2020年湖南省邵陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(含答案解析)

1、2020 年湖南省邵陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）、選擇題（本大題共 12小題，共 60.0 分）1. 已知集合 ， ，則A.B.C.D.2. 已知 x， ， ，則A.B.C.D.3. 若雙曲線 C：的一條漸近線方程為，則A.B.C.D.4. 某地區(qū)城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額單位：億元 如圖所示，下列判斷一定不正確的是A. 城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額逐年增長(zhǎng)B. 農(nóng)村居民的存款年底余額所占比重逐年上升C. 到 2019 年農(nóng)村居民存款年底總余額已超過(guò)了城鎮(zhèn)居民存款年底總余額D. 城鎮(zhèn)居民存款年底余額所占的比重逐年下降5. 已知向量 ， ，且 ，則A. B. 2 C. D. 36. 設(shè) x， y滿足約

2、束條件，則 的最大值為A.B. 2C. 0D. 47. 從集合 中任意取出兩個(gè)不同的元素，則取出的兩元素之和為奇數(shù)的概率是A.B.C.D.8. 在中，A，B，C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，且， ， ， ，則AC 邊上的高線的長(zhǎng)為A. B. C. D.9. 如圖，在正方體中，M，N，P 分別是，BC，的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：與 CM 是異面直線；，CM ，相交于一點(diǎn)； ；平面 D.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A. B. C. D.10. “斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契發(fā)現(xiàn)， 因?yàn)殪?波那契以兔子繁殖為例子而提出，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”，斐波那契 數(shù)列 滿足 ， ，

3、如圖是輸 出斐波那契數(shù)列的一個(gè)算法流程圖，現(xiàn)要輸出斐波那契數(shù)列的前 50 項(xiàng)，則圖 中的空白框應(yīng)填入A.，B.，C.，D.，11. 過(guò)拋物線 C：的焦點(diǎn) F作直線 l，且直線 l與 C及其準(zhǔn)線分別相交于 A，B，D 三點(diǎn)，若 ，則A. 直線 l的斜率為B. 直線 l 的斜率為C.D.12. 已知函數(shù) ，若 在 上無(wú)零點(diǎn)，則 的取值 范圍是A. B. C. D.二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0分）13. 已知函數(shù) ，則 14. 已知直線 是曲線 的一條切線，則 15. 設(shè) 為銳角，若 ，則 16. 一個(gè)圓錐恰有三條母線兩兩夾角為 ，若該圓錐的側(cè)面積為 ，則該圓錐的體積為 三、解答題（

4、本大題共 7 小題，共 70.0分）17. 在公比大于 0 的等比數(shù)列中，已知 ，且 ， ， 成等差數(shù)列求 的通項(xiàng)公式；已知 ，試問(wèn)當(dāng) n 為何值時(shí)， 取得最大值，并求 的最大值18. 在三棱錐 中， ， ， 平面 平面 ABC，點(diǎn) M 在棱 BC 上若 M 為 BC 的中點(diǎn)，證明： 若三棱錐 的體積為 ，求 M 到平面 ABD 的距離19. 某水果批發(fā)商經(jīng)銷(xiāo)某種水果 以下簡(jiǎn)稱 A 水果 ，購(gòu)入價(jià)為 300 元 袋，并以 360元 袋的價(jià)格 售出，若前 8小時(shí)內(nèi)所購(gòu)進(jìn)的 A 水果沒(méi)有售完，則批發(fā)商將沒(méi)售完的A 水果以 220 元 袋的價(jià)格低價(jià)處理完畢 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)， 2小時(shí)內(nèi)完全能夠把 A 水果低

5、價(jià)處理完， 且當(dāng)天不再購(gòu)入 該水果 批發(fā)商根據(jù)往年的銷(xiāo)量，統(tǒng)計(jì)了 100天 A水果在每天的前 8小時(shí)內(nèi)的銷(xiāo)售量，制成如頻數(shù)分布 條形圖記 x 表示 A水果一天前 8 小時(shí)內(nèi)的銷(xiāo)售量， y表示水果批發(fā)商一天經(jīng)營(yíng) A水果的利潤(rùn)， n 表示水 果批發(fā)商一天批發(fā) A 水果的袋數(shù)若 ，求 y 與 x 的函數(shù)解析式；假設(shè)這 100天中水果批發(fā)商每天購(gòu)入 A水果 15 袋或者 16袋，分別計(jì)算該水果批發(fā)商這 100 天經(jīng)營(yíng) A 水果的利潤(rùn)的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，每天應(yīng)購(gòu)入A 水果 15袋還是 16袋？20. 已知函數(shù) 若 ，求 的單調(diào)區(qū)間；若 存在唯一的零點(diǎn) ，且 ，求 a 的取值范圍21. 已知橢圓上

6、的點(diǎn) P 到左、右焦點(diǎn)， 的距離之和為 ，且離心率為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過(guò) 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C與點(diǎn) B 關(guān)于 x軸對(duì)稱，求 面積的最大值22. 在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為 O，一條封閉的曲線 C 由四段曲線組成：，求該封閉曲線所圍成的圖形面積；若直線 l：與曲線 C恰有 3個(gè)公共點(diǎn)，求 k 的值23. 已知函數(shù) m 的取值范圍求不等式的解集；若存在，使得關(guān)于 x 的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求答案與解析1. 答案： D解析： 解：因?yàn)榧?， ， 所以 ， ，所以 故選： D先求出集合 A， B，由此能求出本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2. 答

7、案： A解析： 解：由 ， 得， 則 ， ，即 ， ， 所以 ， 故選： A利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等即可得出本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算式、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3. 答案： C解析： 解：由題意知雙曲線的漸近線方程為可化為故選： C由題意知 ，且雙曲線是焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線，寫(xiě)出其漸近線方程，結(jié)合已知可得關(guān)于m的方程，則 m 值可求本題考查雙曲線的漸近線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題4. 答案： C解析： 解：到 2019 年，在城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底總余額中，農(nóng)村居民儲(chǔ)蓄存款所占的比例仍然小于 城鎮(zhèn)居民儲(chǔ)蓄存款所占的比例，因此農(nóng)村居民的存款年底總余額仍然少于城鎮(zhèn)

8、居民的存款總額， 選項(xiàng) C 說(shuō)農(nóng)村居民的存款年底總余額已經(jīng)超過(guò)了城鎮(zhèn)居民的存款總額顯然是錯(cuò)誤的故選： C根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖即可判斷出答案 本題考查表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)分析能力以及運(yùn)算求解能力5. 答案： A解析： 解： 向量 ， ，由 ，得 ，所以 ，則 故選： A直接根據(jù)數(shù)量積結(jié)合已知條件即可求解結(jié)論 本題考查平面向量數(shù)量積公式，考查運(yùn)算求解能力6. 答案： B解析： 解：由題可知， 再畫(huà)出可行域如圖，解解析：解：由題可知， 再畫(huà)出可行域如圖，解得，當(dāng) l： 平移到過(guò)點(diǎn) 時(shí)， z 取得最大值， 最大值為： 2故選： B作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，平移直線 ，判 斷最優(yōu)解，利用數(shù)形結(jié)合即

9、可的得到結(jié)論本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的思想以及運(yùn)算求 解能力7. 答案： B解析： 解：由題可知1， 2， 3， ，從集合 A 的元素中取出兩個(gè)不同的元素共有種情況，取出的兩元素之和為奇數(shù)的有 種情況，故取出的兩元素之和為奇數(shù)的概率為 故選： B從集合 A 的元素中取出兩個(gè)不同的元素共有種情況，取出的兩元素之和為奇數(shù)的有種情況，由此能求出取出的兩元素之和為奇數(shù)的概率本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題8. 答案： D解析： 解：因?yàn)?， ， ，所以由余弦定理 ，可得 ，整理可得，又，所以 因?yàn)?所以 AC 邊上的高線的長(zhǎng)為 故選： D

10、由已知利用余弦定理可得 ，結(jié)合 ，可求 a 的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式 即可求解 AC 邊上的高線的長(zhǎng) 本題考查余弦定理以及三角形面積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題9. 答案： B解析： 解：因?yàn)?， ，所以 AP與 CM 是相交直線，又面 面 ，所以 AP，CM ，相交于一點(diǎn)，則 不正確， 正確令 ，因?yàn)?M，N分別是，BC 的中點(diǎn)，所以 ， ，則 為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?， 平面 ，所以 平面 ， 不正確， 正確 綜上所述，正確，故選： B本題利用線線間的關(guān)系，以及線線平行和線面平行的條件求解 本題考查了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力，邏輯分析能力

11、10.答案： A解析： 解：模擬程序的運(yùn)行，可得執(zhí)行第 1 次， ， ， ， ，循環(huán)， 因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算 ， ，循環(huán)， 執(zhí)行第 3 次，因?yàn)榈谌螒?yīng)該計(jì)算 ， 由此可得圖中的空白框應(yīng)填入 ， 故選： A 由已知中的程序語(yǔ)句，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 本題考查數(shù)學(xué)文化在算法中的應(yīng)用，考查賦值語(yǔ)句的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題 11.答案： C解析： 解：當(dāng)直線 l 的斜率為正數(shù)時(shí)，準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) M，過(guò) A， B 兩點(diǎn)分別作， 垂直于準(zhǔn)線，如圖所示，則 ，即 ，設(shè) ， 所以 ， ， ， 所以直線 l 的斜率為 ， ，解得 ，即 由對(duì)稱性可知直線 l

12、 的斜率為， 當(dāng)直線 l 的斜率為正數(shù)時(shí)，準(zhǔn)線與 x軸交于點(diǎn) M，過(guò) A，B 兩點(diǎn)分別作， 垂直于準(zhǔn)線，結(jié)合圖形，設(shè) ，通過(guò)比例關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解弦長(zhǎng)即可 本題考查拋物線的方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解能力解析： 解：12.答案： B若 ，則在 上無(wú)零點(diǎn)，則 ，解得 ，解得 ， ，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 故選： B先結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得 ，由于 在 上無(wú) 零點(diǎn)，因此 ，且 ， ，在 的限制 條件下，解不等式即可得解本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)， 還涉及二倍角公式和輔助角公式， 考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、 邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題13.

13、答案： 12解析： 解：根據(jù)題意，函數(shù)則則有 故答案為：， ， ；12根據(jù)題意， 由函數(shù)的解析式可得 ， ， ；計(jì)算即可得答案 本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算，注意認(rèn)真分析函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題14.答案：解析： 解：設(shè) ，且與 相切于點(diǎn) ， 因?yàn)?，所以 ，且 ，解得 故答案為： 先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)為 4，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用曲線求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方 程，即可求出 b 的值本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力屬于基礎(chǔ)題15.答案：解析： 解：因?yàn)?為銳角， ，所以 ，所以故答案為：由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 ，進(jìn)而根據(jù)二倍角公式即可求解 本題主要考查了同角三角

14、函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化 思想，屬于基礎(chǔ)題16.答案：解析： 解：如圖，設(shè) ，則 ， 設(shè) ，則底面的直徑為 ，該圓錐的側(cè)面積為 ，解得 ，高，該圓錐的體積為 由題意畫(huà)出圖形，由圓錐的側(cè)面積求出母線長(zhǎng)及底面半徑，再由圓錐體積公式求解 本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、 體積與表面積計(jì)算公式， 考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力， 是中檔題17. 答案： 解： 設(shè)的公比為 q，由 ，得 ，即 ，因?yàn)?， ， 成等差數(shù)列，所以 ，即 ，即 ， 解得 舍去 ， ，所以 ， ；，由，所以當(dāng) 或 4 時(shí)， 取得最大值， 解析： 設(shè) 的公比為 q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的

15、中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的求和公式，可得 ，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求 最大值和 n 的值本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力、推理 能力，屬于中檔題18. 答案： 解： 證明：取 AC 的中點(diǎn) O，連接 OB，OD ， 因?yàn)?，所以 又因?yàn)槠矫嫫矫?ABC，且相交于 AC，所以平面 ABC，所以因?yàn)?，所以 ，所以，所以 ，所以 ，且 M 為 BC 的中點(diǎn)，所以 解： ，所以在 中， ，設(shè) M 到平面 ABD 的距離為 h，則，解得 所以 M 到平面 ABD 的距離為 解析： 取 A

16、C 的中點(diǎn) O，連接 OB，OD ，則推導(dǎo)出 平面 ABC ，從而推導(dǎo)出 ， ， ， ，且 M 為 BC 的中點(diǎn)，由此能證明 ，從而 設(shè) M 到平面 ABD 的距離為 h，由，能求出 M 到平面 ABD 的距離本題考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān) 系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題19. 答案： 解： 當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，綜上，若水果批發(fā)商每天購(gòu)入 A水果 15袋，則這 100天中有 80天的利潤(rùn)為 900元，有 20 天的利潤(rùn)為760 元，因此該水果批發(fā)商這 100天經(jīng)營(yíng) A 水果的利潤(rùn)的平均數(shù)為 若水果批發(fā)商每天購(gòu)入 A水果 16

17、袋，則這 100天中有 50 天的利潤(rùn)為 960元，有 30 天的利潤(rùn)為 820 元，有 20 天的利潤(rùn)為 680元，因此該水果批發(fā)商這 100天經(jīng)營(yíng) A 水果的利潤(rùn)的平均數(shù)為比較兩個(gè)平均數(shù)可知，每天應(yīng)購(gòu)入A 水果 15 袋解析： 對(duì)x與16的大小關(guān)系進(jìn)行分類，得出 y關(guān)于 x的分段函數(shù)； 分別計(jì)算兩種情況時(shí)的平均利潤(rùn)，得出結(jié)論本題考查了函數(shù)解析式，函數(shù)值計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題20. 答案： 解： 因?yàn)?，則 ， ，令 ，解得 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 故 在 ， 上單調(diào)遞增， 在 上單調(diào)遞減當(dāng) 時(shí)， ， 的零點(diǎn)是 ，不符合題意當(dāng)時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 在 R 上單調(diào)遞增，所以 ，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，解得，

18、 在 ， 上單調(diào)遞增，在若 存在唯一的零點(diǎn) ，且 ，則 ，解得 綜上， a 的取值范圍為解析： 將 代入，求導(dǎo)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，進(jìn)而得出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；分 及 兩種情況討論， 當(dāng) 時(shí)顯然不符合題意， 當(dāng)時(shí)， 再分及 兩種情況討論，綜合即可得出結(jié)論本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性， 極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)， 考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力， 屬于中檔題21. 答案： 解：，所以 ， ，所以 ，所以 ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由題可知直線 l 的斜率必存在，又 ，設(shè)直線 l 的方程為 ， ， ， 聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡(jiǎn)得 ，所以當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取得最大值所以 面積的最大值為 解析： 利用橢圓的定義以及離心率，轉(zhuǎn)化求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程已知， 直線斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積通過(guò)基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能 力如果是考