八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)因式分解的方法匯總

1、因式分解的方法一、提公因式法；一、提公因式法；二、公式法；二、公式法；三、十字相乘法；三、十字相乘法；四、換元法；四、換元法；五、分組分解法；五、分組分解法；六、拆項(xiàng)、添項(xiàng)法；六、拆項(xiàng)、添項(xiàng)法；七、配方法；七、配方法；八、待定系數(shù)法。八、待定系數(shù)法。方法一：提分因式法w 這是因式分解的首選方法。也是最基本的方法。在分解因式時(shí)一定要首先認(rèn)真觀察等分解的代數(shù)式，盡可能地找出它們的分因數(shù)（式）方法二：公式法)(22bababa222)(2bababaw 一、平方差公式：w 二、完全平方公式：w 三、立方和（差）公式：)(2233babababa)(2233babababa33223)(33babab

2、baaw 四、完全立方和（差）分式：) 1)(1(1baabab) 22)(22(4224aaaaaw 五、常用到的式子：2)(222222cbabcacabcba)(3222333acbcabcbacbaabccba方法三：十字相乘法)()(2qxpxpqxqpx對(duì)二次三項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行分解，借助十字交叉圖分解，即：62xx1072 xx例題：用十字交叉法分解下列多項(xiàng)式：1072 xx322 xx方法四、換元法w 對(duì)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化，在減少多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)，降低多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨(dú)到作用。10) 3)(4

3、(2244xxxxaxx24w 例題：（分解因式）（第12屆“五羊杯”競(jìng)賽題）w 解：設(shè)) 1)(2(210) 3)(4(2aaaaaa同步練習(xí)：分解因式12)35)(25(22xxxx2) 6)(3)(2)(1(xxxxxw （1）w （2）w （3）w （4）w （5）w （6）) 1)(1()2)(xyxyxyyxyx1999) 11999(199922xx2) 1()2)(2(xyyxxyyx333)(125)23()32(yxyxyxax：x52設(shè)) 1)(6(65212) 3)(2(aaaaaaw （1）解：w 則原式=w （2）解：原式=22222222)66()66)(66()

4、65)(67(xxxxxxxxxxxxxx) 1)(1(1222babababa)1999)(11999()1999()1999(199919991999199922xxxxxxxxw （3）設(shè)x+y=a,xy=b,則原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)w =w (4)原式=222222) 1() 1() 1(1)(2)(12)(4)(2)(2)(yxxyyxxyyxxyyxxyxyxyyxxyyxyx)23)(32)(15)23 ()32()23 ()32()( 5 )23 ()32(333333yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxw （5）原式=w (6)原式=方法五、分組分解法

5、)1)(1()1()12(12222222yxyxyxyxxxyxw （1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)w =a(m+n)+b(m+n)w =(a+b)(m+n)w (2)形如：w 把多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)姆纸M，分組后能夠有公因式或能運(yùn)用公式，這樣的因式分解的方法叫分組分解法。w 分組除具有嘗試性外，還具有目的性，或者分組后能出現(xiàn)公因式，或者能運(yùn)用分式。分組分解法是因式分解的基本方法，體現(xiàn)了化整體為局部，又有全局的思想。如何分組是解題的關(guān)鍵。常見(jiàn)的分組方法有：w （1）按字母分組：把相同的字母的代數(shù)式寫(xiě)在一起；w （2）按次數(shù)分組：把多項(xiàng)式寫(xiě)成某一個(gè)字母的降冪排列，再分組

6、；w （3）按系數(shù)分組：把系數(shù)相同的項(xiàng)寫(xiě)在一起進(jìn)行分組。w 在分組分解法時(shí)有時(shí)要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)的技巧。xyzyzxyzxxzzyyx2222222)()()()()()2()(222222zxyxzyyzxzyxzyyzzyxyzzyxzyw 例題1（上海市競(jìng)賽題）多項(xiàng)式w 因式分解后的結(jié)果是w 解：將原式重新整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則w 原式=344422yyxx) 12)(32 () 2() 12 () 44() 144 (2222yxyxyxyyxxw 例題2（重慶市競(jìng)賽題）分解因式：w 解：原式=方法六、拆項(xiàng)、添項(xiàng)法w 因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算。在多項(xiàng)式乘法因式分解是多項(xiàng)式乘法的

7、逆運(yùn)算。在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零。在或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零。在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符號(hào)相反項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符號(hào)相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)。的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)。893 xx) 8)(1() 1( 9) 1)(1() 1( 9) 1(9192233xxx

8、xxxxxxxxw 例題：分解因式：w 解法一：將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9w 原式=w 解法二：將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x 解法三：將三次項(xiàng) 拆成 解法四：添加兩項(xiàng)3x3389xx 22xx 對(duì)應(yīng)練習(xí)3369xxxmnnm4) 1)(1(22w 分解因式：w （1）w （2）方法七：配方法1724 xx22412aaxxxw 把一個(gè)式子或一個(gè)式子的部分寫(xiě)成完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法。配方法的關(guān)鍵是通過(guò)拆項(xiàng)或添項(xiàng)，將原多項(xiàng)式配上某些需要的項(xiàng)，以便得到完全平方式 ，然后在此基礎(chǔ)上分解因式。w 例題：（1）w （2）w （3）1232234xxxx) 13)(13(9121

9、72222424xxxxxxxxx) 1)(1()() 1(212222222224axxaxxaxxaaxxxxw （1）解：原式=w (2)原式=（3）原式=2222222224) 1() 1(2) 1() 1(212xxxxxxxxxxx方法八：待定系數(shù)法w 對(duì)所給的數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)已知條件和要求，先設(shè)出問(wèn)題的多項(xiàng)式表達(dá)形式（含待定的字母系數(shù)），然后利用已知條件，確定或消去所設(shè)待定系數(shù)，使問(wèn)題獲解的這種方法叫待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法解題目的一般步驟是：w 1.根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)關(guān)系，假設(shè)一個(gè)含待定系數(shù)的等式；w 2.利用怛等式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，列出含有待定系數(shù)的方程；w 3.解方程組，求出待定系

10、數(shù)，再代入所設(shè)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)中去，得到需求問(wèn)題的解。823bxaxx15) 5(2axaxw 例題1：如果 有兩個(gè)因式x+1和w x+2，則a+b=w 例題2：如果多項(xiàng)式 能分解成兩個(gè)因式（x+b）、(x+c)的乘積（b、c 為整數(shù)），則a的值是應(yīng)為多少？（第17屆江蘇省競(jìng)賽題）課堂練習(xí)：用你喜歡的方法分解下列多項(xiàng)式。32422baba346922yyxxw (1)w (2)w (3)w (4)w (5)w (6)22635yyxxyx333)()2()2(yxyxxyyyxx2) 1() 1(93523xxx3424422yxyxyx2) 1() 2)(2(xyyxxyyxw (7)w (8)w

11、 (9)w (10)w (11)w (12)w (13)證明恒等式：10)3)(4(2424xxxx4464ba 65223xxx432234232babbabaa222444)(2)(babababa) 3)(1() 1()2(12442222babababbaa) 13)(13() 2() 13(441692222yxyxyxyyxxw (1)原式=w （2）原式=w (3)原式=) 12)(3()3()2)(3()3(6522yxyxyxyxyxyxyxyx) 2)(2)( 3) 2() 2() 2() 2(3333yxyxyxyx)1)()()(2222yxyxyxyxxyyyxxw (4)原式=w (5)原式=w (6)原式=2223) 3)(1() 85)(1()(1(8351xxxxxxxxxxx) 12)(32(3)2( 2)2(2yxyxyxyx222222) 1() 1() 1(1)( 2)(12)(4)(2)( 2)(yxxyyxxyyxxyyxxyxyxyyxxyyxyxw （7）原式=w （8）原式=w (9)原式=) 1)(2(210)3)(4(2tttttt)84)(84(16)8(166416222222222224224babababababababbaa) 2)(3)(1() 72)(1() 1)(1(7