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文檔簡(jiǎn)介

1、二次函數(shù)中的最(定)值問(wèn)題【典例1】(2019?宜賓)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線 y= ax2 - 2x+c與直線y= kx+b都經(jīng)過(guò)A (0, - 3)、B (3, 0)兩點(diǎn),該拋物線的頂點(diǎn)為C.(1) 求此拋物線和直線 AB的解析式;(2) 設(shè)直線AB與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,在射線EB上是否存在一點(diǎn) M,過(guò)M作x軸的垂線交拋 物線于點(diǎn)N,使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)?若存在,求點(diǎn) M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明 理由;(3) 設(shè)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng) PAB面積最大時(shí),求點(diǎn) P的坐標(biāo),并求 FAB面積 的最大值.【點(diǎn)撥】(1 )將A (0, -

2、3)、B (3, 0)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)解析式即可求解;(2) 先求出C點(diǎn)坐標(biāo)和E點(diǎn)坐標(biāo),則CE = 2,分兩種情況討論:若點(diǎn)M在x軸下方,四邊形 CEMN 為平行四邊形,則 CE = MN ,若點(diǎn)M在x軸上方,四邊形 CENM為平行四邊形,則 CE= MN,設(shè)M(a, a- 3),則N (a, a2 - 2a- 3),可分別得到方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo);(3) 如圖,作 PG / y 軸交直線 AB 于點(diǎn) G,設(shè) P( m,m2- 2m- 3),則 G( m,m - 3),可由? ?=? g ?,? 得到m的表達(dá)式,利用二次函數(shù)求最值問(wèn)題配方即可.【解答】解:(1)v拋物線

3、y= ax2 - 2x+c經(jīng)過(guò)A (0, - 3)、B (3, 0)兩點(diǎn),?= -3,?= -3 ,.拋物線的解析式為 y= x2- 2x- 3,直線 y= kx+b 經(jīng)過(guò) A (0, - 3)、B (3, 0)兩點(diǎn),-3?+ ?= 0 ?= -3,解得:?= 1?= -3直線AB的解析式為y= x- 3,(2):y= x2- 2x- 3=( x- 1) 2- 4,拋物線的頂點(diǎn) C的坐標(biāo)為(1 , - 4),/ CE/ y 軸,- E (1,- 2), CE= 2,如圖,若點(diǎn) M在x軸下方,四邊形 CEMN為平行四邊形,設(shè) M (a, a - 3),貝U N (a, a2 - 2a- 3),

4、MN = a- 3-( a2 - 2a- 3)=- a2+3a,CE= MN,2- a2+3a = 2,解得:a = 2, a= 1 (舍去), M (2,- 1),如圖,若點(diǎn) M在x軸上方,四邊形 CENM為平行四邊形,CE= MN,a2 - 2a- 3),a1 SFAB= SaPGA+SaPGB= _?: - x (-? - 3a= 2,解得:a=竺孑遼,a= 篤遼(舍去),3+ V17-3+ "7 M (-T,),3+ VI7綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1)或(一,-3+帀)2(3)如圖,作PG/ y軸交直線AB于點(diǎn)G ,(m, m- 3),5/ PG = m - 3 -( m

5、2 - 2m- 3) =- m2+3m,3?) x 3 =-壬? + |?= - |(?- |)2 + 牛27315.當(dāng)m= 3時(shí), PAB面積的最大值是,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-,-)2 824【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)求最值問(wèn)題,以及二次函數(shù)與平行四邊形、三角形面積有關(guān)的問(wèn)題.【典例2】(2019?綿陽(yáng))在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y = ax2 (a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位,再向F平移2個(gè)單位,得到如圖所示的拋物線, 該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B (點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),OA = 1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)y= kx+b ( kz 0)的圖象與y軸

6、正半軸交于點(diǎn) C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,AABD的面積為5.(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式;(2) 拋物線上的動(dòng)點(diǎn) E在一次函數(shù)的圖象下方,求 ACE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);(3) 若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn),在(2)的結(jié)論下,求 PE+ 3PA的最小值.:SfflS【點(diǎn)撥】(1 )先寫出平移后的拋物線解析式,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (- 1 , 0),可求得a的值,由 ABD的面積為5可求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo),由A、D的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)解析式;(2) 作EM / y軸交AD于M,如圖,利用三角形面積公式,由Smce= Same - Sacme構(gòu)建二次函數(shù), 利用二次

7、函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;(3) 作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) F,過(guò)點(diǎn)F作FH丄AE于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)P,則/ BAE = Z HAP = Z HFE ,3利用銳角三角函數(shù)的定義可得出EP+5AP = FP + HP,此時(shí)FH最小,求出最小值即可.【解答】解:(1)將二次函數(shù)y= ax2 (a>0)的圖象向右平移1個(gè)單位,再向下平移 2個(gè)單位,得到的 拋物線解析式為y= a (x- 1) 2- 2,/ OA = 1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1, 0),代入拋物線的解析式得,4a - 2= 0, ?=拋物線的解析式為 y= 1(?2 1)2 - 2,即y= 1?- ?- |.令 y = 0,解得 X1=-

8、 1, x2= 3,- B (3, 0), AB= OA+OB = 4, ABD的面積為5,1 -? ? 2? = 5,設(shè)直線AD的解析式為y= kx+b. 4?+ ?= 2,解得:1,-?+ ?= 0?= 12直線AD的解析式為y=丄??+ 1.2 23),則 M (a,丄??+2 2(2)過(guò)點(diǎn)E作EM / y軸交AD于M,如圖,設(shè) E (a, 1 ? - ?-2-1?+ 3?+ 2,1 SACE= SaAME - S"ME= 2 X ?11132(- 2? + 2?+ 2) x 1 =-冷-3?- 4),4(?- 3)2 + 2516,.當(dāng)a= 3.時(shí), ACE的面積有最大值,最

9、大值是253,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(-,16215).8(3)作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF交x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FH丄AE于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)P,3 15、 E (- , - ), OA = 1 ,28AG = 1+ 3=5,EG=辱,2 2' 8 '5?24/ AGE = Z AHP = 90°? ? 53? 5 ?, E、F關(guān)于x軸對(duì)稱, PE= PF,二 PE+ 3ap = FP+HP = FH,此時(shí) FH 最小, EF=甘 X 2 =亍,/ AEG = Z HEF ,? ? 54 15 ?字 4 x15= 3.5 4 PE+ 3PA的最小值是3.5【點(diǎn)睛】主要考查

10、了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的 思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái),利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度,從而求出線段之間的關(guān)系,解決 相關(guān)問(wèn)題.【精練1】(2019秋?河北區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線y=- x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B, C,已知A (1, 0), C (0, 3).(1) 求拋物線的解析式;(2) 如圖1, P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)D ,是否存在這樣的P點(diǎn), 使線段PD的長(zhǎng)有最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3) 如圖2,拋物線的頂點(diǎn)為 E, EF丄x軸于點(diǎn)F, N是直線EF上一

11、動(dòng)點(diǎn),M ( m, 0)是x軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn),1請(qǐng)直接寫出CN+MN+;MB的最小值以及此時(shí)點(diǎn) M、N的坐標(biāo),直接寫出結(jié)果不必說(shuō)明理由.gl圖2【點(diǎn)撥】(1) y=- x2+ bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,貝U c= 3,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式:y =- x2+ bx+3,即可求解;(2) 設(shè)點(diǎn) D(x,- x2+2x+3),則點(diǎn) P(x,- x+3),貝U PD =( - x2+2x+3)-( - x+3)=- x2+3x,即 可求解;(3) 過(guò)點(diǎn)B作傾斜角為30°的直線BH,過(guò)點(diǎn)C作CH丄BH交于點(diǎn)H , CH交對(duì)稱軸于點(diǎn) N,交x軸于 點(diǎn)M,則點(diǎn)M、N為所求,即可求解.【解答】解:(1)

12、y=- x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,貝U c= 3,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式:y=- x2+bx+3并解得:b= 2,拋物線的表達(dá)式為:y=- x2+2x+3;(2) 存在,理由:令 y = 0,則 x=- 1 或 3,故點(diǎn) B (3, 0), 將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得: 直線BC的表達(dá)式為:y=- x+3,設(shè)點(diǎn) D (x, - x2+2x+3),則點(diǎn) P (x,- x+3),則 PD =(- x2+2x+3)- (- x+3)=- x2+3x,3 9當(dāng)x= 3時(shí),PD最大值為:-;24(3) 過(guò)點(diǎn)B作傾斜角為30°的直線BH,過(guò)點(diǎn)C作CH丄BH交于點(diǎn)H , CH交對(duì)

13、稱軸于點(diǎn) N,交x軸于點(diǎn)M ,則點(diǎn)M、N為所求,當(dāng) x=1 時(shí),y = 3- v3,當(dāng)T,則直線CH的表達(dá)式為:y=-金+3,y= 0 時(shí),x= ,故點(diǎn)N、M的坐標(biāo)分別為:(1 , 3- v3)、(v3, 0),1CN+MN+ 2MB的最小值=CH = CM+FH= 3篤"【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性等,其中(3),本題提供對(duì)的采取的用點(diǎn)的對(duì)稱軸確定線段和的方法,是此類題目的一般方法.【精練2】(2020?鄭州模擬)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y= x+4與拋物線y= - *x2+bx+c (b, c是常數(shù))交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,

14、點(diǎn)B在y軸上.設(shè)拋物線與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn) C.(1) 求該拋物線的解析式;(2) P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) A、B重合),? 如圖2,若點(diǎn)P在直線AB上方,連接 0P交AB于點(diǎn)D,求一的最大值;? 如圖3,若點(diǎn)P在x軸的上方,連接 PC,以PC為邊作正方形 CPEF,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大【點(diǎn)撥】(1 )利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;? ?(2)作PF / B0交AB于點(diǎn)F,證 PFDOBD ,得比例線段= ,則PF取最大值時(shí),? ?求得一2的?最大值;(3) (i)點(diǎn)F在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn) P作PH丄x軸于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明 CPH

15、FCO,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 PH = CO = 2,然后利用二次函數(shù)解析式求解即可;(ii)點(diǎn)E在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn)PK丄x軸于K,作PS丄y軸于S,同理可證得 EPSA CPK,可得PS= PK,則P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可求出P點(diǎn)坐標(biāo);點(diǎn)E在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn) PM丄x軸于M,作PN丄y軸于N,同理可證得 PENA PCM,可得PN= PM,貝U P點(diǎn) 的橫縱坐標(biāo)相等,可求出 P點(diǎn)坐標(biāo)由此即可解決問(wèn)題. A ( 4, 0), B (0, 4),把A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得,4? + ?=?= 48,解得,嚴(yán)-1?= 4【解答】解:(1)直線y= x+4與坐標(biāo)軸交于 A、B兩點(diǎn),當(dāng)

16、x = 0 時(shí),y = 4, x= 4 時(shí),y = 0,拋物線的解析式為??= - 1?- ?+ 4;(2)如圖1,作PF / BO交AB于點(diǎn)F , PFD OBD ,? ?= ?/ OB為定值,?當(dāng)PF取最大值時(shí), 一有最大值,?設(shè) P (x, - 1?- ?+ 4),其中4V XV 0,貝y F (x, x+4), PF= ?- ?=-扌?- ? 4 - (?+ 4) = - 2?- 2?- 2 v0且對(duì)稱軸是直線 x= 2,當(dāng)x= 2時(shí),PF有最大值,? ? 1此時(shí) PF = 2,=-;? ? 2(3)v 點(diǎn) C (2, 0), CO = 2,(i)如圖2,點(diǎn)F在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn) P作PH

17、丄x軸于H ,在正方形 CPEF 中,CP = CF,/ PCF = 90°,Vyp °1 ”7 2/PCH + / OCF = 90°,/ PCH + Z HPC = 90°,/ HPC = / OCF ,/ ?/ ?在厶 CPH 和厶 FCO 中, / ?/ ?= ? CPH FCO (AAS),PH = CO= 2,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2, - I?- ?+ 4 = 2,解得,??= -1 ±v5, ?(-1 + 需,2) , ?(-1 - v5 , 2),(ii)如圖3,點(diǎn)E在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn) PK丄x軸于K,作PS丄y軸于S, 同理可證得 E

18、PSA CPK , PS= PK ,P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù),S3 - 2?- ?+ 4= -?,解得 x= 2(舍去),x=- 2v2, ?(-2 v2, 2v2),如圖4,點(diǎn)E在y軸上時(shí),過(guò)點(diǎn) PM丄x軸于M,作PN丄y軸于N,同理可證得 PENPCM , PN= PM, P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等, - 1?- ?+ 4 = ?解得??= -2 + 2 v3, ?= -2 - 2 v3 (舍去), ?(-2 + 2 v3, - 2 + 2 v3),綜合以上可得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(-2 + 2 v3, - 2 + 2 V§) , (-2 v2, 2v2) , (-1+ 需,2) , (-1-

19、, 2).【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,正方形的性質(zhì)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論.【精練3】(2020?武漢模擬)如圖1,拋物線Mi: y=- x2+4x交x正半軸于點(diǎn)A,將拋物線Ml先向右平移 3個(gè)單位,再向上平移 3個(gè)單位得到拋物線 M2 , Mi與M2交于點(diǎn)B,直線0B交M2于點(diǎn)C.(1) 求拋物線M2的解析式;(2) 點(diǎn)P是拋物線Mi上AB間的一點(diǎn),作PQ丄x軸交拋物線 M2于點(diǎn)Q ,連接CP , CQ .設(shè)點(diǎn)P的橫 坐標(biāo)為m ,當(dāng)m為何值時(shí),使厶CPQ的面積最大,并求出最大值;?(3) 如圖2,將直線OB向下平

20、移,交拋物線 M1于點(diǎn)E , F ,交拋物線 M2于點(diǎn)G , H ,則的值是否?為定值,證明你的結(jié)論.【點(diǎn)撥】(1)先將拋物線 Mi: y=- x2+4x化為頂點(diǎn)式,由平移規(guī)律“上加下減,左加右減”可直接寫出 拋物線M2的解析式;(2) 分別求出點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo),求出m的取值范圍,再用含m的代數(shù)式表示出厶CPQ的面積, 可用函數(shù)的思想求出其最大值;(3) 設(shè)將直線OB向下平移k個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線 EH,分別求出點(diǎn)E, F, G, H的橫坐標(biāo),分別過(guò)G,H作y軸的平行線,過(guò) E,F(xiàn)作x軸的平行線,構(gòu)造相似三角形 GEM與厶HFN,可通過(guò)相似三角形的?性質(zhì)求出一的值為1.?【解答】解:(1

21、)T y=- x2+4x=-( x- 2) 2+4,將其先向右平移 3個(gè)單位,再向上平移 3個(gè)單位的解析式為:y=-( x- 5) 2+7 =- x2+10x- 18;(2)v拋物線M1與M2交于點(diǎn)B,- x2+4x=- x2+10x- 18,解得,x= 3, B (3, 3),將點(diǎn)B (3, 3)代入y= kx,得,k= 1,- yoB= x,拋物線M2與直線OB交于點(diǎn)C, x=- +10x- 18,解得,X1 = 3, X2= 6, C (6, 6),t點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn) P (m,- m2+4m),則 Q (m,- m2+iom- 18),2 2 QP =- m +I0m - 18 -

22、( - m +4m)= 6m - 18,1 SaPQC= 2 (6m- 18) (6 - m)2=-3m2+27m - 54,9=-3( m- 9)227+ 4,2在y=- m+4m中,當(dāng)y = 0時(shí),X1 = 0, X2= 4,- A (4, 0),B ( 3, 3), 3< mW 4,在 S=- 3 (m- |) 2+ 務(wù)中,根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知,當(dāng)m= 4時(shí), PCQ有最大值,最大值為 6;?(3)的值是定值1,理由如下:?設(shè)將直線OB向下平移k個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線EH ,22貝U yEH = x - k,令 x- k=- x2+4x,解得,X1= 3+9+422,X2=3-

23、 9+4?2 ,xF=3+ 2+4?,xE=3- v9+4?令x-k=- x2+10x - 18,解得,X1= 9+嚴(yán),X2=9- 2+4?xH=9+ 5?, xg= T4?,? ? ?3= = 一 = 1 ?3?二的值是定值1.?【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律,二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等, 解題關(guān)鍵是掌握用函數(shù)的思想求極值等.【精練4】(2019秋?南崗區(qū)期末)如圖,拋物線y= ax2- 11ax+24a交x軸于C, D兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)B (0,44),過(guò)拋物線的頂點(diǎn) A作x軸的垂線AE,垂足為點(diǎn)E,作直線BE .9(1) 求直線BE的解析式;(2) 點(diǎn)H為第一

24、象限內(nèi)直線 AE上的一點(diǎn),連接 CH,取CH的中點(diǎn)K,作射線DK交拋物線于點(diǎn)P, 設(shè)線段EH的長(zhǎng)為m,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n,求n與m之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出自變量 m的取值范 圍);(3) 在(2)的條件下,在線段 BE上有一點(diǎn)Q,連接QH , QC,線段QH交線段PD于點(diǎn)F,若/ HFD【點(diǎn)撥】(1 )根據(jù)拋物線可得對(duì)稱軸,可知點(diǎn)E的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可得一次函數(shù)BE的解析式;(2)如圖1,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B (0,),可得a的值,計(jì)算y= 0時(shí),x9的值可得C和D兩點(diǎn)的坐標(biāo),從而知CD的值,根據(jù)P的橫坐標(biāo)可表示其縱坐標(biāo),根據(jù) tan/ PDM =?_?=911

25、需(?-3)(?-8)11耳F=54(3-?,? 彳彳tan/ KDN = 需?=備=薯,相等列方程為 一(3 - >41554對(duì)稱軸是:x=-11?2?112 ,2?)= ,可得結(jié)論;15(3) 如圖2,延長(zhǎng)HF交x軸于T,先根據(jù)已知得/ FDO = / FTO,由等角的三角函數(shù)相等和(2)中的 ? 2?結(jié)論得:tan/FDO = tan/FTO,則一=,可得ET和CT的長(zhǎng),令/ FDO = / FTO = 2a,表示角可 ?15得/ TCQ=/ TQC,貝U TQ= CT = 5,設(shè) Q 的坐標(biāo)為(t, - 9t+ 44),根據(jù)定理列方程可得:TS2+QS2= TQ2, (2+t)

26、2+ (- 9?,+ 44) 2= 52,解得t1=, t2= 1 ;根據(jù)兩個(gè)t的值分別求n的值即可.【解答】解:(1 )拋物線 y= ax2 - 11ax+24a,11.E ( , 0),244 B(0, 丁),設(shè)直線BE的解析式為:y = kx+b,!?+ ?= o2?=449,解得:?= ?=44直線BE的解析式為:y= - 9x+辛;(2)如圖1,過(guò)K作KN丄x軸于N,過(guò)P作PM丄x軸于 M ,244t拋物線 y= ax2 11ax+24a 交 y 軸于點(diǎn) B (0,),944 24a= 丁, a= 1154' y= ttx2- 121x+545444116= 54 (x-3)

27、 (x 8),當(dāng) y= 0 時(shí),1154(x 3) ( x 8)= 0,解得:x= 3或8,二 C (3, 0), D (8,0), OC = 3, OD = 8, CD = 5, CE = DE =52, P點(diǎn)在拋物線上, Pn,1154(n 3) (n 8), PM =1154(n 3) (n 8), DM = 8 n, tan/pdm=空?=隸?-3)(?-8)=口(3 - ?,8-?8-?54 '卜/ AE丄x軸, / KNC = / HEC = 90°, KN / EH,?=5 CN = EN= 2CE= 5,1115 KN= 2?= 2m, ND= -4-,?寸

28、2?在厶 KDN 中,tan/ KDN 中,tan/ KDN=祐?聶=犒,T11 2? 544(3- ?)=荷n=36 c-5m+3 ;(3)如圖2,延長(zhǎng)HF交x軸于T,2/ HFD = 2/FDO,/ HFD =/ FDO+ / FTO , / FDO =/ FTO , tan/ FDO = tan/ FTO,在 Rt HTE 中,tan / FTO=?2? 15 ET=15 CT= 5,令/ FDO =/ FTO = 2a,1 / HQC = 90° + 丄 / ?90 ° + ?2 ,/ TQC= 90°- a, / TQC= 180°/ HQC

29、= 90° a, / TCQ= 180°/ HTC - / TCQ=/ TQC, TQ= CT= 5,.點(diǎn)Q在直線y= - 8x+ 44上,99可設(shè)q的坐標(biāo)為(t, - 9t+ 44),過(guò) Q 作 QS丄 x 軸于 S,則 QS= - 8t+ 44 , TS= 2+t, 在 Rt TQS 中,TS2+QS2= TQ2,( 2+t)2+(-8?. 44) 2= 52,解得tl=籌,t2= 1 ;當(dāng) t= 49時(shí),QS=曙,TS= 105在 Rt QTH 中,tan/ QTS=卷29"29 '1002021,2? 20 50 =,m=1521 n= - 55

30、X 5° + 3=-55712977,當(dāng)t= 1時(shí),QS= 4,TS= 3,QQQQ在 Rt QTH 中,tan/QTS= ?=2?415 = 3,m= 10, n = - 36 x 10 + 3= - 395511【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)、三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理、解直角三角形等,其中(3),運(yùn)用方程的思想,求解 t的值,難度很大.【精練5 (2019秋?大東區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線y= ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A (- 2,0),點(diǎn)B (4, 0),與y軸交于點(diǎn)C (0, 2v3),連接BC ,位于y軸右側(cè)且垂直于 x軸的

31、動(dòng)直線I,沿x 軸正方向從O運(yùn)動(dòng)到B (不含O點(diǎn)和B點(diǎn)),且分別交拋物線、線段 BC以及x軸于點(diǎn)P , D , E ,連接AC , BC , PA , PB , PC .(1) 求拋物線的表達(dá)式;(2) 如圖1 ,當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí),求使得 PEA和厶AOC相似的點(diǎn)P點(diǎn)的橫坐標(biāo);(3) 如圖1 ,當(dāng)直線1運(yùn)動(dòng)時(shí),求厶PCB面積的最大值;(4) 如圖2,拋物線的對(duì)稱軸交 x軸于點(diǎn)Q ,過(guò)點(diǎn)B作BG/ AC交y軸于點(diǎn)G .點(diǎn)H、K分別在對(duì)稱軸 和y軸上運(yùn)動(dòng),連接 PH、HK,當(dāng)厶PCB的面積最大時(shí),請(qǐng)直接寫出PH + HK+才心 的最小值.21/ 12/O1Yo0 e'/團(tuán)1Ad/2【點(diǎn)撥】(

32、1)根據(jù)A和B的坐標(biāo)設(shè)拋物線的解析式為:y= a (x+2) (x- 4),把點(diǎn)C (0, 2v3)代入可v3得:a=-寸即可求解;(2) 只有當(dāng)/ PAE=Z ACO時(shí), PEAAOC,可得方程,解方程可得 P的橫坐標(biāo);(3) 如圖1,先確定PCB的面積最大時(shí),PD最大,設(shè)P(x, -Jx2+為x+2V3),D(x,-身x+2v3),表示PD的長(zhǎng),根據(jù)二次函數(shù)的最值可得PD的最大值,最后利用三角形面積公式可得結(jié)論;(4) 由(3)知: PCB的面積最大時(shí),P (2, 2v3),則OP= v22+ (2昉)2 =4,如圖2,將直線 GO 繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到直線a,作PM丄直

33、線a于M, KM '丄直線a于M ',貝U PH + HK+ KG =PH+HK+KM PM,求出PM即可解決問(wèn)題.【解答】解:(1廠點(diǎn)A (- 2, 0),點(diǎn)B (4, 0),設(shè)拋物線的解析式為:y= a (x+2) (x- 4),把點(diǎn) C (0, 2 v3 )代入得:a= - -43,故拋物線的表達(dá)式為: y= - 3 (x+2) (x - 4) = - 3x2+ ;3x+2 V3;442v3 2 v3(2)設(shè) P (x, - xx + yx+2v3),動(dòng)直線l在y軸的右側(cè),P為拋物線與I的交點(diǎn), Ovxv 4,點(diǎn) A (- 2, 0)、C ( 0, 2 V3), - OA

34、 = 2 , OC = 2 V3 , I丄x軸,/ PEA =Z AOC= 90°, / PAEZ CAO,只有當(dāng)/ PAE = Z ACO 時(shí), PEAs AOC , 此時(shí)竺竺;即仝土蘭 .33 3 C =2,? ?+22 V33x二 PD =( -+ 23x+2 v3)-(-???? 2 v3) = - -47 ? + - 2x - 16= 0,(x+2) (3x 8)= 0, x=- 2 (舍)或 8,3OB = 4是定值,8則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-;3當(dāng)PD的值最大時(shí), PCB的面積最大, B(4,0),C(0, 2v3),設(shè)直線BC的解析式為:y= kx+b,4?+ ?= 0 則?

35、小, 解得:嚴(yán)?= 2 v3直線BC的解析式為:y=-設(shè) P (x, - x2+ #x+2),a/3D (x, - 2"X+2v3)a/3-4 (x- 2) 2+ v3,V3/ v0,1 1 _ _當(dāng)x= 2時(shí),PD有最大值是 岳,此時(shí) PCB的面積=2 ?= 2 Xv3 X4 = 2v3;(4)如圖2中,桿!II! /E2 AOC 中,0A= 2, OC = 2v3, - AC= 4,/ ACO = 30°,/ BG / AC,/ BGO = Z ACO = 30°,Rt BOG 中,OB = 4, - OG = 4v3 ,由(3)知: PCB 的面積最大時(shí),P

36、 ( 2, 2V3),則 OP= V22+(2 V3) 2 = 4,如圖2,將直線GO繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到直線a,作 PM 丄直線 a 于 M , KM '丄直線 a 于 M ',貝U PH + HK+ £kG = PH + HK + KMPM , P (2, 2v3),/ POB = 60°,/ MOG = 30°,/ MOG + Z BOC + / POB = 180° , P, O, M 共線,Rt OMG 中,OG = 4 v3, MG = 2v3 , OM = 6,可得PM = 10, PH+HK+唱KG的最小

37、值為10.【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了一次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),垂線段最短,相似三角形的判定和性質(zhì),一元二次方程等知識(shí),解題的關(guān)鍵是,學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題,把最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線段最短,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.【精練6】(2016秋?集寧區(qū)期末)如圖,對(duì)稱軸為直線 x=- 1的拋物線y= a (x-h) 2 - 4 (0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3, 0)(1) 求該拋物線的解析式;(2) 若點(diǎn)P在拋物線上,且 SaPOC= 4SaBOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3) 設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),作 QD丄x軸交拋物線于點(diǎn) D,求

38、線段QD長(zhǎng)度的最大值.V【點(diǎn)撥】(1)由對(duì)稱軸確定h的值,代入點(diǎn)A坐標(biāo)即可求解;(2) 設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)并表示 POC的面積根據(jù)題意列出方程求解即可;(3) 設(shè)出點(diǎn)Q, D坐標(biāo)并表示線段 QD的長(zhǎng)度,建立二次函數(shù),運(yùn)用二次函數(shù)的最值求解即可.【解答】解:(1)由題意對(duì)稱軸為直線 x=- 1,可設(shè)拋物線解析式:y= a (x+1) 2-4,把點(diǎn)A (- 3, 0)代入可得,a= 1, y=( x+1) 2- 4 = x2+2x - 3,(2)如圖1 ,y= x2+2x 3,當(dāng) x = 0 時(shí),y= 3,所以點(diǎn) C (0, 3) , 0C= 3,令 y = 0,解得:x =- 3,或 x= 1,點(diǎn) B

39、 (1, 0), OB = 1 ,設(shè)點(diǎn) P ( m, m2+2m 3),13此時(shí) Sa poc= 2 XOC x |m|= 2|m|,13Sa BOC= 2 x?x ? 2,由 SaPOC= 4SaBOC 得3|m|= 6 ,解得:m = 4或m=- 4,22m+2m 3= 21,或 m+2m 3 = 5 ,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(4 , 21),或(-4 , 5); (3)如圖2 ,設(shè)直線AC的解析式為:y= kx+b ,把 A (- 3 , 0), C (0, - 3)代入得:0= -3?+ ? -3 = ?解得:虞-3所以直線AC:y= x- 3,所以:39DQ = n 3 ( n2+2 n 3)= n2 3n =( n+ ) 2+ ,24n 3),點(diǎn) D (n, n2+2n- 3)設(shè)點(diǎn)Q (n,39所以當(dāng)n=-時(shí),DQ有最大值一.24【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題,會(huì)求函數(shù)解析式,會(huì)根據(jù)面積相等建立方程并準(zhǔn)確求解,知道運(yùn)用二次函數(shù)可

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