江蘇省高郵市陽(yáng)光雙語(yǔ)初中2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)教案截長(zhǎng)補(bǔ)短專(zhuān)題

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)教案（截長(zhǎng)補(bǔ)短專(zhuān)題）教學(xué)目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)幾何證明題中“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”2.練習(xí)“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”有關(guān)習(xí)題教學(xué)過(guò)程：在幾何證明題中，涉及到添加輔助線時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，即在最長(zhǎng)的線段上截取，使之分割成兩條短線段之和；或在一條短線段上補(bǔ)充，使補(bǔ)充的線段等于另一條短線段，然后證明這兩條短線段之和等于長(zhǎng)線段。這種方法常在涉及線段和或差的題目中應(yīng)用。線段的和或差可以出現(xiàn)在條件中，也可以出現(xiàn)在結(jié)論中（形如：a+b=c，cb=a等）。例1、如圖，在abc中，ad平分bac，ab+bd=ac，求bc的值 方法一：題目中的條件ab+bd=ac，使用起來(lái)不直觀。若延長(zhǎng)ab，在延長(zhǎng)線上取bm等于

2、bd，則可以得到ab+bd=am=ac，易于使用，這種方法叫“補(bǔ)短法”，通過(guò)補(bǔ)長(zhǎng)線段，得到容易使用的相等線段。解：延長(zhǎng)ab到m，使bm=bd，連結(jié)dm，則am=ab+bm=ac，1=2，ad=ad， admadc，m=c 又bm=bd，則m=bdm，abc=2m=2c，即b:c=2:1 方法二：還可以在ac上截取an=ab，就能將條件ab+bd=ac轉(zhuǎn)化為nc=bd。這種方法叫做“截長(zhǎng)法”，和第一種方法統(tǒng)稱(chēng)“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”，常用于線段之間的關(guān)系證明或者條件的利用。解：如圖2：在ac上截取an=ab，由條件易知abdand，則dn=db and=b，又ac=ab+bd=an+nc nc=bd=nd

3、，c=ndc b=and=2c b:c=2:1 圖（2）例2、如圖所示，在rtabc中，c=90°，bc=ac，ad平分bac交bc于d，求證：ab=ac+cd 解答：證法一：如答圖所示，延長(zhǎng)ac，到e使ce=cd，連接deacb=90°，ac=bc，ce=cd，b=cab=45°，e=cde=45°，b=ead平分bac，1=2在abd和aed中，b=e，2=1，ad=ad，abdaed（aas）ae=abae=ac+ce=ac+cd，ab=ac+cd例3、正方形abcd中，e為bc上的一點(diǎn)，f為cd上的一點(diǎn)，be+df=ef，求eaf的度數(shù)。 證明思

4、路：延長(zhǎng)eb使得bg=df，易證abgadf（sas）可得af=ag，進(jìn)而求證aegaef可得eag=eaf，再求出eag+eaf=90°即可解題 解：延長(zhǎng)eb使得bg=df，在abg和adf中，ab=adabg=adf=90°bg=df可得abgadf（sas），daf=bag，af=ag，又ef=df+be=eb+bg=eg，ae=ae，aegaef（sss），eag=eaf，daf+eaf+bae=90°eag+eaf=90°，eaf=45°例4、p是bac平分線ad上一點(diǎn)，ac>ab，求證：pc-pb<ac-abpdacb證

5、明：在ac上截取ae=ab，易證apeapb（sas），pe=pb pc-pb=pc-pe<ce，而ce=ac-ae=ac-ab pc-pb<ac-ab.例5、正方形abcd中，點(diǎn)e在bc上，點(diǎn)f在cd上，eaf=45°。求證：ef=be+df證明思路：延長(zhǎng)eb至h，使bh=df，連接ah，證adfabh，faehae，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ef=he=be+hb進(jìn)而求出即可；證明：證明：延長(zhǎng)eb至h，使bh=df，連接ah，在正方形abcd中，adf=abh，ad=ab，在adf和abh中，ad=ab，adf=abh，df=hb adfabh（sas），bah=daf

6、，af=ah，fah=90°，eaf=eah=45°，在fae和hae中，af=ah，fae= eah，ae=aefaehae（sas），ef=he=be+hb，ef=be+df例6、正方形abcd中，點(diǎn)e在dc延長(zhǎng)線上，點(diǎn)f在cb延長(zhǎng)線上，eaf=45°。請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在ef、de、bf又有什么數(shù)量關(guān)系？ 證明思路：在de上取一點(diǎn)g，使dg=bf，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出d=abc=abf=90°，然后利用“邊角邊”證明abf和adg全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，dag=baf=15°，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ag=af，然后求出bae的度數(shù)以及g

7、ae的度數(shù)，根據(jù)度數(shù)求出gae=fae=45°，再利用“邊角邊”證明afe和age全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ef=ge，然后根據(jù)圖形邊的關(guān)系進(jìn)行等量代換即可得解；證明：de-ef=bf；在de上取一點(diǎn)g，使dg=bf，在正方形abcd中，ad=ab，d=abc=abf=90°，在abf和adg中，dg=bf，d=abf=90°，ad=ababfadg（sas），dag=baf=15°，ag=af，eaf=45°，baf=15°，bae=eaf-baf=45°-15°=30°，gae=90°

8、;-15°-30°=45°，gae=fae=45°，在afe和age中，ag=af，gae=fae=45°，ae=aeafeage（sas），ef=ge，ef+bf=eg+dg=de，de-ef=bf；例7、正方形abcd中，對(duì)角線ac與bd交于e，點(diǎn)f在bd上，af平分bac。求證：ac/2=ab-ef 證明思路：此題首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到ef=mf，然后利用正方形的性質(zhì)可以得到條件證明rtamfrtaef，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明題目結(jié)論證明：過(guò)f作fmab于點(diǎn)m，acbd于點(diǎn)e，ae=ac，abd=cb

9、d=45°，af平分bac，ef=mf又af=af，rtamfrtaef，ae=am，mfb=abf=45°，mf=mb，mb=ef，ef+ac=mb+ae=mb+am=ab例8、已知abc中，a=60°，bd、ce分別平分abc和acb，bd、ce交于點(diǎn)o，試判斷be、cd、bc的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 證明思路：在bc上截取bf=be,交bc于f，證明beobfo，則be=bf；再證明cdocfo，則cd=cf；即bc=bf+cf=be+cd答：bc=be+cd證明：在bc上截取點(diǎn)f，使得bf=bebd、ce分別平分abc和acbebo=fbo，dco=fco在

10、beo和bfo中be=bf，ebo=fbo，bo=bobeobfobe=bf，eob=foba=60°obc+ocb=60°doc=60°eob=fob=60°foc=60°在cdo和bfo中doc=foc，oc=oc，dco=fcocdocfocd=cfbc=bf+cf=be+cd即bc=be+cd例9、如圖，點(diǎn)m為正三角形abd的邊ab所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)b除外)，作dmn=60°，射線mn與dba外角的平分線交于點(diǎn)n，dm與mn有怎樣的數(shù)量關(guān)系? 證明思路：在ad上取一點(diǎn)p，使dp=bm，證明dpmmbn，則dm=mn答：d

11、m=mn證明：在ad上取一點(diǎn)p，使dp=bm，則ap=am，abd是等邊三角形a=abd=60°ap=am，a=60°apm為等邊三角形apm=60°dpm=120°又abd的外角為120°，bn為角平分線dbn=60°mbn=120°dmn=60°，bmn+amd=120°，a=60°，amd+adm=120°bmn=adm在dpm與mbn中bmn=adm，pd=bm，dpm=mbn=120°dpmmbndm=mn 課堂鞏固練習(xí)1、如圖，abc中，e、f分別在ab、ac上，

12、dedf，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與ef的大小2、如圖正方形abcd中，e為ad邊上的中點(diǎn)，過(guò)a作afbe，交cd邊于f，m是ad邊上一點(diǎn)，且有bm=dm+cd（1）求證：點(diǎn)f是cd邊的中點(diǎn)；（2）求證：mbc=2abe3、 在等邊abc的兩邊ab、ac所在直線上分別有兩點(diǎn)m、n，d為abc外一點(diǎn)，且mdn=60°, bdc=120°, bd=dc.當(dāng)點(diǎn)m、n在邊ab、ac上，且dm=dn時(shí)，直接寫(xiě)出bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系當(dāng)點(diǎn)m、n在邊ab、ac上，且dmdn時(shí)，猜想中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明當(dāng)點(diǎn)m、n在邊ab、ca的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出bm、nc

13、、mn之間的數(shù)量關(guān)系4、如圖已知正方形abcd中，m為cd的中點(diǎn)，e為mc上一點(diǎn)，且bae=2dam求證：ae=ab+ce 5、已知：如圖，abcd是正方形，fad=fae. 求證：be+df=ae. 6、已知：如圖，在中，ab=ac，deab，dgac，bfac，垂足分別為e、g、f。求證：de+dg=bf。7、在abc中，bac=60°，ab=ac，d是底邊bc上的一點(diǎn)，e是線段ad 上的一點(diǎn)，且bed=2ced=bac，求證bd=2cd. 課堂鞏固練習(xí)參考答案：1、證明思路：延長(zhǎng)fd至g，使得gd=df，連接bg，eg，易證dfcdgb，所以bg=cf易證edfedg所以ef=

14、eg在beg中，兩邊之和大于第三邊，所以bg+beeg又ef=eg，bg=cf，即可得出答案證明：證明：延長(zhǎng)fd至g，使得gd=df，連接bg，eg在dfc和dgb中，df=dg，cdf=bdg，dc=dbdfcdgb（sas），bg=cf，在edf和edg中df=dg，fde=gde=90°，de=deedfedg（sas），ef=eg在beg中，兩邊之和大于第三邊，bg+beeg又ef=eg，bg=cf，be+cfef2、證明思路：（1）由正方形得到ad=dc=ab=bc，c=d=bad=90°，abcd，根據(jù)afbe，求出aeb=afd，推出baeadf，即可證出點(diǎn)f

15、是cd邊的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)ad到g使bm=mg，得到dg=bc=dc，證fdgfcb，求出b，f，g共線，再證abecbf，得到abe=cbf，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出結(jié)論 證明：（1）正方形abcd，ad=dc=ab=bc，c=d=bad=90°，abcd，afbe，aoe=90°，eaf+aeb=90°，eaf+baf=90°，aeb=baf，abcd，baf=afd，aeb=afd，bad=d，ab=ad，baeadf，ae=df，e為ad邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)f是cd邊的中點(diǎn)；（2）證明：延長(zhǎng)ad到g使mg=mb連接fg，fb，bm=dm+cd，dg

16、=dc=bc，gdf=c=90°，df=cf，fdgfcb（sas），dfg=cfb，b，f，g共線，e為ad邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)f是cd邊的中點(diǎn)，ad=cdae=cf，ab=bc，c=bad=90°，ae=cf，abecbf，abe=cbf，agbc，agb=cbf=abe，mbc=amb=2agb=2gbc=2abe，mbc=2abe3、證明思路：由dm=dn，mdn=60°，可證得mdn是等邊三角形，又由abc是等邊三角形，cd=bd，易證得rtbdmrtcdn，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系 bm+nc=mn；在cn的延長(zhǎng)線上截取

17、cm1=bm，連接dm1可證dbmdcm1，即可得dm=dm1，易證得cdn=mdn=60°，則可證得mdnm1dn，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；首先在cn上截取cm1=bm，連接dm1，可證dbmdcm1，即可得dm=dm1，然后證得cdn=mdn=60°，易證得mdnm1dn，則可得nc-bm=mn解bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系 bm+nc=mn猜想：結(jié)論仍然成立證明：在cn的反向延長(zhǎng)線上截取cm1=bm，連接dm1mbd=m1cd=90°，bd=cd，dbmdcm1，dm=dm1，mbd=m1cd，m1c=bm，mdn=60°，b

18、dc=120°，m1dn=mdn=60°，mdnm1dn，mn=m1n=m1c+nc=bm+nc證明：在cn上截取cm1=bm，連接dm1可證dbmdcm1，dm=dm1，可證cdn=mdn=60°，mdnm1dn，mn=m1n，nc-bm=mn4、證明思路：首先取bc的中點(diǎn)f，連接af，過(guò)點(diǎn)f作fhae于h，連接ef，由四邊形abcd是正方形，m是cd的中點(diǎn)，易證得abfadm，又由bae=2dam，即可得af是bae的角平分線，易得ah=ab，bf=hf，又可證得rtcferthfe，即可得eh=ce，繼而可證得ae=ab+ce 證明：取bc的中點(diǎn)f，連接af

19、，過(guò)點(diǎn)f作fhae于h，連接ef四邊形abcd是正方形，ab=ad，a=d=c=90°，m是cd的中點(diǎn)，bf=dm，在abf和adm中， ab=ad，b=d，bf=dm abfadm（sas），baf=dam，bae=2dam，baf=haf，ahf=b=90°，afb=afh，bf=fh，ab=ah，fh=fc，fhe=c=90°，在rtcfe和rthfe中， fh=fc，fe=fertcferthfe（hl），eh=ce，ae=ah+he=ab+ce 5、證明思路：延長(zhǎng)cb到h，使bh=df，證明ahbafd，得到h=afd，hab=fad，經(jīng)過(guò)角的轉(zhuǎn)化得到hae=h，則he=ae，即he=be十bh，得到be+df=ae.證明：延長(zhǎng)cb到h，使bh=df，連結(jié)ah。四邊形abcd是正方形，ab=ad，abh=adc=90°在ahb和afd中，ab=ad，abh=adc=90°，bh=dfahbafdh=afd，hab=fad，fad=fae，hab=fae，hae=fab，abdc，afd=fab，hae=afd，h=afd，hae=h，he=ae，he=be十bh，bh=df，b