第3章剛體力學基礎

1、新編基礎物理學學習指導 第3章 剛體力學基礎第3章 剛體力學基礎一、基本要求1理解質(zhì)點及剛體轉(zhuǎn)動慣量、角動量的概念，并會計算質(zhì)點及剛體（規(guī)則形狀剛體）的轉(zhuǎn)動慣量、角動量；2理解剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律，并應用它來求解定軸轉(zhuǎn)動剛體力矩和角加速度等問題；3會計算力矩的功、剛體的轉(zhuǎn)動動能、剛體的重力勢能，會應用機械能守恒定律解答剛體定軸轉(zhuǎn)動問題；4掌握剛體的角動量定理和角動量守恒定律，并會分析解決含有定軸轉(zhuǎn)動剛體系統(tǒng)的力學問題(質(zhì)點與剛體碰撞類問題等)。二、基本內(nèi)容（一）本章重點和難點：重點：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律及角動量守恒定律。難點：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角動量守恒定律及其應用。(二) 知識網(wǎng)絡結構圖

2、：牛二定律定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理質(zhì)點角動量定理轉(zhuǎn)動定律機械能守恒定律系統(tǒng)角動量守恒定律質(zhì)點角動量守恒定律（三）容易混淆的概念：1.轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量反映剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度，即剛體的轉(zhuǎn)動慣性大小的量度；質(zhì)量反映質(zhì)點運動狀態(tài)改變的難易程度，即質(zhì)點的慣性大小的量度。2.平動動能和轉(zhuǎn)動動能平動動能是與質(zhì)量和平動速度的平方成正比；轉(zhuǎn)動動能是與轉(zhuǎn)動慣量和角速度的平方成正比。（四）主要內(nèi)容：1描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的角位置，角位移、角速度和角加速度（）等物理量角量與線量的關系：2轉(zhuǎn)動慣量-轉(zhuǎn)動質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于轉(zhuǎn)動質(zhì)點的質(zhì)量m成以質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離r的平方。（1）質(zhì)量連續(xù)分布的剛

3、體：線分布： -質(zhì)量線分布剛體，單位長度的質(zhì)量。面分布： - 質(zhì)量面分布剛體，單位面積的質(zhì)量。體分布： 質(zhì)量體分布剛體，單位體積的質(zhì)量。（2）質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：（3）平行軸定理 3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體的合外力矩等于轉(zhuǎn)動慣量乘以角加速度。 力矩：力對軸的力矩大?。?剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理-合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能： 對于質(zhì)點、剛體組成的系統(tǒng)，動能定理仍然適用，系統(tǒng)的動能包括系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點的平動動能和剛體的轉(zhuǎn)動動能。5剛體轉(zhuǎn)動系統(tǒng)機械能守恒定律-當轉(zhuǎn)動剛體系統(tǒng)內(nèi)力只有保守力矩作功，其他外力矩和非保守內(nèi)力矩不作功或作的總

4、功為零，則整個系統(tǒng)機械能守恒。 剛體的重力勢能6角動量定理與角動量守恒定律（1）角動量質(zhì)點位矢與動量的叉積。運動質(zhì)點對某一定點的角動量：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量：（2）角動量定理-對一固定軸，作用于系統(tǒng)的合外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)對該軸的角動量的增量。 沖量矩：力矩的時間積累效應。（3）角動量守恒定律-若剛體所受合外力矩為零時，剛體的角動量守恒。當時，（五）思考問答：問題1 以恒定角速度轉(zhuǎn)動的飛輪上有兩個點，一個點在飛輪的邊緣，另一個點在轉(zhuǎn)軸與邊緣之間的一半處。試問：在時間內(nèi)，哪一個點運動的路程較長？哪一個點轉(zhuǎn)過的角度較大？哪一個點具有較大的線速度、角速度、線加速度和角加速度？答：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時

5、，剛體內(nèi)的任意各點具有相同的角速度、角加速度；各點的線速度、線加速度與角量之間的關系為：。所以飛輪邊緣處的點的運動路程較長；兩點轉(zhuǎn)過的角度一樣大；邊緣的點具有較大的線速度、線加速度，兩點的角速度、角加速度一樣大。問題2 如果一個剛體所受合外力為零，其合力矩是否也一定為零？如果剛體所受合外力矩為零，其合外力是否也一定為零？答： 合外力為零時，其合力矩不一定為零。合外力矩為零時，其合外力不一定為零，剛體繞定軸O在紙平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其中，其合力矩M=，但其合力。問題3 有兩個飛輪。一個是木制的，周圍鑲上鐵質(zhì)的輪緣。另一個是鐵質(zhì)的，周圍鑲上木制的輪緣。若這兩個飛輪的半徑相同，總質(zhì)量相等，以相同的角速度繞通

6、過飛輪中心的軸轉(zhuǎn)動，哪一個飛輪的動量較大？答：從轉(zhuǎn)動動能可知，當兩者相同時，越大的飛輪，其也越大。由可得木制飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為：而鐵制飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為：由于兩個飛輪的半徑相同，且，所以，即木制的飛輪動能較大。問題4 如果一個質(zhì)點系的總角動量等于零，能否說此質(zhì)點系中每一個質(zhì)點都是靜止的？如果一個質(zhì)點系的總角動量為一常量，能否說作用在質(zhì)點系上的合外力為零？答：由于，所以，角動量不僅取決于矢徑、動量的量值，還取決于矢徑與動量之間的夾角（取向），因此，總角動量為零，可以有兩種情況：第一，每一個質(zhì)點的角動量都不為零，但總和為零，則每一個質(zhì)點不可能靜止；第二，每一個質(zhì)點的角動量都為零，此時，可以使每一個質(zhì)點

7、都靜止，也可以是矢徑與速度相互平行。綜上可知，每一質(zhì)點不一定都靜止。此外，角動量守恒的條件是合外力矩為零，而合外力不一定是零。問題5 下面幾個物理量中，那些與原點的選擇有關？那些無關？（1）位矢；（2）位移；（3）速度；（4）角動量。答：位移，速度與參考系選擇有關，與坐標原點選擇無關；位矢、角動量既與參考系選擇有關，也與坐標原點選擇有關。問題6 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義是什么，大小和什么有關？答： 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義是：描述剛體作轉(zhuǎn)動時保持其原運動狀態(tài)的性質(zhì)轉(zhuǎn)動慣性。轉(zhuǎn)動慣量的大小不僅與剛體的質(zhì)量有關，也與轉(zhuǎn)軸的位置有關，也就是說與剛體的總質(zhì)量和相對于轉(zhuǎn)軸的分布有關。問題7 為什么在研究剛體運動時，

8、要研究力矩的作用？力矩和哪些因素有關？答：一個靜止的剛體能夠獲得平動加速度的原因是：相對它的質(zhì)心而言所受的合外力不為零。一個靜止的剛體相對某一轉(zhuǎn)軸能夠獲得角加速度的原因是：剛體所受到的相對轉(zhuǎn)軸的合外力矩不為零。因此，剛體的轉(zhuǎn)動是與其受到的相對轉(zhuǎn)軸的合外力矩密切相關的。取軸為剛體轉(zhuǎn)動的固定軸時，對轉(zhuǎn)動有貢獻的合外力矩是，其中，是作用在剛體上的第i個外力，在轉(zhuǎn)動軸平面內(nèi)的分量，而是轉(zhuǎn)軸(z軸）到作用點的距離，是與間由右手定則決定的夾角。所以，對z軸的力矩不但與各外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)分量的大小有關，還與的作用線和z軸的垂直距離（力臂）的值有關。問題8 在定軸轉(zhuǎn)動中，質(zhì)點與剛體發(fā)生碰撞時動量是否守恒？答：

9、質(zhì)點與定軸轉(zhuǎn)動的剛體發(fā)生碰撞時，轉(zhuǎn)軸作用于剛體的力（外力）不為零，且比較大，不能忽略，故系統(tǒng)的動量不守恒。只有在合外力矩為零時，角動量守恒。問題9 在一個系統(tǒng)中，如果該系統(tǒng)的角動量守恒，動量是否一定會守恒？反之，如果該系統(tǒng)的動量守恒，角動量是否一定守恒？答：不一定。當作用于一個系統(tǒng)的合外力矩為零時，合外力（即外力的矢量和）不一定為零，所以該系統(tǒng)的角動量守恒時，動量不一定守恒。同理，當對一個系統(tǒng)作用的合外力為零時（即外力的矢量和），合外力矩不一定為零，所以該系統(tǒng)的動量守恒時，角動量也不一定守恒。三、解題方法1.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的特征：剛體內(nèi)每個質(zhì)點都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)作圓周運動，每個質(zhì)點的角速度

10、、角加速度均相同；但因每個質(zhì)點距轉(zhuǎn)軸的距離不同，即作圓周運動的半徑不同，故各質(zhì)點的線速度，線加速度不同。2類比方法：與質(zhì)點動力學相似，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動存在一些與質(zhì)點直線運動相對應的定理和定律（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動運動學公式與質(zhì)點直線運動學公式、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律與牛頓第二定律），利用與質(zhì)點動力學類比，便于對剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定理和定律的記憶和理解。3解動力學問題時，定理、定律的選擇技巧：到目前為止，我們已學習了牛頓運動定律、動量定理、動量守恒定律、動能定理、功能原理、機械能守恒定律、角動量守恒定律等。我們會迂到質(zhì)點平動、剛體轉(zhuǎn)動、綜合等問題，在解這些動力學問題時，如何選擇其中的某些定理、定律來解題呢？我們

11、在解動力學問題過程中，通常是首先考慮能否用功能原理（或機械能守恒定律）求解；因功、能都是標量，而且都是狀態(tài)量，可不考慮過程中發(fā)生的復雜細節(jié)。其次，平動問題:考慮能否用動量定理或動量守恒定律求解；轉(zhuǎn)動問題:考慮能否用角動量定理或角動量守恒定律求解。 因(角)動量是矢量，稍復雜一些。再考慮能否用牛頓運動定律求解。4根據(jù)問題涉及物理量，確定解題路徑： （1）如問題涉及到加速度，應首選動力學方法。應用牛頓定律、轉(zhuǎn)動定律以及運動學規(guī)律，可求得幾乎所有的基本力學量。（2）如問題不涉及加速度，但涉及時間，應選擇（角）動量方法：考慮用動量定理和角動量定理處理問題。（3）如問題不涉及加速度，又不涉及時間，應選擇

12、能量方法：考慮用動能定理或功能原理、機械能守恒定律處理問題。（4）如問題不涉及加速度，又不涉及時間，且是碰撞等作用：應選擇（角）動量守恒方法： 對平動問題：可首選考慮用動量守恒定律；對有轉(zhuǎn)動問題：可首選考慮用角動量守恒定律處理問題。注：1.動量守恒定律適用于平動問題；角動量守恒定律適用于轉(zhuǎn)動問題。 2.分析問題要緊緊抓住運動過程和運動狀態(tài)。四、解題指導剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算(平行軸定理應用)1.如圖所示，求大圓盤的實心部分對軸（垂直于盤面）的轉(zhuǎn)動慣量。 （已知 ，大盤質(zhì)量為，小盤質(zhì)量為）分析 由于轉(zhuǎn)動慣量有可加性，所以先分別求出大盤和小盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量，再把小盤的除去即得大盤實心部分對軸的轉(zhuǎn)動慣量

13、。0RrMm =解：大盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量：； 小盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量：。所以實心部分對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：角動量守恒定律的應用vmO2.勻質(zhì)細棒，可繞其一端的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，原來靜止懸掛在豎直位置，今有一質(zhì)量為的小球以水平速度與其相碰撞，如圖所示，則在碰撞過程中，小球和棒組成的系統(tǒng)對點的_守恒。解：（提示：小球和棒組成的系統(tǒng)在碰撞過程中，因為棒除受到球和棒相互作用的內(nèi)力外，還受到棒由于碰撞致使軸對其的沖擊力，這個力是系統(tǒng)的外力，與內(nèi)力相比較不能忽略，作用系統(tǒng)的合外力不為零，所以系統(tǒng)的動量不守恒；在碰撞過程中，小球的重力、棒的重力對軸的力矩為零，軸對棒的支持力和沖擊力對軸的力矩也為零，所以作用于系統(tǒng)的

14、外力對軸的力矩為零，故系統(tǒng)的角動量守恒。） 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用3.圖示系統(tǒng)，彈簧勁度系數(shù)，質(zhì)量的物體置于光滑水平面上，定滑輪半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為，開始時系統(tǒng)靜止，彈簧無伸長，求物體由靜止下降距離時的速度大小。km2m1rFNP1P2FT2F¢T2F¢T1FT1F¢FP解：（提示：可用牛頓定律和剛體轉(zhuǎn)動定律求解或用機械能守恒定律求解）解：方法一 用牛頓定律和剛體轉(zhuǎn)動定律求解。首先將三個物體示力圖畫出，其中:下降的距離即代表彈簧伸長量。由牛頓定律得和的運動方程：由剛體轉(zhuǎn)動定律得： 及聯(lián)立以上各式求得加速度：又因為： 所以：積分得：方法二 用機械能守恒定律求解取、彈簧

15、、滑輪、繩子和地球為系統(tǒng)，對于這一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力（重力、彈簧力）做功，其它外力不做功，非保守內(nèi)力做功之和為零，因此系統(tǒng)的機械能守恒。取彈簧原長處為彈性勢能的零點，下降時，物體的速度為，滑輪的轉(zhuǎn)動角速度為，則：得：4唱機的轉(zhuǎn)盤繞通過圓盤中心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動，唱片放上后，將受到轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨著轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動。設唱片可以視為質(zhì)量為，半徑為的圓盤，唱片與轉(zhuǎn)盤之間的摩擦因數(shù)為，如圖所示求唱片剛放上去時受到的摩擦力矩和唱片從剛放上去到具有角速度時所需的時間。解：（提示：先用微積分法求出唱片所受的摩擦力矩，再由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律求解）唱片之所以轉(zhuǎn)動是因為受到轉(zhuǎn)盤施加的力矩即摩擦力矩的作用，它是唱片轉(zhuǎn)動的動

16、力矩。為計算唱片所受的摩擦力矩，在唱片上選取一半徑為，寬度為的圓環(huán)，其質(zhì)量為：Ordr（）則圓環(huán)所受到的摩擦力矩為：整個唱片所受到的摩擦力矩為：再由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律： 角動量守恒定律的應用5圖示一質(zhì)量為，長為的均勻細棒，可以在水平面內(nèi)繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，開始時棒靜止，今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與棒的一端垂直相碰，設碰撞是完全彈性碰撞。求碰撞后小球彈回的速率和棒的角速度。解：（提示：從角動量守恒定律和機械能守恒定律著手分析）對由球和棒所組成的系統(tǒng)，在小球與棒碰撞的過程中，對軸的角動量守恒。設碰撞后小球以速率彈回，棒以角速度轉(zhuǎn)動，由系統(tǒng)碰撞前后的角動量守恒：m¢uo又因為系統(tǒng)作

17、完全彈性碰撞，機械能守恒，則：聯(lián)立得：， 五、能力訓練1均勻細棒可以繞通過一端且與棒垂直的水平光滑軸轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置由靜止開始下落，下落位置擺動到豎直位置的過程中，則（ ）。（A）角速度從小到大，角加速度從大到小（B）角速度從小到大，角加速度從小到大（C）角速度從大到小，角加速度從大到小（D）角速度從大到小，角加速度從小到大。2如圖所示一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為、長為，繞通過桿一端并與桿成角的軸的轉(zhuǎn)動慣量為（ ）。（A） （B） （C） （D）3一個繞固定水平軸作勻速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，如圖所示，在同一水平直線上，從相反方向射入兩顆質(zhì)量相同、速率相同的子彈。 且子彈留在圓盤中，則子彈入射后，轉(zhuǎn)盤的角速度為

18、（ ）。（A）增大 （B）減小 （C）不變 （D）不能確定。O2mmm4一輕質(zhì)細繩繞在具有水平轉(zhuǎn)軸的定滑輪上，繩下端掛一質(zhì)量為 的物體，此時滑輪的角加速度為。若將物體取下，改用大小等于、方向豎直向下的力拉繩子，則滑輪的角加速度將-（ ）。（A）變大 （B）不變 （C）變小 （D）不確定5如圖所示，長為的輕桿，兩端各固定質(zhì)量為和的小球，桿可繞水平光滑O軸轉(zhuǎn)動，O距兩端距離各為和。初始靜止在豎直狀態(tài)，另有一質(zhì)量為的小球以水平初速度與桿端的小球做對心碰撞，碰后以的速度返回，則桿所獲得的角速度為（ ）。（A） （B） （C） （D）6一水平細棒上對稱地串著兩個質(zhì)量為的小球，細棒長為，且通過中心垂直棒的

19、軸轉(zhuǎn)動，小球離軸的距離為，如圖所示當轉(zhuǎn)速達到時，兩球開始向棒兩端滑動，此時撤去外力，任棒自由轉(zhuǎn)動，在此后過程中，棒與小球系統(tǒng)的（ ）。 （A）動能和動量守恒（B）動能和角動量守恒（C）只有動量守恒（D）只有角動量守恒7花樣滑冰運動員繞通過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動，開始時兩臂伸開，轉(zhuǎn)動慣量為，角速度為；然后將兩臂合攏，使其轉(zhuǎn)動慣量變?yōu)闀r，角速度變?yōu)開。8一輕繩跨過兩個質(zhì)量為、半徑均為的均勻圓盤狀滑輪，繩的兩端分別系著質(zhì)量為和的重物，系統(tǒng)由靜止釋放，繩與兩滑輪無相對滑動，求重物的加速度和兩滑輪間繩的張力。9一勻質(zhì)細棒長為，質(zhì)量為,可豎直平面內(nèi)繞過其中心的水平軸轉(zhuǎn)動，開始靜止于水平位置。一質(zhì)量為的小球，以速度垂直落到棒端與棒發(fā)生彈性碰撞，求小球碰撞后的回跳速度及棒的轉(zhuǎn)動角速度。（不考慮重力作用）10如圖所示裝置，質(zhì)量的實心圓柱體的半徑為，繞固定水平軸轉(zhuǎn)動，阻力忽略不計。一條輕柔的繩子繞在其上，另一端系一個質(zhì)量慣物體。求：（1）物體由靜止開始下降的距離；（2）繩的張力。 題10圖 題11圖 題12 圖11以質(zhì)量為，半徑為的均勻圓盤，通過其中心且與盤面垂直的水平軸以角速度轉(zhuǎn)動。若在某時刻，一質(zhì)量為的小