復變函數(shù)與積分變換課堂學習教案

1、會計學1復變函數(shù)與積分變換課堂復變函數(shù)與積分變換課堂第一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。1.積分的定義2.積分存在的條件及其計算法3.積分的性質(zhì)第1頁/共104頁第二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向)，則將 C理解為帶有方向的曲線，稱為有向曲線有向曲線。設(shè)曲線 C的兩個端點為 A與 B，如果將 A到 B的方向作為C的正方向，則從 B到 A的方向就是C的負方向，。 常將兩個端點中一個作為起點起點，另一個作為終點終點，則正方向正方向規(guī)定為起點至終點的方向。設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線。并記作第2頁/共104頁第三頁，編輯于星

2、期一：十一點 五十七分。而簡單閉曲線的正方向正方向是指當曲線上的點 P 順此方向沿該曲線前進時，鄰近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方左方。相反的方向相反的方向就是曲線的負方向。終點為B的一條光滑有向設(shè)w=f (z)定義在區(qū)域 D內(nèi)，C是 D內(nèi)起點為 AAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO曲線。C任意分成n個弧段，設(shè)分點為第3頁/共104頁第四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。Az1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO在每個弧段zk-1zk (k=1,2,.,n)上任意取一點zk，并作和式和式的長度 ，, , 記1kkksz z-D1kkkzzz-D-當n

3、無限增加且趨于零，如有唯一極限，則稱其為f (z)沿曲線沿曲線 C的積分的積分，記作第4頁/共104頁第五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。1( )lim()nkknkCf z dzfzz z 這個積分定義就是一元實函數(shù)定積分的定義。如果C為閉曲線，則沿此閉曲線的積分記作記作第5頁/共104頁第六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。給出給出, 正方向為參數(shù)增加的方向正方向為參數(shù)增加的方向, 參數(shù)參數(shù) a及及b對應(yīng)于起點對應(yīng)于起點 如果 f (z) = u (x, y) + iv (x, y)在D內(nèi)處處連續(xù)，則u (x, y) 及 v (x, y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)。設(shè) zk= xk+

4、 ihk，設(shè)光滑曲線設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程由參數(shù)方程A及終點及終點B, 并且并且 。( )0,z tt 由于第6頁/共104頁第七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。111()kkkkkkkzzzxiyxiy-D-11()()kkkkkkxxi yyxi y- D D所以，有下面的式子：由于u, v都是連續(xù)函數(shù), 根據(jù)線積分的存在定理, 當n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, 不論對第7頁/共104頁第八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。不論對C的分法如何， 點( xk, hk )的取法如何，上式右端的兩個和式的極限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是與所以是比較容易記住的。相乘后求積

5、分得到：第8頁/共104頁第九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。而且上式說明了兩個問題：而且上式說明了兩個問題：i ) 當 f (z) 是連續(xù)函數(shù)而 C 是光滑曲線時，積分是一定存在的?？梢酝ㄟ^兩個二元實變函數(shù)的線積分來計算。根據(jù)線積分的計算方法，有第9頁/共104頁第十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。所以今后討論積分，如無特別說明，總假定被積函數(shù)是連續(xù)的，曲線C是按段光滑的。如果C是由C1, C2, . , Cn等光滑曲線首尾連接而成,則定義定義第10頁/共104頁第十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解直線的方程可寫作Czdz, 其中C為原點到點3+4i的直線段。例例1 計算或

6、在C上, 。于是又因第11頁/共104頁第十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。()()CCzdzxiy dxidy.-CCxdxydyiydxxdy容易驗證，右邊兩個線積分都與路線C無關(guān)，所以Czdz的值，不論C是怎樣的連接原點到3+4i的曲線，都等于第12頁/共104頁第十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解直線的方程可寫作計算積分例例 分別沿y = x與在C上, 。于是120()ixiy dz拋物線的方程可寫作在C上, 。于是1(1 5 ).6 - i120()ixiy dz第13頁/共104頁第十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。z0rqz-z0=reiqzOxy的正向圓周

7、, n為整數(shù)。例例2 計算, 其中C為以z0為中心, r為半徑當n = 0時，結(jié)果為當時，結(jié)果為0n 所以解解 C的方程可寫作第14頁/共104頁第十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。的中心和半徑無關(guān)，應(yīng)當記住。所以這是因為第15頁/共104頁第十六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。z1z0=1+iOxy2131) 沿原點到點例例3 計算的值，其中C為所接成的折線。解解的直線段2) 沿從原點到點的直線段段，與從1z到的直線0z第16頁/共104頁第十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。則ii)( )( );CCkf z dzkf z dz( k為常數(shù))設(shè)曲線C長度為L，f (z)在C上

8、滿足iv)|( )|f zM,復函數(shù)的積分也有下列一些簡單性質(zhì)，與實變函數(shù)中定積分的性質(zhì)類似的：第17頁/共104頁第十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。線因此便得不等式的第一部分，又因兩端取極限，得兩點之間的弧段的長度，所以事實上，是kzDkz1kz-與兩點之間的距離，ksD為這這里( )Cf z ds表示連續(xù)函數(shù)(非負的)( )f z沿C的曲第18頁/共104頁第十九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。11(),nnkkkkkfsMsMLzDD所以這是不等式的第二部分。絕對值的一個上界。例例4設(shè)C為從頂點到點3+4i的直線段，試求積分解解C的方程為。由估值不等式得第19頁/共104頁第

9、二十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。從而有而，所以在C上，第20頁/共104頁第二十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。第21頁/共104頁第二十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分?；蜓胤忾]曲線的積分值為零的條件，可能與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān)。究竟關(guān)系如何，不妨先在加強條件下做些初步探討。假設(shè) f (z) = u + iv在單連通域B內(nèi)處處解析，且連續(xù)的，且滿足柯西-黎曼方程從上節(jié)的幾個例題中思考，積分的值與路線無關(guān)積分的值與路線無關(guān),在B內(nèi)連續(xù)。由于所以 u 和 v 以及它們的偏導數(shù)在 B 內(nèi)都是第22頁/共104頁第二十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。則有其中C

10、為B內(nèi)任何一條簡單閉曲線，從格林公式格林公式與柯西-黎曼方程(路線 C 取正向)得其中D是C所圍的區(qū)域, 所以上式的左端為零。第23頁/共104頁第二十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。閉曲線的積分為零。實際上，是不必要的。因此有下面一條在解析函數(shù)理論中最基本的定理。因此在上面的假設(shè)下，函數(shù) f (z)沿B內(nèi)任何一條( )fz在 B 內(nèi)連續(xù)的假設(shè)CB內(nèi)處處解析, 則在B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:如果函數(shù) f (z)在單連通域 B定理中曲線C 可以不是簡單曲線。這個定理又稱柯西積分定理柯西積分定理。第24頁/共104頁第二十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。CB柯西柯西-古薩基本定

11、理古薩基本定理成立的條件之一是曲線曲線 C 要要屬于區(qū)域?qū)儆趨^(qū)域B。如果曲線C是B的邊界, 函數(shù) f (z) 在B內(nèi)與解析，甚至 f (z)在 B內(nèi)解析, 在閉區(qū)域B+C上連續(xù), 則 f (z)在邊界上( )d0Cf zz C上解析，即在閉區(qū)域 B + C 上的積分仍然有第25頁/共104頁第二十六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 由積分運算的性質(zhì)可知的正向例例 計算積分其中利用柯西古薩基本定理因此有 0第26頁/共104頁第二十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。第27頁/共104頁第二十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。里，現(xiàn)將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況。設(shè)函數(shù)

12、f (z)在多連通域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的任意一條簡單閉曲線，當C的內(nèi)部不完全含于D時，沿C的積分設(shè)C及C1為D內(nèi)任方向)簡單閉曲線, C1就不一定為零。意兩條(正向為逆時針在C內(nèi)部, 且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D。DCC1AABBD1FEEF第28頁/共104頁第二十九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。其中A, B在C上, ABD內(nèi)的簡單閉曲線。如右圖，AA F B BFA 及在C1上構(gòu)成兩條全在作兩條不相交的弧線, 分析，得知將上面兩等式相加, 得DCC1AABBD1FEEF第29頁/共104頁第三十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。DCC1AABBD1FEEF將上面兩式相加,

13、得即或第30頁/共104頁第三十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。上式說明在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值, 只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)閉路變形原理。閉路變形原理。1C-看成一條復合閉路G, 其正向為:上式說明如果將 C 及順時針, 則1C-沿C逆時針, 沿D變形過程中不能夠經(jīng)過 f (z)不解析的點一重要事實，稱為 f (z)不解析的點。這第31頁/共104頁第三十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。閉曲線, C1,C2,.,Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線, 它們互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn為邊界的區(qū)域全含于D

14、。如果 f (z)在D內(nèi)解析, 則設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單定理定理(復合閉路定理復合閉路定理)均取正方向；kC，其中C與為由C及Ck(k=1,2,.,n)DCC1C2C3所組成的復合閉路(C按順時針, Ck按逆時針)。第32頁/共104頁第三十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。例如 從本章1的例2知: 當C為以z0為中心的正向所以，根據(jù)閉路變形原理，對于包含z0的任何一條正向簡單曲線都有：圓周時, 第33頁/共104頁第三十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。的任何正向簡單閉曲線。是處處解析的。線, 因此, 它也包含這兩個奇點。在G 內(nèi)作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2，C

15、1只例例 計算的值, 為包含圓周|z|=1在內(nèi)在復平面內(nèi)除z=0和z=1兩個奇點外由于是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡單閉曲xyO1C1C2包含奇點 z = 0，C2只包含奇點 z=1。第34頁/共104頁第三十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。則根據(jù)復合閉路定理可得從這個例子可以看到：借助于復合閉路定理，有些比較復雜的函數(shù)的積分可以化為比較簡單的函數(shù)的積分來計算它的值。這是計算積分常用的一種方法。xyO1C1C2第35頁/共104頁第三十六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。的正向。外是處處解析的。C 內(nèi)作三個互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例例 計算在復平

16、面內(nèi)除z=0, i, -i三個奇點由于C是圓周|z-3|=1, 它包含這三個奇點。因此在奇點 z = 0，C2只包含奇點 z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點 z=-i。第36頁/共104頁第三十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。0則根據(jù)復合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i第37頁/共104頁第三十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。的正向。外是處處解析的。C 內(nèi)作三個互不包含也互不相交的正向圓周C1，C2，C3，C1只包含例例 計算在復平面內(nèi)除z=0, i, -i三個奇點由于C是圓周|z-3|=1, 它包含這三個奇點。因此在奇點 z = 0，C2只包含奇點 z=i，x

17、yOiCC1C2C3-iC3只包含奇點 z=-i。第38頁/共104頁第三十九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。則根據(jù)復合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i第39頁/共104頁第四十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。第40頁/共104頁第四十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一定理一如果函數(shù) f (z)在單連通域B內(nèi)處處解析, ( )Cf z dz則積分與連接起點及終點的路線C無關(guān)。起點z0和終點z1有關(guān), 如圖所示, 有第41頁/共104頁第四十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。z1z2BC1C2z1z2C1C2B1012( )( )(

18、 )zzCCf z dzf z dzf z dz固定z0，讓z1在B內(nèi)變動，令z1=z，則積分在B內(nèi)確定了一個單值函數(shù)對這個函數(shù)我們有下面的定理。第42頁/共104頁第四十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。證證 從導數(shù)的定義出發(fā)來證。設(shè)z為B內(nèi)任意一點, 以z為中心作一含于B內(nèi)的小圓K, 取定理二定理二如果 f (z)在單連通域B內(nèi)處處解析, 則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的一個解析函數(shù), 并且在K內(nèi)。于是可得充分小使z+DzzKzz0第43頁/共104頁第四十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。z+DzzKzz0z0-zz0, 存在, 當即時, 總有又任給又因從而有因此根據(jù)積分的估值性質(zhì)有第4

19、4頁/共104頁第四十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。這就是說即( )( )F zf z這個定理跟微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似在此基礎(chǔ)上，也可以得出類似于微積分學中的基本定理和牛頓-萊布尼茲公式。先引入原函數(shù)的概念。第45頁/共104頁第四十六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。設(shè)G (z)和H (z)是 f (z)的何任兩個原函數(shù), 則定義定義如果函數(shù)( ) z在區(qū)域D內(nèi)的導數(shù)等于 f (z), , 則稱( )( )zf z( ) z為 f (z)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù)原函數(shù)。定理二表明是 f (z)的一個原函數(shù)。0( )( )dzzF zfzz所以c為任意常數(shù)。因此, 如果

20、函數(shù) f (z)在區(qū)域B內(nèi)有一個原函數(shù) F (z), 即第46頁/共104頁第四十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。則，它就有無窮多個原函數(shù), 而且具有一般表達式 F(z) +c，c為任意常數(shù)。可推得跟牛頓-萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分計跟在微積分學中一樣，定義定義：f (z)的原函數(shù)的一般形式F (z) + c (其中c 為任意常數(shù))為 f (z)的不定積分不定積分,利用任意兩個原函數(shù)之差為一常數(shù)這一性質(zhì)，記作算公式。第47頁/共104頁第四十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。證證 因為也是 f (z)的原函數(shù), 所以或當z=z0時, 根據(jù)柯西-古薩基本定理, 0()cG z -，

21、因此有f (z)的的一個原函數(shù), 則如果 f (z)在單連通域B內(nèi)處處解析, G(z)為 這里z0, z1為域B內(nèi)的兩點。定理三定理三第48頁/共104頁第四十九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。原函數(shù)為zsin z + cos z。所以例例1 求積分0cosizzdz的值函數(shù) zcos z在全平面內(nèi)解析, 容易求得它有一個有了原函數(shù)、不定積分和積分計算公式，復變函數(shù)的積分就可用跟微積分學中類似的方法去計算。第49頁/共104頁第五十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。例例2 試沿區(qū)域數(shù)為，所以21ln (1)2z 內(nèi)的圓弧|z|=1, 計算1ln(1)d1izzz的值。積分 解解 函數(shù)第5

22、0頁/共104頁第五十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。例例 求下列積分的值:或或第51頁/共104頁第五十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。例例1 求下列積分的值:21(1)(2)iizdz211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz-第52頁/共104頁第五十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。例例1 求下列積分的值:21(1)(2)iizdz211tan(2)cosizdzz2(3)siniizdz-第53頁/共104頁第五十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。第54頁/共104頁第五十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。都是相同的。現(xiàn)在來求這個積分的值。設(shè)B

23、為一單連通域，為B中一點。若 f (z)在B內(nèi)解0z形原理，這積分的值沿任何一條圍繞的簡單閉曲線析，則函數(shù)在不解析。所以在B內(nèi)圍繞的一條0z0z閉曲線C的積分一般不為零。又根據(jù)閉路變則取以z0為中心，半徑為的很小的圓周既然沿圍繞z0的任何簡單閉曲線積分值都相同。(取其正向)作為積分曲線C。第55頁/共104頁第五十六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。由于 f (z)的連續(xù)性，在C上的函數(shù) f (z)的值將隨著的值也將隨著d的縮小而接近于其實兩者是相等的, 即因此有下面的定理。的縮小而逐漸接近于它在圓心 z0 處的值, 從而可以猜想第56頁/共104頁第五十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分

24、。析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線, 它的內(nèi)部完全含于D，z0為C內(nèi)的任一點，則如果 f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處解定理定理(柯西積分公式柯西積分公式) DCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部, 時, 0zz-0( )()f zf z-, 存在, 當證證 由于 f (z)在z0連續(xù), 任給設(shè)以z0為中心, R為半徑的圓R且。那么有第57頁/共104頁第五十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。對上式右邊第二個式子整理可得就行了, 根據(jù)閉路變形原理, 該積分的值與R無關(guān), 所以只有在對所有的 R 積分值為零才有可能, 因此, 上式即為要證的式子。 第58頁/共104頁第五十九頁，編輯

25、于星期一：十一點 五十七分。上式稱為柯西積分公式柯西積分公式。如果 f (z)在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)及C上解析，那么公式仍然成立。即即, 解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。如果C是圓周0eizzRq, 則定理可變?yōu)榈?9頁/共104頁第六十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 由公式有例例 求下列積分(沿圓周方向)的值：第60頁/共104頁第六十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 由公式有例例 求下列積分(沿圓周方向)的值：第61頁/共104頁第六十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 3|1| 112).1- - z

26、dzz2| | 421);1 zziedzz例例 求下列積分(沿圓周方向)的值：第62頁/共104頁第六十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 被積函數(shù)例例 計算積分C分別為：有兩個奇點：(1)在內(nèi)有奇點，故第63頁/共104頁第六十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 被積函數(shù)2sin41Czdzz- 11) |1|;2z -2sin4,1Czdzz- 例例 計算積分C分別為：12) |1|;2z 3) | 2;z 2sin41zz-有兩個奇點：1.z 224i22i(2)在內(nèi)有奇點，故第64頁/共104頁第六十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 被積函數(shù)2sin41Cz

27、dzz- 11) |1|;2z -2sin4,1Czdzz- 例例 計算積分1sin411Czdzzz- C分別為：12) |1|;2z 3) | 2;z 2sin41zz-有兩個奇點：1.z 22i(3)由復合閉路定理，有第65頁/共104頁第六十六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值用積分來表示。這一點和實變函數(shù)完全不同。一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導，它的導數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定，更不要說它有高階導數(shù)存在了。第66頁/共104頁第六十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。證證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點, 先證 n =1的情形, 即正向簡單曲線, 而且它的內(nèi)

28、部全含于D。關(guān)于解析函數(shù)的高階導數(shù)有下面的定理。定理定理 解析函數(shù) f (z)的導數(shù)仍為解析函數(shù), 它的 n 階導數(shù)為：第67頁/共104頁第六十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。先按定義有0201( )(),2()Cf zfzdzizz- 因此就是要證0zD 在時也趨向于零。第68頁/共104頁第六十九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。001( )(),2Cf zf zzdzizzzD-D 001( )(),2Cf zf zdzizz- 從而有令第69頁/共104頁第七十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。則0zD 時I0, 而現(xiàn)要證當0020()()1( )2()Cf zzf zf

29、zIdzizzzD-D 第70頁/共104頁第七十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。| f (z)| M。d為z0到C上各點，則,2zdD小使其滿足所以Dz0dCzD適當?shù)氐淖疃叹嚯x, 則取第71頁/共104頁第七十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。便可得L是C的長度。0zD 時, I0, 也就證這就證得了當這也就證明了一個解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)。得了第72頁/共104頁第七十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。依此類推, 用數(shù)學歸納法可以證明：此公式可以這樣記憶： 把柯西積分公式的兩邊對z0 求 n 階導數(shù)，右邊求導在積分號下進行，求導時把被積函數(shù)看作是z0的函數(shù), 而把 z

30、 看作常數(shù)。在于通過求導來求積分在于通過求導來求積分。高階導數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導高階導數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導, 而而第73頁/共104頁第七十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解1) 函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的。有第74頁/共104頁第七十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。5cos1);(1)Czdzz- 解解OC1C2Ci-ixy2) 函數(shù)在C內(nèi)的C內(nèi)以i和閉路定理,i為中心作兩個正向圓周。則此函數(shù)在由C，和所圍成的區(qū)域內(nèi)是解析的。根據(jù)復合222)(1)zCedzz 處不解析。在第75頁/共104頁第七十六頁，編輯于星期一：十一點

31、 五十七分。由定理有同樣可得第76頁/共104頁第七十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。因此(1).2ii e-122(1)zCedzz第77頁/共104頁第七十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解1) 函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的。有第78頁/共104頁第七十九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解2) 函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的。有51); zCedzz212);- zCedzz21cos3) nCzdzz第79頁/共104頁第八十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解3) 函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析, 但在C內(nèi)卻是處處解析的

32、。有51); zCedzz212);- zCedzz21cos3) nCzdzz第80頁/共104頁第八十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 被積函數(shù)例例 計算積分C分別為：3) | 2;z 有兩個奇點：(1)在內(nèi)有奇點，故第81頁/共104頁第八十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。解解 被積函數(shù)22cos(1)Czdzzz- 11) |;2z 22cos,(1)Czdzzz- 例例 計算積分C分別為：12) |1|;2z -3) | 2;z 22cos(1)zzz-有兩個奇點：0, 1.z 22i4 i(2)在1|1|2z -內(nèi)有奇點1z ，故第82頁/共104頁第八十三頁，編輯

33、于星期一：十一點 五十七分。解解 被積函數(shù)22cos(1)Czdzzz- 11) |;2z 22cos,(1)Czdzzz- 例例 計算積分C分別為：12) |1|;2z -3) | 2;z 22cos(1)zzz-有兩個奇點：0, 1.z (3)在內(nèi)有奇點，故第83頁/共104頁第八十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。證證在B內(nèi)取定一點，z為B內(nèi)任意一點，根據(jù)已知0z然后還可以用證明定理二相同的方法，證明函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，故 f (z)為解析函數(shù)。所以F (z)是B內(nèi)的一個解析函數(shù)，再根據(jù)上面定理知解析( )( )F zf z何一條簡單閉曲線C都有, 證明 f (z)在B內(nèi)0( )

34、zzfdzz條件，知積分的值與連接0z與z的路線無關(guān)，它定義了一個z的單值函數(shù)：0( )( )zzF zfdzz解析(Morera)。第84頁/共104頁第八十五頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。則則 和和 的二階偏導有的二階偏導有uvivu 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,若若什么性質(zhì)？什么性質(zhì)？第85頁/共104頁第八十六頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。即在內(nèi)滿足即在內(nèi)滿足拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程：D故有故有同理同理設(shè)設(shè) 在區(qū)域內(nèi)解析，得在區(qū)域內(nèi)解析，得ivuzf)(D：則則 和和 的二階偏導的二階偏導uvivu 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,若若有什么性質(zhì)？有什么性質(zhì)？

35、第86頁/共104頁第八十七頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。這里這里是一種運算記號，稱為是一種運算記號，稱為拉普拉斯算子拉普拉斯算子。 則稱則稱 為區(qū)域為區(qū)域 內(nèi)的內(nèi)的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)。 D( , ) x y連續(xù)偏導數(shù)，且滿足拉普拉斯連續(xù)偏導數(shù)，且滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程即即0 D 22220.xyD定義定義 如果二元實函數(shù)如果二元實函數(shù)),(yx在區(qū)域在區(qū)域內(nèi)有二階內(nèi)有二階第87頁/共104頁第八十八頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。定理定理 若若 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)解析，內(nèi)解析，( )( , )( , ) f zu x yiv x yD必為必為(共軛共軛)調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函

36、數(shù)。 ( , ), ( , )u x y v x y證證設(shè)設(shè)為為D的一個解析函數(shù)，那么的一個解析函數(shù)，那么( ) wf zuiv從而從而則則 uvxy - - uvyx222 uvxx y222 - - uvyy x根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理，根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理，u與與v具有任意階的具有任意階的連續(xù)偏導數(shù)，所以連續(xù)偏導數(shù)，所以第88頁/共104頁第八十九頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。因此因此u與與v都是調(diào)和函數(shù)。都是調(diào)和函數(shù)。同理同理從而從而根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理，根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理，u與與v具有任意階的連具有任意階的連續(xù)偏導數(shù)，所以續(xù)偏導數(shù)，所以設(shè)設(shè)u(x, y)為區(qū)域為區(qū)

37、域D內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，把使內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，把使u+iv在在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為稱為u(x, y)的共軛調(diào)和的共軛調(diào)和函數(shù)。換句話話，在函數(shù)。換句話話，在D內(nèi)滿足柯西內(nèi)滿足柯西-黎曼方程黎曼方程第89頁/共104頁第九十頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。利用柯西利用柯西-黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v，從而構(gòu)成，從而構(gòu)成應(yīng)當指出，如果已知一個調(diào)和函數(shù)應(yīng)當指出，如果已知一個調(diào)和函數(shù) u，那么就可以，那么就可以于解析函數(shù)的理論解決函數(shù)的問題。在第六章將舉例說于解析函數(shù)的理論解決函數(shù)的問題。在第六章將舉例說解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)

38、的上述關(guān)系，使我們可以借助解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的上述關(guān)系，使我們可以借助一個解析函數(shù)一個解析函數(shù) u+iv。下面舉例說明求法。這種方法可以。下面舉例說明求法。這種方法可以稱為稱為偏積分法偏積分法。明解析函數(shù)在這個方面的應(yīng)用。明解析函數(shù)在這個方面的應(yīng)用。的兩個調(diào)和函數(shù)中，的兩個調(diào)和函數(shù)中，v稱為稱為u的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)。因此，上。因此，上面的定理說明：區(qū)域面的定理說明：區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)軛調(diào)和函數(shù)。第90頁/共104頁第九十一頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。這就證明了這就證明了u(x, y)為調(diào)和函數(shù)。為調(diào)和函數(shù)。所以所以2) 由

39、由為調(diào)和函數(shù)，并求其共為調(diào)和函數(shù)，并求其共，得，得解解 1) 因為因為軛調(diào)和函數(shù)軛調(diào)和函數(shù)v(x, y)和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)。和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)。22220.uuxy第91頁/共104頁第九十二頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。從而得到一個解析函數(shù)從而得到一個解析函數(shù)這個函數(shù)可以化為這個函數(shù)可以化為此例說明，已知解析函數(shù)的實部，就可以確定它的此例說明，已知解析函數(shù)的實部，就可以確定它的虛部，至多相差一個任意常數(shù)。下面的例子則說明類似虛部，至多相差一個任意常數(shù)。下面的例子則說明類似地由解析函數(shù)的虛部地由解析函數(shù)的虛部(可能相差一個常數(shù)可能相差一個常數(shù))它的實部。它的實部。故故 因此因此vuxy -，得，得由由第92頁/共104頁第九十三頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。，使，使 f (0)=0。( )f zuiv一解析函數(shù)一解析函數(shù)解解由由因為因為得得，求，求第93頁/共104頁第九十四頁，編輯于星期一：十一點 五十七分。故故由由，得，得因此因此它可以寫成它可以寫成而而由由 f (0)=0，得，得 c=0，所以所求的解析函數(shù)為