找規(guī)律—主題拓展性學(xué)習(xí)(江蘇省常州金壇市華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校潘建明)

1、找找 規(guī)規(guī) 律律潘潘 建建 明明常州市初中數(shù)學(xué)教育潘建明名師工作室企劃常州市初中數(shù)學(xué)教育潘建明名師工作室企劃主題拓展性學(xué)習(xí)主題拓展性學(xué)習(xí)江蘇省常州金壇市華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校江蘇省常州金壇市華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校1 1觀察下列各組數(shù)，嘗試寫(xiě)出第觀察下列各組數(shù)，嘗試寫(xiě)出第n n個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：（1 1）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，則第則第n n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；序號(hào)：序號(hào)：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5， n n數(shù)列：數(shù)列：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，nn一、自覺(jué)體悟一：探究體驗(yàn)一、自覺(jué)體悟一：探究體驗(yàn) 若無(wú)特殊說(shuō)明，本節(jié)課中的字母若無(wú)特殊說(shuō)明，本節(jié)課中的字母n

2、n都表示都表示正整數(shù)正整數(shù)，并且，并且n n從從1 1開(kāi)始開(kāi)始。（2 2）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：2 2，4 4，6 6，8 8，1010，則第則第n n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；序號(hào)：序號(hào)：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5， n n數(shù)列：數(shù)列：2 2，4 4，6 6，8 8，1010， 2n2n數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)思想： 經(jīng)歷了一個(gè)經(jīng)歷了一個(gè)從特殊到一般從特殊到一般的過(guò)程，體驗(yàn)的過(guò)程，體驗(yàn)了了從特殊到一般從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。的數(shù)學(xué)思想。（3 3）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：2 2，4 4，8 8，1616，3232，則第則第n n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；序號(hào)：序號(hào)：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n

3、n數(shù)列：數(shù)列：2 2，4 4，8 8，1616，3232， 2 21 1,2,22 2,2,23 3, 2, 24 4, 2, 25 5, ,，數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！2n2n數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)思想： 經(jīng)歷了一個(gè)經(jīng)歷了一個(gè)類比類比的過(guò)程，體驗(yàn)了的過(guò)程，體驗(yàn)了類比類比的的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想。變式：變式：有一列數(shù)：有一列數(shù)：4 4，8 8，1616，3232，6464，則第則第n n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；序號(hào)：序號(hào)：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n數(shù)列：數(shù)列：4 4，8 8，1616，3232，6464， 2 22 2,2,23 3, 2, 24 4, 2, 25 5,

4、 , 2 26 6，數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！2n+12n+1（4）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：4，8，16 ，32，64 ，第，第n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) ； (-1)(-1)n n2 2n+1n+1也可以表示成：也可以表示成：（1 1）當(dāng)）當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)，第為奇數(shù)時(shí)，第n n個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 ；（2 2）當(dāng)）當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，第為偶數(shù)時(shí)，第n n個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 ；體現(xiàn)了體現(xiàn)了分類數(shù)學(xué)思想分類數(shù)學(xué)思想-2-2n+1n+12 2n+1n+11 1觀察下列各組數(shù)，嘗試寫(xiě)出第觀察下列各組數(shù)，嘗試寫(xiě)出第n n個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：（2 2）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：2 2，4 4，6 6，8 8，1010，則第則第n

5、n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；（3 3）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：2 2，4 4，8 8，1616，3232，則第則第n n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；（4 4）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：4 4，8 8，1616，3232，6464，則第，則第n n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；2n2n體悟一：什么是找規(guī)律？體悟一：什么是找規(guī)律？初步感知：初步感知：我們?cè)噲D用我們?cè)噲D用一個(gè)代數(shù)式一個(gè)代數(shù)式表示出一個(gè)數(shù)列表示出一個(gè)數(shù)列的的演變準(zhǔn)則演變準(zhǔn)則。核心概念一：核心概念一： 找出找出一個(gè)代數(shù)式來(lái)表示某事物（或事件）一個(gè)代數(shù)式來(lái)表示某事物（或事件）的演變準(zhǔn)則的演變準(zhǔn)則的過(guò)程的過(guò)程叫做找規(guī)律。叫做找規(guī)律。要關(guān)注找規(guī)律的方法的多樣性要關(guān)注找規(guī)律的方法的多樣

6、性(-1)(-1)n n2 2n+1n+12 2暴露差異：暴露差異：觀察下列各組數(shù)，請(qǐng)嘗試寫(xiě)出第觀察下列各組數(shù)，請(qǐng)嘗試寫(xiě)出第n n個(gè)數(shù)：個(gè)數(shù)：（1）有一列數(shù)：）有一列數(shù)：3，5，7，9，11，則第，則第n個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 ；（2 2）有一列數(shù)：有一列數(shù)：1，4， 9，16，25，則第，則第n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) ；2121) 1() 1(nnnn或2n2n+1 當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)，第為奇數(shù)時(shí)，第n n個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 ； 當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，第為偶數(shù)時(shí)，第n n個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 。2n二、自覺(jué)體悟二：做中感悟二、自覺(jué)體悟二：做中感悟 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：一張矩形紙條的面積為一張矩形紙條的面積為1 1個(gè)平方單個(gè)平方單位，對(duì)這張

7、矩形紙條進(jìn)行平行方向連續(xù)位，對(duì)這張矩形紙條進(jìn)行平行方向連續(xù)n n次對(duì)次對(duì)折后展開(kāi)，在操作的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)哪些量折后展開(kāi)，在操作的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)哪些量是變化的？將提出什么問(wèn)題？是變化的？將提出什么問(wèn)題？ 經(jīng)驗(yàn)升華：建立聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)升華：建立聯(lián)系已知：一張矩形紙條的面積為已知：一張矩形紙條的面積為1 1個(gè)平方單位，現(xiàn)將紙個(gè)平方單位，現(xiàn)將紙條進(jìn)行若干次平行方向?qū)φ?，根?jù)你的操作過(guò)程，條進(jìn)行若干次平行方向?qū)φ?，根?jù)你的操作過(guò)程，填寫(xiě)下表：填寫(xiě)下表：對(duì)折次對(duì)折次數(shù)數(shù)所得層數(shù)所得層數(shù)（層）（層）單層面積（平方單層面積（平方單位）單位）折痕條數(shù)（條）折痕條數(shù)（條）1 1 2 2 3 3 4 4 n n 二、自覺(jué)

8、體悟二：做中感悟二、自覺(jué)體悟二：做中感悟 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：一張矩形紙條的面積為一張矩形紙條的面積為1 1個(gè)平方單個(gè)平方單位，對(duì)這張矩形紙條進(jìn)行平行方向連續(xù)位，對(duì)這張矩形紙條進(jìn)行平行方向連續(xù)n n次對(duì)次對(duì)折后展開(kāi)，在操作的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)哪些量折后展開(kāi)，在操作的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)哪些量是變化的？將提出什么問(wèn)題？是變化的？將提出什么問(wèn)題？ 序號(hào)：序號(hào)：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n層數(shù)：層數(shù)：2 2，4 4，8 8，1616，3232，面積：面積： ， ， ， ， ，折痕：折痕：1 1，3 3，7 7，1515，3131， 2n-1214181161n212n321經(jīng)驗(yàn)升華：建立聯(lián)系經(jīng)驗(yàn)

9、升華：建立聯(lián)系已知：一張矩形紙條的面積為已知：一張矩形紙條的面積為1 1個(gè)平方單位，現(xiàn)將紙個(gè)平方單位，現(xiàn)將紙條進(jìn)行若干次平行方向?qū)φ?，根?jù)你的操作過(guò)程，條進(jìn)行若干次平行方向?qū)φ?，根?jù)你的操作過(guò)程，填寫(xiě)下表：填寫(xiě)下表：對(duì)折次對(duì)折次數(shù)數(shù)所得層數(shù)所得層數(shù)（層）（層）單層面積（平方單層面積（平方單位）單位）折痕條數(shù)（條）折痕條數(shù)（條）1 1 2 2 1 12 2 4 4 3 33 3 8 8 7 74 4 16 16 15 15 n n 2 2n n 2 2n n-1-1214181161n21說(shuō)說(shuō)你有什么感悟？說(shuō)說(shuō)你有什么感悟？三、變式引領(lǐng)三、變式引領(lǐng)例例1 1觀察：觀察：9 91=21=24 4；

10、25251=41=46 6；49491=61=68 8；81811=81=81010；按；按此規(guī)律寫(xiě)出第此規(guī)律寫(xiě)出第n n個(gè)等式是個(gè)等式是 。你的解題策略是什么？你的解題策略是什么？ 例例1 1觀察：觀察： 9 91=21=24 4； 3 32 21=21=24 4； 1 1 25251=41=46 6； 5 52 21=41=46 6； 2 2 49491=61=68 8； 7 72 21=61=68 8； 3 3 81811=81=81010； 9 92 21=81=81010； 4 4 ；第第n n個(gè)等式是個(gè)等式是（ ）2 2-1=( )-1=( )（ ）。 你的驗(yàn)證策略有哪些？你的驗(yàn)證

11、策略有哪些？左邊左邊=4n=4n2 2+4n+1-1= 4n+4n+1-1= 4n2 2+4n+4n；右邊右邊= 4n= 4n2 2+4n=+4n=左邊；所以等式成立。左邊；所以等式成立。 解完這道題你有什么感悟？解完這道題你有什么感悟？ 數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！數(shù)學(xué)，很有趣，很好玩！2n+12n2n+2例例2 2下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子：房子： 觀察圖形的變化規(guī)律，則第觀察圖形的變化規(guī)律，則第n n個(gè)小房子用個(gè)小房子用的石子塊數(shù)為的石子塊數(shù)為 個(gè)個(gè)nnnnn4) 1(32如圖，由若干根火柴棒拼成小金魚(yú)的圖形：（1）拼一個(gè)金魚(yú)需要 根火柴；（2）拼

12、三個(gè)金魚(yú)需要 根火柴；（3）拼n個(gè)金魚(yú)需要 根火柴。8=6+28=6+220=36+2 6n+2四、形成測(cè)試四、形成測(cè)試解法分析解法分析1 1觀察、比較觀察、比較各個(gè)圖形間的關(guān)聯(lián)各個(gè)圖形間的關(guān)聯(lián)；2 2分離出分離出基本圖形；基本圖形；3 3每一個(gè)每一個(gè)基本圖形與火柴棒數(shù)量的關(guān)系；基本圖形與火柴棒數(shù)量的關(guān)系；4 4基本圖形的數(shù)量基本圖形的數(shù)量與序號(hào)的關(guān)系與序號(hào)的關(guān)系。體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的基本圖形思想基本圖形思想五、自覺(jué)回歸五、自覺(jué)回歸2 2知識(shí)結(jié)構(gòu)分析知識(shí)結(jié)構(gòu)分析探求數(shù)列的規(guī)律探求數(shù)列的規(guī)律探求圖形的規(guī)律探求圖形的規(guī)律探求等式的規(guī)律探求等式的規(guī)律1 1概念回顧概念回顧 找出找出一個(gè)代數(shù)式來(lái)表示某事物（或事件）的演變一個(gè)代數(shù)式來(lái)表示某事物（或事件）的演變準(zhǔn)則準(zhǔn)則的過(guò)程的過(guò)程叫做找規(guī)律。叫做找規(guī)律。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：將一些半徑相同的小圓按如圖所示的將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第一個(gè)圖形有規(guī)律擺放：第一個(gè)圖形有6 6個(gè)小圓，第個(gè)小圓，第2 2個(gè)圖個(gè)圖形有形有1010個(gè)小圓，第個(gè)小圓，第3 3個(gè)圖形有個(gè)