第1章函數(shù)與極限PPT課件

1、第一章 函數(shù)與極限第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第三章 不定積分第四章 定積分及其應(yīng)用*第五章 無窮級(jí)數(shù)第六章 空間解析幾何第七章 多元函數(shù)及其微分法第八章 多元函數(shù)積分法第九章 常微分方程及其應(yīng)用*第十章 數(shù)學(xué)計(jì)算軟件的介紹第1頁/共44頁第一節(jié) 函數(shù)第二節(jié) 初等函數(shù)第三節(jié) 極限第四節(jié) 極限的運(yùn)算第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性第一章函數(shù)與極限第2頁/共44頁一、函數(shù)定義1、定義：設(shè)x和y是兩個(gè)變量。是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)，按f法則變量y總有唯一的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱f為D上的一個(gè)函數(shù)。記作其中x為自變量，y為因變量，xD( )yf x函數(shù)三要素:函數(shù)關(guān)系、定義域、值域。2、函數(shù)的表示法：解析法、列表法、圖示

2、法3、函數(shù)舉例第3頁/共44頁1,0( )sgn0,01,0 xf xxxx符號(hào)函數(shù)在定義域的不同部分，采用不同表達(dá)式的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。sgnxxx絕對(duì)值函數(shù)第4頁/共44頁取整函數(shù),即結(jié)果為不超過x的最大整數(shù)。 yx第5頁/共44頁、函數(shù)的有界性設(shè)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有定義。若存在0,使得對(duì)所有，有，則稱函數(shù)在(a,b)內(nèi)有界。如果不存在這樣的，則稱函數(shù)在(a,b)內(nèi)無界。( )f xM二、函數(shù)的性質(zhì),xa b2、單調(diào)性3、奇偶性4、周期性第6頁/共44頁三、復(fù)合函數(shù)反函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)定義設(shè)y=f(u)是數(shù)集E上的函數(shù)，是從數(shù)集D到數(shù)集E的函數(shù)，對(duì)，經(jīng)過中間變量u，都有唯一的y與之

3、對(duì)應(yīng)，則產(chǎn)生新函數(shù)稱為數(shù)集D上的復(fù)合函數(shù)。記作 uxxD yfx注意：并不是任意的函數(shù)都可以復(fù)合例：和能否復(fù)合？和呢？arcsinyu22uxarcsinyu22ux第7頁/共44頁設(shè)有函數(shù)y=f(x)，若對(duì)于，在數(shù)集D上有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，則得到，稱為y=f(x)的反函數(shù)。yW xg y記作 1xfy定理若函數(shù)y=f(x)是定義在數(shù)集D上的單調(diào)函數(shù)，則它的反函數(shù)必存在且也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)。2、反函數(shù)定義例在整個(gè)定義域上不存在反函數(shù)。但適當(dāng)限制定義域后，就存在反函數(shù)。2yx第8頁/共44頁()yx是常數(shù)(,0,1)xyaaaa是常數(shù)log(,0,1)ayx aaa是常數(shù)sin ,cos ,t

4、an ,cotyx yx yx yxarcsin ,arccosyx yxarctan ,cotyx yarcx常量?jī)绾瘮?shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)二、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及復(fù)合步驟所構(gòu)成，可用一個(gè)解析式表示的函數(shù)。一、基本初等函數(shù)yC(C是常數(shù))第9頁/共44頁一、數(shù)列的極限1、數(shù)列定義：若函數(shù)f(n)的定義域是，當(dāng)n從小到大取值，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的排列稱為數(shù)列。記為，其中稱為通項(xiàng)。 1 ,2 ,.fff n naN naf n1 2 3,2 3 41nn引例請(qǐng)問以下數(shù)列是否存在極限，若存在，極限是多少？1，-1，1，-1，1，.第10頁/共44頁對(duì)（無論多么小），總正

5、整數(shù)，當(dāng)n時(shí)，有成立，則稱A是的極限或稱收斂于A。記為或.0 若的極限不存在，則稱發(fā)散。naA na nalimnnaA()naA n na na說明： （1）其中可以任意給定，它描述了與A的無限接近程度；（2）N隨著的選定而選定且不唯一。na2、數(shù)列極限定義3、幾何意義第11頁/共44頁的極限是1。1lim02nn 21lim01nnn2121nn用數(shù)列定義證明(1)(2)(3)第12頁/共44頁定理1收斂數(shù)列必有界。推論無界數(shù)列必發(fā)散。定理2單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。4、數(shù)列極限的有關(guān)結(jié)論有界數(shù)列定義若，使一切都滿足，則稱有界。若不存在，則數(shù)列無界。na0MnaM na na例問，,是否有界。

6、1nnxn2nnx 4!nn第13頁/共44頁二、函數(shù)的極限（一）時(shí)函數(shù)的極限x 1、定義對(duì)于（無論多么?。?，如果總，使得當(dāng)時(shí)，有，則A叫做當(dāng)時(shí)的極限，記作或0 0XxX( )f xA( )f xx lim( )xf xA( )()f xAx當(dāng)2、幾何意義第14頁/共44頁例證明1lim0 xx（二）時(shí)函數(shù)的極限0 xx1、鄰域定義稱為的鄰域，記作0 x0,N x000,xxx xx把中心去掉，稱為的去心鄰域即，記作0 x0 x00 xxx0,oN x結(jié)論:若，則直線y=A是曲線y=f(x)的水平漸近線。 limxf xA第15頁/共44頁2、極限定義若對(duì)，總，當(dāng)時(shí)，有，則叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。

7、記作或0 000 xx( )f xA0 xx0lim( )xxf xA0( )()f xAxx當(dāng)3、幾何意義例證明1lim(21)1xx2143lim21xxxx 第16頁/共44頁4、左極限與右極限左極限：或右極限：或00lim( )xxf xA0(0)f xA00lim( )xxf xA0(0)f xA結(jié)論:極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等例2問1,0( )0,01,0 xxf xxxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)0 x ( )f x的極限是否存在。當(dāng)時(shí)例1討論函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限 xf xx0 x 第17頁/共44頁（三）無窮小量與無窮大量說明：（1）無窮小是一個(gè)以0為極限的函數(shù)（2）無窮小不是負(fù)無窮,也不

8、是很小的數(shù)（除了常數(shù)0）（3）無窮小必須相對(duì)于某一個(gè)變化過程而言1、無窮小定義1若當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為0,則f(x)叫做（或）時(shí)的無窮小。x 0 xxx 0 xx無窮小定義2對(duì),若總(或X0),當(dāng)(或)時(shí),有,則f(x)叫做無窮小.0 0(, )xN xxX f x第18頁/共44頁討論:數(shù)列1,0,2,0,.n,0,是無窮大量嗎？2、無窮大定義1在x的某個(gè)變化過程中，如果無限增大，則稱函數(shù)f(x)是在這個(gè)變化過程中的無窮大。 f x若函數(shù)f(x)對(duì)（無論多么大），總（或X0)，當(dāng)（或）時(shí)，有則稱（或）時(shí)，f(x)為無窮大。0M000 xxxX( )f xM0 xxx lim (

9、)f x 記作無窮大定義2第19頁/共44頁例證明11lim1xx 11xy1結(jié)論：如果 ,則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)的圖形的垂直漸近線.0lim ( )x xf x第20頁/共44頁3、無窮大與無窮小的關(guān)系( )f x1( )f x( )f x1( )f x 0f x 在自變量的同一變化過程中為無窮大為無窮小為無窮小為無窮大第21頁/共44頁定理1有限個(gè)無窮小的和也是無窮小。定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論2有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。例求01limsinxxx一、無窮小量的運(yùn)算第22頁/共44頁lim( )( )lim( )lim ( )f

10、 xg xf xg xlim( )( )lim( ) lim ( )f xg xf xg xlim ( )lim( )nnf xf xlim( )lim( )cf xcf x( )lim( )lim( )lim ( )f xf xg xg x加、減法乘法除法lim ( )0g x 二、極限的四則運(yùn)算第23頁/共44頁233lim9xxx1、例求極限：2、3、2123lim54xxxx3221lim53xxxx4、311lim1xxx第24頁/共44頁3232342lim753xxxxx32225lim321xxxxx232321lim25xxxxx110110.lim0.mnmmmmnnxnn

11、anmba xaxanmb xbxbnm5、6、7、sinlimxxx8、9、01 1limxxx 第25頁/共44頁三、極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限那么limf(x)=A若當(dāng)（或）時(shí)，恒有0(, )xN xxX( )( )( )g xf xh xlim ( )lim ( )g xh xA且0sinlim1xxx重要極限1Cx（一）夾擠定理0lim1sinxxx第26頁/共44頁0tanlimxxx201 coslimxxx例題0sin2limxxx2、1、3、4、我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積割圓術(shù)，得到圓面積A是它的內(nèi)接正n（)邊形的面積當(dāng)時(shí)的極限。怎么得到的呢？nSn 6

12、n 第27頁/共44頁22sin2nnrSn22limsin2nnrAn222sinlim2nnrrn第28頁/共44頁（二）單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限。重要極限21lim 1xxex10lim(1)xxxe例1求下列極限：（1）1lim(1)xxx（2）0ln 1limxxx（3）（4）2sin0lim 1xxx1lim1xxxx第29頁/共44頁例2設(shè)某顧客向銀行存入本金p元，年利率為r,n年后他在銀行的存款總額是本金與利息之和。如果銀行規(guī)定年復(fù)利率為r,試根據(jù)下述不同的結(jié)算方式計(jì)算顧客t年后的最終存款額。(1)每年結(jié)算一次;(2)每月結(jié)算一次,每月的復(fù)利率為r/12;(3)若結(jié)

13、算周期變?yōu)闊o窮小,這意味著銀行連續(xù)不斷地向顧客付利息，這種存款方法稱為連續(xù)復(fù)利.試計(jì)算連續(xù)復(fù)利情況下顧客的最終存款額.第30頁/共44頁例3在化學(xué)反應(yīng)中，物質(zhì)的瞬時(shí)反應(yīng)速率與物質(zhì)當(dāng)時(shí)的量成正比。設(shè)比例系數(shù)為k，開始時(shí)參加反應(yīng)物質(zhì)的量為。經(jīng)過t小時(shí)后，未起反應(yīng)的物質(zhì)的量為多少？0Qt小時(shí)tn分析：將t小時(shí)n等分，n很大。在每一時(shí)間段中，反應(yīng)速率近似看成不變。起反應(yīng)的量為0tkQn第31頁/共44頁如果，則稱是比高階的無窮小，記作；如果，則稱與是同階無窮小；當(dāng)C=1時(shí)，稱與是等價(jià)無窮小，記作lim0( )olim0c四、無窮小量的階1、定義如果，則稱是的k階無窮小。lim0kC第32頁/共44頁2

14、、等價(jià)無窮小的重要性質(zhì), limlim0tan2limsin5xxx30sinlim3xxxx例求例求若且存在，則lim當(dāng)時(shí)，有0 x sin tan arcsin arctan ln(1)1xxxxxxxe第33頁/共44頁一、連續(xù)函數(shù)的概念定義1設(shè)增量如果當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).000,()()xxxyf xxf x 0 x 0y ( )f x0 x1、連續(xù)性定義第34頁/共44頁定義2若，則稱f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。00lim( )()xxf xf x0 x例用連續(xù)的定義證明函數(shù)在R上連續(xù)。2yx一切初等函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的。、左連續(xù)和右連續(xù)000lim( )()xxf xf x00

15、0lim( )()xxf xf x左連續(xù)：右連續(xù)：結(jié)論：y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)0 x0 x3、在區(qū)間（a,b)、a,b上連續(xù)的函數(shù)。第35頁/共44頁二、函數(shù)的間斷點(diǎn)、定義：如果f(x)有下列情形之一(1)在點(diǎn)無定義(2)不存在(3)在點(diǎn)有定義，也存在，但0lim( )xxf x0 x0lim( )xxf x00lim( )()xxf xf x0 x0 x則稱點(diǎn)為函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。第36頁/共44頁例1考察函數(shù)在點(diǎn)x=1處的連續(xù)性。 121xxf xx例2考察在x=1處的連續(xù)性。21( )1xf xxxyO例3討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。 22

16、201020 xxf xxxx第37頁/共44頁例4求y=tanx的間斷點(diǎn)。2232例5討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。1sinyx第38頁/共44頁、間斷點(diǎn)的分類：第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)(.)(.)左.右極限都存在)跳躍間斷點(diǎn) 左右極限不相等第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) 左右極限相等不是第一類間斷點(diǎn)的，稱為第二類間斷點(diǎn)，其中使得函數(shù)極限為的稱為無窮間斷點(diǎn)；使得函數(shù)處于振蕩狀態(tài)的點(diǎn)稱為振蕩間斷點(diǎn)。第39頁/共44頁三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1（最大值與最小值定理）若y=f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上必有最大值與最小值。推論（有界性定理）若y=f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上必有界。第40頁/共4