2 Laplace 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)二、二、延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)三、三、微分性質(zhì)微分性質(zhì)四、卷積和卷積定理四、卷積和卷積定理11一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)P216 )(sF )(sG

6、. )(tg記記, )(tf);()( )()(sbGsaFtbgtaf 則有則有設(shè)設(shè)為常數(shù)，為常數(shù)，ba ,1 ).()( )()(tbgtafsbGsaF 12解解,1121)( sssF)()(1sFtf 211s111 s.ee2tt )(tf1 . )(sF已知像函數(shù)已知像函數(shù)例例,)2)(1(1)( sssF求求eta;1as 13二、二、延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)1. 延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) 則對任一則對任一非負實數(shù)非負實數(shù) 有有 設(shè)當設(shè)當 t 0 時時 ,0)( tf)( tf. )(esFs 性質(zhì)性質(zhì) P222 P222 可見，在利用本性質(zhì)可見，在利用本性質(zhì)求逆變換時求逆

7、變換時應為：應為：因此，本性質(zhì)也可以因此，本性質(zhì)也可以直接表述直接表述為：為： )()( tutf. )(esFs . )()( tutf )(e1sFs 注意注意 在延遲性質(zhì)中專門強調(diào)了當在延遲性質(zhì)中專門強調(diào)了當 t 0 時時 這一這一約定約定。 0)( tf )(sF記記, )(tf14 .2, 0,2,2ettt根據(jù)根據(jù)延遲性質(zhì)延遲性質(zhì)有有 設(shè)設(shè) 求求 ,11)(2esssF 例例 . )(1sF 111 s,et 解解 由于由于 )2(2e tut )(1sF P223 例例9.13 修改修改 eta;1as . )()( tutf )(e1sFs 15二、二、延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)延遲性

8、質(zhì)與位移性質(zhì)1. 延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) 則對任一非負實數(shù)則對任一非負實數(shù) 有有 設(shè)當設(shè)當 t 0 時時 ,0)( tf)( tf. )(esFs 性質(zhì)性質(zhì) P222 P222 為任一復常數(shù)，則為任一復常數(shù)，則設(shè)設(shè)a).()(easFtfat 性質(zhì)性質(zhì) 2. 位移性質(zhì)位移性質(zhì) P223 .)(22basas cosebtat例如例如 .)(22basb sinebtat.)(!1 masmematt )(sF記記, )(tf16三、三、微分性質(zhì)微分性質(zhì) )(tf . )0()(fssF 性質(zhì)性質(zhì) 導數(shù)的象函數(shù)導數(shù)的象函數(shù) P217 P217 )()(tfn. )0()0()0()()1(21 nnn

9、nffsfssFs一般地，有一般地，有 Laplace 變換的這一性質(zhì)非常重要，可用來求解微分變換的這一性質(zhì)非常重要，可用來求解微分 方程方程( (組組) )的初值問題。的初值問題。 9.4 將專門介紹將專門介紹 ） （ )(sF記記, )(tf17四、卷積和卷積定理四、卷積和卷積定理當當 時，時， 如果函數(shù)滿足：如果函數(shù)滿足： 0 t,0)()(21 tftf)()(21tftf .d)()(21 tff 按照上一章中卷積的定義，兩個函數(shù)的卷積是指按照上一章中卷積的定義，兩個函數(shù)的卷積是指 則有則有 )()(21tftf . )0(,d)()(021 ttfft P224 Laplace變換

10、中的變換中的卷積形式。卷積形式。Fourier變換中的變換中的卷積形式。卷積形式。182. 卷積定理卷積定理 )()(21tftf . )()(21sFsF 定理定理四、卷積和卷積定理四、卷積和卷積定理P224 此結(jié)論在此結(jié)論在數(shù)理方程與特殊函數(shù)數(shù)理方程與特殊函數(shù)這門課中會用到這門課中會用到 )()(21sFsF 1 )(1sF1 1 .)(2sF 19 部分部分基本性質(zhì)匯總基本性質(zhì)匯總)()(tgbtfa ; )()(sGbsFa )()(1sGbsFa . )()(tgbtfa 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) )( tf. )(esFs . )()( tutf )(e1sFs 微分性質(zhì)

11、微分性質(zhì) )(tf . )0()(fssF )()(tfn. )0()0()0()()1(21 nnnnffsfssFs )(etfta. )(asF 位移性質(zhì)位移性質(zhì) 209.3 Laplace 逆變換逆變換一、反演積分公式一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式逆變換公式 二、二、求求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法21一、反演積分公式一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式逆變換公式 1. 公式推導公式推導 函數(shù)函數(shù) 的的 Laplace 變換變換 )(tf)()( jFsF 就是函數(shù)就是函數(shù) 的的 Fourier 變換，變換， ttutf e)()(.d)()()()

12、(ee ttutfjFsFtjt 即即 .d)(21)()(ee tjtjFtutf在在 的連續(xù)點的連續(xù)點 t 處，有處，有 )(tf(2) 根據(jù)根據(jù) Fourier 逆變換，逆變換， (1) 由由 Laplace 變換與變換與 Fourier 變換的關(guān)系可知，變換的關(guān)系可知， 推導推導 )(sF記記, )(tf22一、反演積分公式一、反演積分公式 Laplace 逆變換公式逆變換公式 1. 公式推導公式推導 在在 的連續(xù)點的連續(xù)點 t 處，有處，有 )(tf.d)(21)()(ee tjtjFtutf(2) 根據(jù)根據(jù) Fourier 逆變換，逆變換， 推導推導 (3) 將上式兩邊同乘將上式兩

13、邊同乘 并由并由 有有 ,et , js .d)(21)()(e jjt sssFjtutf . )0( t即得即得 ,d)(21)(e jjt sssFjtf 反演積分公式反演積分公式 P227 ( ( 9.16 ) )式式 )(sF記記, )(tf23二、二、求求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法1. 留數(shù)法留數(shù)法 利用留數(shù)計算反演積分。利用留數(shù)計算反演積分。 則則 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 除在半平面除在半平面 內(nèi)有有限個孤立奇點內(nèi)有有限個孤立奇點 cs Re)(sF定理定理 且當且當 時，時， s,0)(sFnsss,21外是解析的，外是解析的， , ,)(Rese1kt snkssF .

14、 )0( t jjt sssFjtf d)(21)(et seP227定理定理 9.2 ks為為其中，其中，在復平面在復平面s上的上的有限孤立奇點有限孤立奇點。)(sF )(sF記記, )(tf24二、二、求求 Laplace 逆變換的方法逆變換的方法2. 查表法查表法 常用常用 幾個常用函數(shù)的幾個常用函數(shù)的 Laplace 變換變換 (2) )(t (4) tae;1as ; 1 ;1s (5) tacos;22ass 1! msm(1) 1 mt(3) )(tu= .22asa (6) tasin.)(22basas cosebtat利利用用位位移移性性質(zhì)質(zhì) .)(22basb sineb

15、tat.)(!1 masmematt25.)1(122 sCsBsA( (重根重根) ) 2)1( )2(1)( sssF(1) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 )()(1sFtf .eee2tttt 1 1 1 有有 (2) 由由 11as ,eta 21)(1as ,etat P228 例例9.17 )(tf1 . )(sF已知像函數(shù)已知像函數(shù)例例,) 1)(2(1)(2 sssF求求26解解 方法二方法二 利用利用留數(shù)法留數(shù)法求解求解 (1) 分別為分別為 的一階與二階極點，的一階與二階極點， 1,221 ss)(sF22ee)1(12,)(Res st st sssF

16、,2et )2e(lim1,e)(Res1 ssFtssts(2) 1,)(Res2,)(Res)(eet st ssFsFtf .eee2tttt .eettt P228 例例9.17 )(tf1 . )(sF已知像函數(shù)已知像函數(shù)例例,) 1)(2(1)(2 sssF求求279.4 Laplace 變換的應用及綜合舉例變換的應用及綜合舉例一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (組組) ) 二、綜合舉例二、綜合舉例 28一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (組組) ) 步驟步驟 得到像函數(shù)得到像函數(shù)求求解解微分方程微分方程( (組組) )像函數(shù)的像函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程( (組組) )L

17、aplace正正變換變換微分方程微分方程( (組組) )的解的解Laplace逆逆變換變換(1) 將將微分方程微分方程( (組組) )化為像函數(shù)的代數(shù)方程化為像函數(shù)的代數(shù)方程( (組組) )； (2) 求解代數(shù)方程得到像函數(shù)；求解代數(shù)方程得到像函數(shù)； (3) 求求 Laplace 逆變換得到逆變換得到微分方程微分方程( (組組) )的的解。解。 . )0()0()0()( )()1(21)( nnnnnffsfssFstf工具工具 )(tf)(sF)(sF)(tf29,0)()0()0()(22 sYysysYs .)(22 ssY對方程兩邊取對方程兩邊取 Laplace 變換，有變換，有 (

18、2) 求求 Laplace 逆變換，得逆變換，得 , )()(tysY 解解 (1) 令令 )()(1sYty .sint 代入初值即得代入初值即得 ,0)()(22 sYsYs P218 例例9.6 利用利用Laplace變換求解微分方程變換求解微分方程例例.)0( , 0)0(, 0)()( 2yytyty .22asa sin ta30對方程兩邊取對方程兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，并代入初值得 (2) 求求 Laplace 逆變換，得逆變換，得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,16)()(3)(3)(23 ssXssXsXssXs.)1(! 3)(4 ss

19、X求解此方程得求解此方程得 )()(1sXtx .e3tt 利用利用Laplace變換求解微分方程變換求解微分方程例例. 0)0( )0( )0(,e63 3 xxxxxxxt .)(!1 masmematt31對方程組兩邊取對方程組兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)()(1)( ssYsXssX.12)(2)(31)( ssYsXssY ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 整理得整理得 ,1)()()1( sssYsXs.11)()2()(3 sssYssX P229 例例9.1

20、9 利用利用Laplace變換求解微分方程組變換求解微分方程組例例 . 1)0(,e2)(2)(3)( , 1)0(,e)()()( ytytxtyxtytxtxtt32, )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 .)()(ettytx (2) 求求 Laplace 逆變換，逆變換，得得 利用利用Laplace變換求解微分方程組變換求解微分方程組例例 . 1)0(,e2)(2)(3)( , 1)0(,e)()()( ytytxtyxtytxtxtteta;1as 33對方程組兩邊取對方程組兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,)()(e2ssYsssX .2)()(2e3sssYssX 求求解得解得 .0)( sY,1)(esssX , )1()( tutx.0)( ty(2) 求求 Laplace 逆變換，逆變換，得得 利用利用Laplace變換求解微分方程組變換求解微分方程組練習練習 . 0)0( )0( ),1(2 2, 0)0()0(),1( yytuyxyxtyx)1( tuss e1)1( ts e34 利用利用Laplace變