特征函數(shù)和矩母函數(shù)經(jīng)典實用

1、特征函數(shù)和矩母函數(shù)一、矩母函數(shù)一、矩母函數(shù) 矩母函數(shù)和特征函數(shù)矩母函數(shù)和特征函數(shù) 1定義定義 稱稱 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量x的矩母函數(shù)。的矩母函數(shù)。2原點原點矩的求法矩的求法 txe)(txeet 利用矩母函數(shù)可求得利用矩母函數(shù)可求得x的各階矩，即對的各階矩，即對 逐次求導(dǎo)，并計算在逐次求導(dǎo)，并計算在 點的點的值：值： )(t0t)(txxeet )()txnnexet （)0()nnxe（特征函數(shù)和矩母函數(shù)3和的矩母函數(shù)和的矩母函數(shù) 定理定理1 設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量設(shè)相互獨立的隨機(jī)變量 的的矩母函數(shù)分別為矩母函數(shù)分別為 ， ， ， 則其和則其和 的矩母函數(shù)為的矩母函數(shù)為

2、rxxx，21)(1t)(2t)(trrxxxy21)(ty)(1t)(2t)(tr 特征函數(shù)和矩母函數(shù)4. 母函數(shù)母函數(shù)設(shè)設(shè)x是是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，分布律，分布律 px=k=pk，k=0,1, 則稱則稱為為x的的母函數(shù)母函數(shù)。0)()(kkkxspsesp特征函數(shù)和矩母函數(shù)(1)非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量的分布律非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量的分布律pk由其母由其母函數(shù)函數(shù)p(s)唯一確定唯一確定(2)設(shè)設(shè)p(s)是是x的的母母函數(shù)，函數(shù)，若若ex存在，則存在，則ex=p (1)若若dx存在，則存在，則dx= p (1) +p (1)- - p (1)2, 2 , 1 , 0,!)0()(k

3、kppkk特征函數(shù)和矩母函數(shù)(3)獨立隨機(jī)變量之和的獨立隨機(jī)變量之和的母函數(shù)等于母函母函數(shù)等于母函數(shù)之積。數(shù)之積。(4)若若x1,x2,是相互獨立同分布的非負(fù)整是相互獨立同分布的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，數(shù)值隨機(jī)變量，n是與是與x1,x2,獨立的非獨立的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，則負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，則的的母函數(shù)母函數(shù)h(s)=g(p(s) , ey=enex1其中其中g(shù)(s),p(s)分別是分別是n, x1的母函數(shù)。的母函數(shù)。nkkxy1特征函數(shù)和矩母函數(shù)(1)，故故則則令令1 , 0!)0(!)0(, 0) 1() 1(!)(, 1 , 0,)()()(1)(100nnpppnpsspnkkkpnspn

4、spspspspnnnnnknkknnnkkknkkkkkk特征函數(shù)和矩母函數(shù)2222211212211110)1 () 1 () 1 ( )() 1 ()( ) 1() 1() 1 () 1()() 1 ()()(,)(pppexexpexexdxexexkppkpkkpkkpspkksppkpxeskpspspspkkkkkkkkkkkkkkkkkkk (2)特征函數(shù)和矩母函數(shù)設(shè)離散型非負(fù)整數(shù)隨機(jī)變量設(shè)離散型非負(fù)整數(shù)隨機(jī)變量x,y的分布律的分布律分別為分別為px=k=pk，py=k=qk，k=0,1, ，則則z=x+y的分布律為的分布律為pz=k=ck,其中其中 ck= p0 qk +p1

5、qk- -1 + + pk q0 設(shè)設(shè)x,y,z的母函數(shù)分別為的母函數(shù)分別為px(s), py(s), pz(s)，即有，即有000)()(,)(kkkzkkkykkkxscspsqspspsp(3)特征函數(shù)和矩母函數(shù)(4)000000000,)(kklklkklkkklkkskyplnpslnpkypslnkypslnkypskypsh特征函數(shù)和矩母函數(shù) 001001010( ) ( )( ( )lkjlkjlkjlkjlljllp nlpxk sp nlp xk sp nlp sp nlp sg p s特征函數(shù)和矩母函數(shù) ) 1) 1 ( ) 1 () 1 () 1 ()1 ()() 1

6、(111pexenpgppgdsdpdpdgdsspdgheyss注注特征函數(shù)和矩母函數(shù)歐拉公式： 二、特征函數(shù)二、特征函數(shù) 1 .特征函數(shù)特征函數(shù) 設(shè)設(shè)x為隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量為隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望itxe)(txitxee為為x的特征函數(shù)，其中的特征函數(shù)，其中t是實數(shù)。是實數(shù)。還可寫成還可寫成 )(txsincostxietxecossiniei()( )xxtit特征函數(shù)和矩母函數(shù)分布律為分布律為p(x=xk)=pk（k=1,2,）的離散的離散型隨機(jī)變量型隨機(jī)變量x，特征函數(shù)為特征函數(shù)為概率密度為概率密度為f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量的連續(xù)型隨機(jī)變量x，特征特征函數(shù)

7、為函數(shù)為( )( )ditxtef xx1( )kitxkktep對于對于n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量x=(x1, x2, , xn)，特，特征函數(shù)為征函數(shù)為121( )( , ,)expnitxnkkktt tteeeit x特征函數(shù)和矩母函數(shù)(1) 。(2) 在（在（- - ， ）上一致連續(xù)。）上一致連續(xù)。(3)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x的的n階矩階矩exn存在，則存在，則 , k n 當(dāng)當(dāng)k=1時，時，ex = ； 當(dāng)當(dāng)k=2時，時，dx = 。(0)1,( )1,()( )ttt( ) t( )(0)kkki ex(1)(0)/i(2)(1)2(0)(0)/ ) i特征函數(shù)和矩母函數(shù)(4) 是非

8、負(fù)定函數(shù)。是非負(fù)定函數(shù)。(5)若若x1, x2, , xn是相互獨立的隨機(jī)變量，是相互獨立的隨機(jī)變量，則則x=x1+x2+xn的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 (6)隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對應(yīng)且相互唯一確定。應(yīng)且相互唯一確定。( ) t12( )( )( )( )ntttt特征函數(shù)和矩母函數(shù) 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量x為連續(xù)型，且其特征函為連續(xù)型，且其特征函數(shù)絕對可積，則有數(shù)絕對可積，則有反演公式反演公式：1( )( )2itxf xet dt( )( )itxtef x dx（相差一個負(fù)號的傅立葉逆變換）（相差一個負(fù)號的傅立葉逆變換）（相差一個負(fù)號的傅

9、立葉變換）（相差一個負(fù)號的傅立葉變換）特征函數(shù)和矩母函數(shù)例例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布，求求x的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。解解 由于由于 所以所以 ekkxpk?。?(txekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee麥克勞林公式特征函數(shù)和矩母函數(shù)例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x服從服從a，b上的均勻分布，求上的均勻分布，求x的的特征函數(shù)。特征函數(shù)。 解解 x的概率密度為的概率密度為 所以所以 其它01)(bxaabxfdxabetbaitxx1)()(abiteeitaitb特征函數(shù)和矩母函數(shù) 設(shè)設(shè)x服從二項分布服從二項分布b(n,

10、 p)，求，求x的特的特征函數(shù)征函數(shù)g(t)及及ex、ex2、dx。knkknqpc00( )nnknitkkkn kkitn kitnnkkg te c p qcpeqpeq x的分布律為的分布律為p(x=k)= ， q=1-p，k=0,1,2,n0(0)nittdexigipeqnpdt 22dxexexnpq22222202(0)nittdexigipeqnpqn pdt 特征函數(shù)和矩母函數(shù)設(shè)設(shè)xn(0,1)，求，求x的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。 221( )2xitxg te edx22221( )22xxitxitxig tixe edxe de21g( )( )0,ln( )2dgtt

11、g ttdtg ttcg 2222( ),22xxitxitxitee edxtg t 221122( ),(0)1,0( )tctg tegcg te由得，從而特征函數(shù)和矩母函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為gx(t) ，y=ax+b，其中其中a, b為任意實數(shù)為任意實數(shù)，證明證明y的的特征函數(shù)特征函數(shù)gy(t)為為 。)()(atgetgxitby()( )it axbygte e()()i at xitbitbi at xe eee e e()itbxe gat特征函數(shù)和矩母函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量yn( , 2) ，求，求y的特征的特征函數(shù)為函數(shù)為gy(t)。22)(txetg( )()i tyxgtegtxn(0 , 1) ，x的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為設(shè)設(shè)y= x + ，則，則yn( , 2) ，y的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為2 22 222tti ti te ee特征函數(shù)和矩母函數(shù) 三、常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、特征三、常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、特征函數(shù)和母函數(shù)函數(shù)和母函數(shù)分布分布期望期望方差方差特征函數(shù)特征函數(shù)母函數(shù)母函數(shù)0-1分布分布ppqq + ps二項分布二項分布npnpq(q +ps)n泊松分布泊松分布 幾何分布幾何分布p12pqitpeqnitpeq)1(itee ititqepe1qsps1)1( se 特征函