一個簡單非線性問題的求解

1、一個簡單非線性問題的求解1、非線性概述環(huán)顧一下身邊的自然界，會驚奇的發(fā)現(xiàn)我們根本不能夠找到任何一樣形狀筆直而又非人造的東西，我們頓悟：自然界的本質就是非線性，而以前所用的線性數(shù)學僅是對大自然真實的一種近似。非線性動力學的崛起，主要是在20世紀后半葉混沌運動的發(fā)現(xiàn)，目前其影響不僅涉及數(shù)學、力學、物理學也涉及了所有自然科學、工程技術和社會學的各個領域,成為一門極其重要的新學科。因此，研究非線性動力學中的混純運動和分岔現(xiàn)象是非常重要的事情，它們幫助我們更深刻的認識自然界的非線性本質。隨著人類社會的進步,社會、工程系統(tǒng)越來越復雜,且整個受控系統(tǒng)往往呈現(xiàn)出復雜的非線性和不確定性,如飛行器控制系統(tǒng)、電力系

2、統(tǒng)、水電站系統(tǒng)等。與之相矛盾的是人們不斷期望提高系統(tǒng)的可靠性、安全性、且提高生產效率和經濟效益。因此,對復雜的非線性系統(tǒng)，如何設計出不但要保證系統(tǒng)本身不確定性和外界擾動時快速穩(wěn)定且獲得較好控制性能；同時，也要保證系統(tǒng)發(fā)生故障時，在利益最大化的前提下，保持系統(tǒng)穩(wěn)定,已成為當前控制理論與控制工程的主要研究熱點和難點。自從1963年美國氣象學家lorenz (1963)提出洛倫茲方程，并指出在三階非線性系統(tǒng)中可能會出現(xiàn)混亂解。直到1975年,混沌(chaos)作為一個名詞首次在科學文獻中出現(xiàn)，它以前所未有的速度迅速發(fā)展成為有豐富的非線性物理背景和深刻數(shù)學內涵的現(xiàn)代科學。因此，著名物理學家j.ford

3、認為混純是20世紀物理學第三次大革命（前兩次是量子力學和相對論）。當然，理論發(fā)展到一定程度后，存在于自然界和工程中的混純現(xiàn)象及其發(fā)現(xiàn)顯得更有實踐意義。綜上所述,研究非線性動力學系統(tǒng)、動力學特征之間的內在聯(lián)系、混沌運動特征等，并嘗試改進或提出新的控制理論和控制方法來控制一類非線性系統(tǒng)，這是一個既有理論研究價值又具有工程實踐意義的科學問題。2、問題的簡單描述奇點是相平面上速度以及加速度都為零的點。在奇點上，因為速度，同時加速度，所以有。所以，奇點是相平面上的平衡點。在相平面上，除了奇點以外的點都是尋常點，根據奇點的形態(tài)又可以分為中心點、焦點、節(jié)點以及鞍點。比如，一個系統(tǒng)的運動方程為，試求它的奇點。

4、3、問題求解由運動方程可以知道，。 1）、當時，滿足，所以可以知道，點（0,0）為奇點。方程的解為：。2）、當時，由積分，可以得到：。、當時，在時，。此時我們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖a，此時選取，分別?。?。由圖a可以看出，出y軸之外的所有積分都是沿著x軸趨近奇點的，而且極限方向都是x軸，所以認為點（0,0）是節(jié)點，而且是穩(wěn)定的節(jié)點。、當時，也是拋物線，在時，。此時我們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖b，此時選取，分別?。?。由圖b可以看出，出x軸之外的所有積分都是沿著y軸趨近奇點的，而且極限方向都是y軸，所以也認為點（0,0）是節(jié)點，而且是穩(wěn)定的節(jié)點。、當時，是射線，。此時我

5、們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖c，此時選取，分別?。?。顯然，由圖d可以看出，此時的點（0,0）是一個穩(wěn)定的節(jié)點。、當時，是雙曲線，此時我們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖d，此時選取，分別?。?。由圖d可以看出，點（0,0）已經是鞍點，而且是不穩(wěn)定的。4、matlab編程計算1）、當（）時，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:2:3;y=abs(x).2*t;plot(x,y)2）、當（）時，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:2:3;y=abs(x).0.5*t;plot(x,y)3）、當時，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:6:3;y=abs(x).1*t;plot(x,y)4）、當時，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:2:3;y=abs(x).（-1）*t;plot(x,y)5、小結 非線性動力學是涉及力學、數(shù)學、物理科學、機械工程乃至控制工程和電氣工程等眾多學科的新興交叉學科，也是分析復雜系統(tǒng)