簡單的線性規(guī)劃問題附答案

1、簡單的線性規(guī)劃問題學習目標1了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等根本概念 2了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題.知識點一 線性規(guī)劃中的根本概念名稱意義約束條件關于變量x, y的一次不等式(組)線性約束條件關于x, y的一次不等式(組)目標函數(shù)欲求最大值或最小值的關于變量x, y的函數(shù)解析式線性目標函數(shù)關于變量x, y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x, y)可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題知識點二線性規(guī)劃問題1目標函數(shù)的最值線性目標函

2、數(shù)z= ax+ by (b 0)對應的斜截式直線方程是y= bx +卡，在丫軸上的截距是 器 當z變化時，方程表示一組互相平行的直線.當b>0 ,截距最大時，z取得最大值，截距最小時,z取得最小值;當b<0 ,截距最大時，z取得最小值，截距最小時,z取得最大值.2 解決簡單線性規(guī)劃問題的一般步驟在確定線性約束條件和線性目標函數(shù)的前提下，解決簡單線性規(guī)劃問題的步驟可以概括為：“畫、移、求、答四步，即，(1) 畫：根據(jù)線性約束條件，在平面直角坐標系中，把可行域表示的平面圖形準確地畫出來，可行域可 以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的無限大的平面區(qū)域.(2) 移：運用數(shù)形結合的思想，把目

3、標函數(shù)表示的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點(或邊界)便是最優(yōu)解.(3) 求：解方程組求最優(yōu)解，進而求出目標函數(shù)的最大值或最小值.(4) 答：寫出答案.知識點三簡單線性規(guī)劃問題的實際應用1 線性規(guī)劃的實際問題的類型(1) 給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，使完成的任務量最大，收到的效益最大；(2) 給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務消耗的人力、物力資源量最小.常見問題有： 物資調(diào)動問題例如，兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)兩個車站運往外地，兩個車站的運輸能力是有限的，且兩煤礦運往兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調(diào)動方案，才能使總運費最?。?產(chǎn)品安排問題例如，某工廠生產(chǎn)

4、甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使每月獲得的總利潤最大？ 下料問題例如，要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？2 解答線性規(guī)劃實際應用題的步驟(1) 模型建立：正確理解題意，將一般文字語言轉化為數(shù)學語言，進而建立數(shù)學模型，這需要在學習有 關例題解答時，仔細體會范例給出的模型建立方法.(2) 模型求解：畫出可行域，并結合所建立的目標函數(shù)的特點，選定可行域中的特殊點作為最優(yōu)解.(3) 模型應用：將求解出來的結論反應到具體的實例中，設計出最正確的

5、方案. 題型一求線性目標函數(shù)的最值y w 2,例1變量x, y滿足約束條件 x+ y> 1,那么z= 3x + y的最大值為()x y< 1,A. 12B. 11C. 3D. 1答案 B解析 首先畫出可行域，建立在可行域的根底上，分析最值點，然后通過解方程組得最值點的坐標，代入即可如圖中的陰影局部，即為約束條件對應的可行域，當直線y= 3x + z經(jīng)過點A時，z取得y= 2,x= 3,最大值.由？此時z= 3x + y= 11.x y= 1 y= 2,x+ y 2w 0,跟蹤訓練1 (1)x, y滿足約束條件 x 2y 2w 0,假設z= y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一.，那么實

6、2x y+ 2 > 0,數(shù)a的值為()1 1A.2或一1B. 2或2D. 2或1x y+ 1< 0, 假設變量x, y滿足約束條件 x+ 2y 8< 0,那么z= 3x+ y的最小值為 .x> 0,答案(1)D(2)1解析(1)如圖，由y= ax+ z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a>0時，要使z= y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，那么a= 2;當a<0時，要使z= y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，那么a= 1.由題意，作出約束條件組成的可行域如下圖，當目標函數(shù)z= 3x+ y,即y= 3x+ z過點(0,1)時z取最小值1.題型二非線性目標函

7、數(shù)的最值問題x y 2< 0,例2設實數(shù)x, y滿足約束條件 x+ 2y 4> 0, 求2y 3 < 0,(1) x2+ y2的最小值；(2) ；的最大值.解 如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC,(1)令u = x2+ y2,其幾何意義是可行域ABC內(nèi)任一點(x, y)與原點的距離的平方.過原點向直線x + 2y 4 = 0作垂線y= 2x,那么垂足為x+ 2y 4= 0,y= 2x48的解，即5, 8x+ 2y 4 = 0, 又由2y 3 = 0,所以垂足在線段AC的延長線上，故可行域內(nèi)的點到原點的距離的最小值為13所以，x2 + y2的最小值為.(2)令v = y,其

8、幾何意義是可行域xy 0ABC內(nèi)任一點(x, y)與原點相連的直線I的斜率為v,即v =由x 0圖形可知，當直線I經(jīng)過可行域內(nèi)點 C時，v最大,由(1)知 C 1 ,所以Vmax= £所以f的最大值為|.x> 0,跟蹤訓練2 x, y滿足約束條件 y?0,那么(x+ I)2+ y2的最小值為 .x+ y> 1,答案 10解析 畫出可行域(如下圖).(x+ I)2 + y2即點A(-3,0)與可行域內(nèi)點(x, y)之間距離的平方顯然AC長度最小，二 AC2= (0 + |)2 + (1- 0)2= 10, 即 (x+1)2+ y2 的最小值為 10.題型三 線性規(guī)劃的實際應

9、用例I某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中，要求每天消耗A, B原料都不超過12千克通過合理安排生產(chǎn)方案，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是多少？x+ 2yw 12,2x+ y w 12,解 設每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應的利潤為 z元，于是有z=x>0, y>0,x N , y N,I00x+ 400y,在坐標平面內(nèi)畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線I00x+ 400y= 0，平移該直

10、線，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(4,4)時，相應直線在 y軸上的截距達到最大，此時z= I00x+ 400y取得最大值，最大值是 z= 300 X 4+ 400 X 4= 2 800 ,即該公司可獲得的最大利潤是2 800元.反思與感悟 線性規(guī)劃解決實際問題的步驟： 分析并根據(jù)數(shù)據(jù)列出表格； 確定線性約束條件； 確定線性目標函數(shù)； 畫出可行域；利用線性目標函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；實際問題需要整數(shù) 解時，應適當調(diào)整，以確定最優(yōu)解.跟蹤訓練I 預算用2 000元購置單價為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可 能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌子、椅子各

11、買多少才行？解 設桌子、椅子分別買 x張、y把，目標函數(shù)z= x+ y,把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為50x+ 20y= 2 000, 由y= x,解得x=2007，200y=，所以A點的坐標為200 200x= 25, 解得 75y= 2，50x+ 20y= 2 000, 由y= 1.5x,所以B點的坐標為25, 75 .所以滿足條件的可行域是以200200 , B 25, 75 ,00,0為頂點的三角形區(qū)域如圖.由圖形可知，目標函數(shù)z= x+ y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為B 25, 75但注意至U x N*, y N*,x= 25, 故取y= 37.故買桌子25張，椅子37把是最好的選

12、擇.x+ y 3 w 0,1 .假設直線y= 2x上存在點x, y滿足約束條件 x 2y 3w 0,x> m,那么實數(shù)m的最大值為C.35x 11y> 22,2x+ 3y> 9,2.某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件2xw 11,x N*, y N*,z= 10x+ 10y的最大值是A . 80B. 85yw 1,3.實數(shù)x, y滿足xw 1,x+ y> 1,那么z= x2 + y2的最小值為、選擇題1 .假設點x, y位于曲線y= |x與 y= 2所圍成的封閉區(qū)域，那么2x y的最小值為C. 0D. 2x> 1 ,2 .設變量x,y滿足約束條

13、件x+ y 4 w 0,那么目標函數(shù)z= 3x y的最大值為實數(shù)x, y滿足x> 1,y> 0,x y> 0,1,01,+4.假設滿足條件x y> 0,x + y 2w 0,x 3y+ 4w 0,C*4那么z=孑的取值范圍是B.(汽 0D . 1,1)的整點x, y整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點恰有9個，那么整數(shù)aA .3B .2C. 1D .x> 1,5 .x, y滿足x+ yw 4,目標函數(shù)x+ by + cw 0,為)A .1,4B. 1,C .2, 1D. 1,的值為)320z= 2x + y的最大值為7,最小值為1，那么b, c的值分別6.x,x + y

14、> 5,滿足約束條件 x y+ 5> 0,使z= x+ aya > 0取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，那么axw 3,的值為、填空題7 假設x, y滿足約束條件 yw 2,那么z= x+ 2y的取值范圍是 x+ y> 2,8. 一1 wx + yw4且2wx yw 3,那么z= 2x 3y的取值范圍是 (答案用區(qū)間表示).0 w xw 2,9. 平面直角坐標系 xOy上的區(qū)域D由不等式組 yw 2,給定.假設M(x, y)為D上的動點，xw 2y點A的坐標為 (2, 1), 那么z= OM oA的最大值為.10. 滿足|x|+ |y|w 2的點(x, y)中整點(橫縱坐標都

15、是整數(shù))有個.x y+ 2> 0,11. 設實數(shù)x, y滿足不等式組 2x y 5w 0,那么z= |x+ 2y 4|的最大值為 .x+ y 4> 0,三、解答題x 4yw 3,12. x, y滿足約束條件 3x+ 5yw 25,目標函數(shù)z= 2x y,求z的最大值和最小值.x> 1,x+ y 11> 0,13. 設不等式組 3x y+ 3> 0,表示的平面區(qū)域為 D假設指數(shù)函數(shù)y= ax的圖象上存在區(qū)域 D上的點，5x 3y+ 9w 0求a的取值范圍.14. 某家具廠有方木料 90 m3，五合板600 m2,準備加工成書桌和書櫥出售.生產(chǎn)每張書桌需要 方木料0.

16、1 m3，五合板2 m2,生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2 m3,五合板1 m2，出售一張方桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.(1) 如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？(2) 如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？(3) 怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？當堂檢測答案1.答案 B解析如圖，當y= 2x經(jīng)過且只經(jīng)過x+ y 3 = 0和x= m的交點時，m取到最大值，此時，即(m,2m)在直線x+ y3 = 0 上，貝U m= 1.2 .答案 C119解析 該不等式組表示的平面區(qū)域為如下圖的陰影局部由于x, y n*，計算區(qū)域內(nèi)與2, 2最近的點為(5,4)，故當x= 5, y= 4時，z取得

17、最大值為90.解析實數(shù)x, y滿足的可行域如圖中陰影局部所示，那么z的最小值為原點到直線 AB的距離的平方,故 Zmin =課時精練答案一、選擇題1答案 A解析 畫出可行域，如下圖，解得A(-2,2)，設z= 2x-y,把 z= 2x-y 變形為 y= 2x- z, 那么直線經(jīng)過點 A時z取得最小值； 所以 zmin = 2X ( 2) 2=- 6,應選 A.2 .答案 D解析作出可行域，如下圖.x+ y- 4= 0 ,聯(lián)立x-3y + 4 = 0 ,x= 2 ,解得y= 2.當目標函數(shù)z= 3x- y移到(2,2)時，z= 3x- y有最大值4.3.答案 D解析作出可行域，如下圖，y-1x的

18、幾何意義是點(x, y)與點(0,1)連線l的斜率，當直線l過B(1,0)時kl最小，最小為1.又直線l不能與直線x-y= 0平行， kl v 1綜上，k - 1,1).4.答案 C解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影局部所示，當a= 0時，只有4個整點(1,1), (0,0), (1,0), (2,0).當 a =- 1 時，正好增加(一1, - 1), (0, - 1), (1, - 1), (2, - 1) , (3 , - 1)5 個整點.應選 C.5 答案 D解析由題意知，直線 x+ by+ c= 0經(jīng)過直線2x+ y= 7與直線x+ y = 4的交點，且經(jīng)過直線2x+ y=1和直線

19、x= 1的交點，即經(jīng)過點(3,1)和點(1 , - 1),3 + b + c= 0,b = 1,二解得1 b+ c= 0,c= 2.6 .答案 D解析 如圖，作出可行域，作直線I: x+ ay= 0,要使目標函數(shù)z= x+ ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，那么將I向右上方平移后與直線x+ y= 5重合，故a= 1,選D.二、填空題7. 答案2,6解析如圖，作出可行域，作直線I: x+ 2y= 0,將I向右上方平移，過點A(2,0)時，有最小值2,過點B(2,2)時，有最大值6,故z的取值范圍為2,6.8. 答案3,8解析作出不等式組1 w x+ y w 4, 表示的可行域，如圖

20、中陰影局部所示.2 w x yw 3在可行域內(nèi)平移直線 2x 3y= 0,當直線經(jīng)過x y= 2與x+ y= 4的交點A(3,1)時，目標函數(shù)有最小值 Zmin = 2 X 3 3X 1 = 3;當直線經(jīng)過x+ y= 1與x y= 3的交點B(1, 2)時，目標函數(shù)有最大值 Zmax= 2X 1 + 3X 2= 8.所以 z 3,8.9 答案 4解析由線性約束條件0w xw , 2,yw2,畫出可行域如圖中陰影局部所示，目標函數(shù)z= OM OA = , 2x+ y，將其化為y= . 2xw 2yx+ z,結合圖形可知，目標函數(shù)的圖象過點(2, 2)時，z最大，將點(.2, 2)代入z=2x+

21、y,得z的最大值為4.10. 答案 13解析兇+ |y|w 2可化為作出可行域為如圖正方形內(nèi)部(包括邊界)， 容易得到整點個數(shù)為13個.11. 答案 21解析 作出可行域(如圖)，即 ABC所圍區(qū)域(包括邊界)，其頂點為A(1,3), B(7,9), C(3,1) 方法一可行域內(nèi)的點都在直線x+ 2y 4= 0上方， x+ 2y 4> 0,那么目標函數(shù)等價于 z= x+ 2y 4,易得當直線z= x+ 2y 4在點B(7,9)處，目標函數(shù)取得最大值zmax= 21.|x+ 2y 4| 萬法一 z= |x+ 2y 4= 5,令P(x, y)為可行域內(nèi)一動點，定直線x+ 2y 4 = 0,那

22、么z= ,5d,其中d為P(x, y)到直線x+ 2y 4= 0的距離.由圖可知，區(qū)域內(nèi)的點B與直線的距離最大，故d的最大值為|7+ 2 X 9 4|21V5=7521故目標函數(shù)Zmax = 三、解答題12. 解z= 2x y可化為y= 2x乙z的幾何意義是直線在 y軸上的截距的相反數(shù)，故當z取得最大值和最小值時，應是直線在y軸上分別取得最小和最大截距的時候作一組與I。： 2x y= 0平行的直線系I，經(jīng)上下平移，可得：當I移動到11,即經(jīng)過點A(5,2)時，zmax= 2 X 5 2= 8.當I移動到12,即過點C(1,4.4)時,Zmin = 2 X 1 4.4= 2.4.13. 解 先畫出可行域，如下圖，y= ax必須過圖中陰影局部或其邊界.T A(2,9), - 9= a2, a= 3./ a > 1, 1 v a< 3.14. 解 由題意可