地圖投影與高斯投影

1、第六章 地圖投影與高斯投影 本章主要介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影，同時(shí)簡單介紹一般的投影概念，著重講述我國采用的高斯投影，解決由球面到平面的換算問題，并借此解決相鄰帶的坐標(biāo)換算，從而為控制測量的平差計(jì)算奠定基礎(chǔ)。第一節(jié) 地圖投影與高斯投影 測量工作的根本任務(wù)，便是正確測定地面點(diǎn)的坐標(biāo)和測繪各種地形圖。在橢球面上計(jì)算坐標(biāo)遠(yuǎn)比在平面上復(fù)雜，而且地形圖以及其他各種地圖都是畫在平面圖紙上的。因此，人們往往將橢球面上的起始點(diǎn)大地坐標(biāo)，各點(diǎn)間的橢球面方向和邊長，統(tǒng)統(tǒng)按一定的數(shù)學(xué)（或幾何）規(guī)則投影到一個(gè)平面上，以便在平面上進(jìn)行計(jì)算和繪圖。研究各種投影方法和投影公式及其特征的科學(xué)，叫做

2、地圖投影學(xué)。 在大地或控制測量中，常用以下投影公式進(jìn)行點(diǎn)的坐標(biāo)變換 （61）式中 B、L是橢球面上某一點(diǎn)的大地坐標(biāo)，x，y是該點(diǎn)投影在平面上的直角坐標(biāo)。 一、地圖投影分類 必須指出，球面或橢球面都是不可展平的曲面，把這類曲面上的線段或圖形投影到平面上，必然要產(chǎn)生變形，通常，變形可分為長度變形、角度變形以及由此派生的面積變形三種。地圖投影時(shí)，雖然變形是不可避免的，但是人們可以根據(jù)制圖的要求，設(shè)法消除或消弱某種變形，而保留乃至放大另一種變形，使各種投影具有各自不同的特征。因此，地圖投影的種類頗多，按它們的變形特征，可區(qū)分為下列三種：（1） 正形投影使投影圖形與其橢球面原形在極小范圍內(nèi)有相似的特征。

3、 （2） 等面積投影使投影面上的面積與橢球面上的原面積保持不變。 （3） 等邊投影自投影面上中心一點(diǎn)至所有其他各點(diǎn)的距離均無變形。 此外，投影可直接由地球橢球面投影至平面上，亦可先將地球橢球面投影至一個(gè)能夠展平的曲面，如圓柱面、圓錐面等。然后再將其展平成平面圖，因此，依投影方式，又可分為下列幾種： （1）圓錐投影取圓錐形使其中心軸與地軸重合，并使圓錐面與地球上某一緯圈相切，然后將地球上的點(diǎn)、線投影與圓錐面上，這種投影叫做切圓錐投影。若將圓錐展平，則所有地球上的子午線投影均為輻射直線，而所有緯圈的投影，均為同心圓弧。在此種投影中，離相切的緯圈愈近的地區(qū)，其變形愈小。 （2）圓柱投影取圓柱形使其中

4、心軸與地軸相合，并使圓柱面與地球赤道相切，將地球上點(diǎn)、線投影于圓柱面，再將圓柱展開，則橢球上子午線的投影，均為平行直線，緯圈投影均為與子午線投影相垂直的平行直線。具有正形特征的圓柱投影叫做墨卡托（Mercartor）投影。該投影廣泛用于航海圖。若使圓柱面與子午圈相切，則稱做橫軸圓柱投影。 （3）天頂投影將地面點(diǎn)、線投影于一與地球表面相切的平面，其切點(diǎn)往往位于投影地區(qū)的中心。該投影可保持中心點(diǎn)至其它各點(diǎn)間的方位角。 二、高斯投影的概念 高斯投影是正形投影的一種。正形投影也叫等角投影或相似投影，數(shù)學(xué)上稱為保角變換。正形投影的一般條件是柯西黎曼微分方程。顯然，高斯投影必須滿足正形投影的一般條件。但是

5、，有了此條件，并不能最后確定（61）式中的具體函數(shù)式。為此，還必須加入高斯投影本身的特定條件。如圖61，設(shè)想有一個(gè)橢圓柱面套在地球橢球的外面，并與某一子午線相切（該子午線稱為中央子午線），橢圓柱的中心軸通過橢球中心。將橢球面上的點(diǎn)、線投影到此圓柱上，并滿足下述三個(gè)條件： （1）正形投影條件（柯西黎曼微分方程）； （2）中央子午線投影為直線； （3）中央子午線投影后長度不變。則稱此投影為高斯投影。投影后，中央子午線和赤道的投影都是直線，分別為縱坐標(biāo)軸（x軸）和橫坐標(biāo)軸（y軸），兩者的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，這就構(gòu)成了高斯平面直角坐標(biāo)系，如圖62所示。投影后點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）可按一定的解析式計(jì)算得到。

6、高斯投影沒有角度變形，在中央子午線上也沒有長度變形，但除中央子午線外均存在長度變形，且相距中央子午線越遠(yuǎn)，長度變形越大。長度變形是有害的，雖然不能完全消除它，但要合理的加以限制，使其對測圖和用圖影響很小以至可以忽略，為此，應(yīng)在一定范圍內(nèi)，選擇中央子午線，采取分帶投影的辦法，即按一定的經(jīng)差將地球表面分為若干帶。我國采用的是將中央子午線左右各30或1.50劃分為一帶，稱為“60帶或30帶”，各帶均按高斯投影三個(gè)條件進(jìn)行投影，因此各投影帶將有自己的坐標(biāo)軸和原點(diǎn)。 60帶自00子午線（格林尼治子午線）起每隔經(jīng)差60自西向東分帶，依此編號為1，2，3，設(shè)帶號為n，中央子午線的經(jīng)度為L0，則有 （62）反

7、之，若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)所屬帶號可由下式 （63）按四舍五入規(guī)則計(jì)算。 30帶是在60帶的基礎(chǔ)上分帶的，其中央子午線一部分同60帶的中央子午線重合，一部分同60帶的分帶子午線重合。有關(guān)規(guī)范中沒有規(guī)定統(tǒng)一的編號?，F(xiàn)仍用1、2、3、編號，并在帶號前注以30帶以示區(qū)別。自1.50子午線起每隔經(jīng)差30自西向東分帶，依此編號，設(shè)帶號為，中央子午線的經(jīng)度為,則： （64）同樣，已知某點(diǎn)經(jīng)度L求30帶帶號的公式為 （65）60帶和30帶的編號如圖63所示。我國包含了西自750，東至1350范圍的各投影帶，共有11個(gè)60帶，21個(gè)30帶。 例：設(shè)某點(diǎn)的，求和 解： 為了避免橫坐標(biāo)y出現(xiàn)負(fù)值，規(guī)定將y值

8、加上500000m，又為了區(qū)別各帶坐標(biāo)的不同，規(guī)定在y值（已加500000m）之前冠以帶號和相當(dāng)于對y值加上n×1000000以y假定示之。稱為統(tǒng)一坐標(biāo)。例如，在60帶的第20帶中，y200.25m，則統(tǒng)一坐標(biāo)?？刂泣c(diǎn)（或大地點(diǎn)）成果表中給出的均是統(tǒng)一坐標(biāo)。因此在實(shí)際換算時(shí)，則要去掉帶號，減去500000m，恢復(fù)原來的數(shù)值，常稱它為“自然值”。例如：在成果表中抄得y40428368.45m，則該點(diǎn)在第40帶內(nèi)，由于我國最東面的60帶是23帶，所以得知它是30帶坐標(biāo)，橫坐標(biāo)為71631.55m。至于縱坐標(biāo)值，無論在哪一帶都是由赤道起算的自然值。 由于分帶，造成了邊緣子午線兩側(cè)的控制點(diǎn)和

9、地形圖處于不同的投影帶內(nèi)，使兩側(cè)相鄰控制點(diǎn)的坐標(biāo)系不統(tǒng)一，使用時(shí)很不方便。因此，在兩個(gè)相鄰的拼接處，規(guī)定要有重迭部分，即每一60帶向東加寬（相當(dāng)于1/10萬地形圖的經(jīng)幅），向西加寬或（相當(dāng)于1/5萬或1/2.5萬地形圖的經(jīng)幅）。這樣就保證了在重迭部分有兩套坐標(biāo)和兩套地形圖，給邊緣地區(qū)的地形拼接和使用、控制點(diǎn)的相互利用和跨帶控制網(wǎng)的平差等都帶來很大的方便。第二節(jié) 正形投影的一般條件 有了前面的高斯投影的概念，就可以將（61）式具體化了，也就是可以推導(dǎo)出高斯投影的實(shí)用數(shù)學(xué)表達(dá)式。為了推證公式的方便，本節(jié)先導(dǎo)出長度比的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再引入等量緯度q，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)正形投影的基本公式。為下節(jié)推導(dǎo)高

10、斯投影公式作準(zhǔn)備。 長度比又名長度比例尺，是衡量地圖投影變形大小的一種數(shù)量指標(biāo)，其定義為投影面上無窮小線段ds與橢球面上相應(yīng)的無窮小線段dS之比，以m表示 （66） 長度比是一個(gè)變量，在一般情況下，它不僅隨點(diǎn)位的不同而變化，即使在同一點(diǎn)上，也隨方向的不同而異。 正形投影在無窮小范圍內(nèi)保持投影前后的圖形相似，其長度比m僅隨點(diǎn)位而變化，而與方向無關(guān)。由此可推求正形投影的一般條件（或基本公式）。 圖64為橢球面，圖65為投影平面。在橢球面上有無限接近的兩點(diǎn)P1（L，B）和P2（LdL，B+dB），投影后為和，dS為橢球面上無窮小線段，其方位角為A，投影在平面上為無窮小線段ds投影后仍為曲線，但其長度

11、實(shí)際上與相應(yīng)眩長的長度相差甚微，故可視為直線。 在橢球面上，過P1和P2點(diǎn)分別作子午圈和平行圈，由微小三角形，可得子午圈弧長微分和平行圈弧長微分 （67） 因?yàn)槠叫腥η拾霃絩與卯酉曲率半徑的關(guān)系為 故 （68）則有 （69） 式中 M和r都是緯度B的函數(shù)，為了簡化以后公式推導(dǎo)過程，令 （610）則（69）式可簡寫為 （611） 在平面上，由圖65所示，顯然有 （612）故 （613） 由（610）式可知，q是大地緯度B的函數(shù)，這個(gè)q值叫做等量緯度，對（610）式積分得 （614） 等量緯度q得引入，是為了推求公式的方便，而實(shí)用上還是采用大地緯度B，最后結(jié)果公式仍要用B表示。為此，先導(dǎo)出等量緯

12、度差與大地緯度差的關(guān)系式 由（614）式知 （615） 按泰勒級數(shù)將（615）式在B0處展開得 （616）式中，于是有 （617） 由（610）式知 根據(jù)上式可導(dǎo)出各高階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如下 （618）式中。 將上述各階導(dǎo)數(shù)代入（617）式，即得 （619）式中 （620） 利用級數(shù)回求法可得（619）式得反算公式為 （621）式中 （622） （619）式和（621）式即為等量緯度與大地緯度的關(guān)系式。上述公式在推求高斯投影反算公式時(shí)特別有用?，F(xiàn)在再討論正形投影的一般條件。 一點(diǎn)的大地緯度L是從起始大地子午線起算的，若從某中央子午線L0起算，則用徑差表示。由于L0為常數(shù)，顯然。顧及B和q間的確定關(guān)系

13、，可將（61）式寫成 （623）對上式全微分得 （624）將上式代入（613）式，并將代替得 （625）式中 （626） 現(xiàn)在考慮在和這兩種特定情況下和長度比平方值，有 （627、28）因正形投影得長度比與方向無關(guān)，則上兩式應(yīng)相等，即 （629）在一般情況下，即當(dāng)和都不等于零時(shí)，其也必須與（628、29）式相等。顯然，必須（625）式中的即 （630）由（630）式得 （631）將（631）式代入（629）式得 （632）將上式開方取正值，并代入（630）式得 （633）（633）式即為橢球面到平面得正形投影得一般條件，該條件又稱為柯西黎曼方程。它們使得任何投影點(diǎn)上的無限短距離的長度在所有方向上都相等。 與此相反，也可導(dǎo)出平面正形投影到橢球面的一般條件為 （634） 柯西黎曼微分方程還可根據(jù)微分幾何或復(fù)變函數(shù)論中兩曲面間正形投影的一般公式導(dǎo)出。兩曲面間正形投影的一般公式是 （635）式中在投影區(qū)為解析函數(shù)，應(yīng)滿足的柯西黎曼微分方程為 （636） 對于橢球面正形投影與平面，則相應(yīng)的一般條件為 （637）則與（6