第3章-平衡問題-2(4學時)

1、第3章 平衡問題(2)第3章 平衡問題平衡方程（重點：平面力系）空間力系：一般力系、匯交力系、力偶系、平行力系；平面平面力系力系：一般力系、匯交力系、力偶系、平行力系。剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題的求解方法。平面簡單桁架的內力計算桿系結構、平面桁架；求內力的節(jié)點法、截面法；判斷桿件內力是否為零的定性分析方法定性分析方法。摩擦現(xiàn)象與平衡問題摩擦角、摩擦錐、自鎖；考慮摩擦力的平衡問題考慮摩擦力的平衡問題的求解方法。2ppt/563平面簡單桁架的內力計算平面簡單桁架的內力計算由多根桿件通過一定的聯(lián)結方式組成的、具有承載能力的系統(tǒng)稱為桿系結構桿系結構，是工程中一類常見結構。如果忽略桿系結構中各桿的

2、自重，將桿件之間的聯(lián)結方式簡化為光滑圓柱鉸鏈，與基礎的連接為固定鉸鏈支座或活動鉸鏈支座，各桿件都是直桿，系統(tǒng)只在聯(lián)結點（稱為節(jié)點節(jié)點）受力（這些力稱為節(jié)點載荷節(jié)點載荷），則得到桁桁架結構架結構。桁架是桿系結構的一種經過簡化的研究模型。如果桁架結構中各桿以及節(jié)點載荷位于同一平面內，則得到平面平面桁架桁架。對于實際的桁架結構，如果存在對稱平面（載荷對稱、結構對稱），則可簡化為平面桁架計算。ppt/564桁架實例桁架實例ppt/565總桿數(shù) m總節(jié)點數(shù) n 332 nm平面簡單桁架的聯(lián)結方式平面簡單桁架的聯(lián)結方式ppt/56632 nm平面復雜（超靜定）桁架32 nm平面簡單（靜定）桁架32 nm非

3、桁架（機構）ppt/567平面桁架實例平面桁架實例ppt/568ppt/56關于平面桁架的幾點假設關于平面桁架的幾點假設各桿件均為直桿，桿軸線位于同一平面內；同一平面內；桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接用光滑鉸鏈連接；載荷作用在節(jié)點上，且位于桁架幾何平面內；各桿件自重不計桿件自重不計或等效分布在節(jié)點上。在上述假設下，桁架中的各各桿件均為二力桿。桿件均為二力桿。平面桁架桿件內力分析計算方法包括：定量計算方法定量計算方法： 1.節(jié)點法節(jié)點法；2.截面法截面法定性分析方法定性分析方法：直接判斷桿件內力為零或取給定值的方法。9ppt/56桁架中各桿件均為二力桿二力桿，桿件兩端的外力大小相等、方向相反、沿桿

4、件的軸線方向，這樣的外力稱為軸向外力軸向外力。在軸向外力作用下，桿件橫截面上的內力合力內力合力N也沿軸向，簡稱為軸力軸力，其大小等于加在桿件兩端的外力。軸向外力有兩種：拉力和壓力，工程上規(guī)定工程上規(guī)定：與拉力對應的軸力為正，與壓力對應的軸力為負。桿件橫截面上的內力及其正、負號桿件橫截面上的內力及其正、負號21FF2F11N1FN2F10ppt/56節(jié)點法節(jié)點法：取桁架節(jié)點為研究對象，根據(jù)節(jié)點的平衡、作用反作用原理求桿件的內力，參見下圖。截面法截面法：假想地將桁架一部分桿件截斷，從而結構被分為兩部分，取其一部分為研究對象，利用外力與內力的平衡求已被截斷桿件的內力，如圖所示。無論用節(jié)點法或截面法求

5、桁架桿件的內力，通?；虮匾臅r候，應結合整體分析，根據(jù)整體平衡整體平衡求約束反力。節(jié)點法或截面法是整體和局部分析相結合的典范。有時，也可以將節(jié)點法或截面法聯(lián)合應用聯(lián)合應用。節(jié)點法節(jié)點法與截面法截面法AAF1F2FAC4F1PEAF5F6F2PABCD456yx1PFEG12311ppt/56如果需要計算平面桁架中全部桿件全部桿件的內力，應采用節(jié)點法節(jié)點法求解。由于平面桁架節(jié)點的受力為平面匯交力系，最多可以寫兩個獨立平衡方程，因此，采用節(jié)點法求解時，在每次取出的節(jié)點上最多只能包含兩個未知力兩個未知力。如果需要計算平面桁架中指定桿件指定桿件的內力，應采用截面法截面法求解。由于平面力系最多可以寫三個

6、獨立平衡方程，因此，采用截面法求解，通常只能截斷三根桿件三根桿件。關于節(jié)點法關于節(jié)點法與截面法的幾點說明截面法的幾點說明12ppt/56例例 已知 P=10kN ，求桁架各桿件內力。解：（1）取整體，畫受力圖；求約束反力：（2）取節(jié)點A，畫受力圖；130:0BxixFFkN5:0ByiyFFkN5:0AyBFM030sin:001FFFAyiy)kN(101壓F030cos:0012FFFixkN66. 82FPABCD12345m2m2AFByFBxFAAF1F2Fyx節(jié)點法舉例節(jié)點法舉例ppt/56（3）取節(jié)點C，畫受力圖；14PABCD12345m2m2C3F1F4F030cos30co

7、s:00104FFFix)kN(104壓F030sin)(:00413FFFFiyyxkN103Fppt/56（4）取節(jié)點D，畫受力圖；最后取節(jié)點B，可用于校核計算結果。15PABCD12345m2m20:025FFFixyxDP2F5F3FkN66. 85FBByF4F5FBxFppt/56例例 ：已知P1=10KN，P2=7KN，各桿長度均為1m 。 求1、2、3號桿的內力。解：（1）取整體，畫受力圖；求約束反力：解得解得162PABCD123yx1PFEGAyFAxFBF0:0AxixFF032:0)(21AyiBFPPFMkN9AyF0:021PPFFFBAyiykN8ByF截面法舉例

8、截面法舉例ppt/56（2）用截面法，取桁架左邊部分，畫受力圖； 列平衡方程求解：解得解得解得172PABCD123yx1PFEGnnAC1F1PEAyFAxF2F3F0130cos1:0)(01AyiCFFFM060sin:0102PFFFAyiy)(kN4 .101壓FkN15. 12F060cos:00231FFFFixkN81. 93Fppt/56節(jié)點法與定性分析方法節(jié)點法與定性分析方法由節(jié)點法可得到直接判斷桿件內力為零或取給定值的定性分析方法定性分析方法。連接不共線的兩桿節(jié)點兩桿節(jié)點，節(jié)點上無外力，兩桿內力均為零。不共線的兩桿節(jié)點上有外力兩桿節(jié)點上有外力，外力沿其中一桿方向，該桿內力

9、大小等于外力值，另一桿內力為零。連接不共線的三桿節(jié)點三桿節(jié)點，節(jié)點上無外力，其中兩桿沿同一直線，內力相同，第三桿內力為零。不共線三桿節(jié)點上有外力三桿節(jié)點上有外力，其中兩桿沿同一直線，內力相同；外力沿第三桿方向， 該桿內力大小等于外力值。A01F02FAPF 102FP3FAPF 132FF PA01F32FF 3F18ppt/56例例 已知P1=10kN，P2=5kN，尺寸如圖，求每根桿的內力。解：（1）取整體，畫受力圖；求約束反力：19FHEG1P1PABCDm8241P2P2PAFBxFByF024688:0)(1112PPPPFFMAiB0:0BxixFFkN20AFkN20ByF023

10、:021PPFFFByAiyyxm3ppt/56（2）依次取節(jié)點，求各桿內力：取節(jié)點A取節(jié)點C取節(jié)點D取節(jié)點E20FHEG1P1PABDCm8241P2P2PAFBF00iyADixACFFFF0,0iyDFDEixFFFF00iyEGixEFFFFF000CDiyCFixFFFFyxm3ppt/56特別提示特別提示：對于需要計算很多桿件內力的問題，如果結構和載荷具有同一對稱軸，那么，利用對稱性對稱性和直接判斷桿件內力為零或取給定值的定性分析定性分析方法，可以至少減少一半計算工作量。21FHEG1P1PABCDm8241P2P2Pm3ppt/56例例 已知P1，P2，P3 ，求1、2、3、4、

11、5號桿的內力。解：（1）取整體，畫受力圖；求約束反力：（2）用截面法，取桁架左邊部分，畫受力圖；列平衡方程求解1、2、3號桿的內力：22AiAFFM0)(BiyFF0Ay1P1P3PAF3F1F2F20FFiy10)(FFMiC30FFixC2PAB123yx1P1P2P2P3P3Pm3056m7BFAF45CD節(jié)點法與截面法聯(lián)合應用舉例ppt/56（3）再取節(jié)點D，畫受力圖； 列平衡方程求解4、5號桿的內力：2340FFiy50FFix2PAB123yx1P1P2P2P3P3Pm3056m745CD2P3F4F5FDppt/5624考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦的平衡問題摩擦現(xiàn)象：發(fā)聲、發(fā)熱以及

12、材料磨損等。ppt/5625摩擦分類及摩擦力的本質摩擦分類及摩擦力的本質l按相互接觸物體的相對運動形式分為（1）滑動摩擦；（2）滾動摩擦l按相互接觸物體有無相對運動分為（1）靜摩擦；（2）動摩擦摩擦現(xiàn)象的摩擦現(xiàn)象的本質本質就是在保持接觸的有相對運動（趨勢）的兩個物體之間，接觸面的微觀凹凸部分微觀凹凸部分發(fā)生咬合、碰撞，產生能量轉換，出現(xiàn)了阻礙相對運動（趨勢）的切向作用力，這種切向的相互作用力稱為摩擦力摩擦力。在保持接觸的有相對運動（趨勢）的兩個物體之間，如果沒有第三種物質（例如潤滑劑），相應的摩擦稱為干摩擦干摩擦。ppt/5626工程中的摩擦問題ppt/5627靜滑動摩擦力范圍：GNGQRNF

13、物體開始滑動主動力當物體處于靜止主動力當,maxmaxFQFQmax0FFppt/5628GQNmaxFRm庫侖靜摩擦定律：NfF=max支承面全反力：22+=NFR*摩擦角摩擦角m：在臨界平衡狀態(tài)下，支承面全反力R與法向反力N之間的夾角。NFfmmax=tan*摩擦錐摩擦錐：在臨界平衡狀態(tài)下，全反力R的作用線繞接觸面的法線旋轉一周形成的一個以作用點為頂點的錐面。ppt/5629常用材料的滑動摩擦系數(shù)8 . 005. 0=, 9 . 01 . 0=動靜ff鋼-鋼：15. 005. 0=,15. 01 . 0=動靜ff鋼-橡膠：8 . 06 . 0=, 9 . 0=動靜ffppt/5630mF主

14、動力F在摩擦角(錐)內支承面產生的全反力R也位于摩擦角(錐)內，平衡。RmF主 動 力 F在摩擦角(錐)外支承面的全反力R至多只能位于摩擦角(錐)的邊界上，因此圖示情況不能維持靜平衡。R*摩擦自鎖摩擦自鎖：若總主動力作用線在摩擦角(錐)內，則不論該力的數(shù)值如何，物體總能保持平衡狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。ppt/5631ppt/5632ppt/5633ppt/5634ppt/5635考慮靜滑動摩擦的平衡問題考慮靜滑動摩擦的平衡問題分析步驟首先正確判斷摩擦力的方向，畫受力圖；列平衡方程求解。對摩擦力的處理采用以下分析方法臨界狀態(tài)分析： F = Fmax = f N平衡范圍分析： F f N此時靜

15、滑動摩擦力F與法向壓力N無直接關系。ppt/5636例例：均質梯子AB長為L，重G1=100N，靠在光滑墻壁上并和水平地面成角=75。已知地面對梯子的摩擦系數(shù)f=0.2，問重G2=700N的人能爬至梯子何位置而不致使梯子滑倒。AB75解：受力圖如圖所示，假設人在圖示位置剛好處于臨界狀態(tài)。ABxyANBNmaxFC1G2GDBBNfNF2 . 0=max:0=yFN800=+=21GGNB:0=xFN160=maxFNA:0=Bm)+2(75cos=75sin21BDGLGLNALGLGNBDA782. 0=)5 . 075tan(=21-ppt/5637討論： 在實際生活中，怎樣保證梯子上人的

16、安全？并從力學上給予解釋。ppt/5638例例：活動支架套在固定圓柱的外表面，且h=20cm。支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.25。問作用于支架的主動力F的作用線距圓柱中心線至少多遠才能使支架不致下滑(支架自重不計)。FxBAhd解：取支架為研究對象,受力分析如圖xBNBFBFAOhxyFAFNAF根據(jù)題意NBBNAAFfFFfF= ,=ssBANBNAxFFFFF=,=:0=FFFFBAy5 . 0=:0=0=)5 . 0(:0=FdxdFhFMANAB-cm40=x39支架受力分析如圖所示FCDxRAFRBFffAB1h2hffdxdxhhh tan)2(+ tan)2+(=+=21-

17、cm 40=tan2=fhxppt/5640討論： 如果考慮支架自重，怎樣進行分析？剛才第二種分析方法還適用嗎？ppt/5641例：圖示為凸輪機構。已知推桿和滑道間的摩擦因數(shù)為fs，滑道寬度為b。設凸輪與推桿接觸處的摩擦忽略不計，并忽略推桿自重。問a為多大，推桿才不致被卡住。bABdMeappt/5642取推桿為研究對象，畫受力圖；NBFAFNAFbBFFxydOa根據(jù)題意NBBNAAFfFFfF= ,=ss,= :0=NBNAxFFFBAFF =, 0=+ :0=FFFFBAy-FFFBA5 . 0=022 :0dFdFbFFaMBANAO-ssNBfbFfFbFbFa2=2=ppt/564

18、3幾何法：取推桿為研究對象，推桿受F、FRA和FRB的作用aFxybORAFRBFBAffCFRA與FRB確定了F的作用線位置，由此可求出F的極限位置sflim2= cot2=fbbappt/5644討論： 如果考慮推桿自重，情況會怎么樣？ppt/5645例例：重P的矩形柜放置在水平地面上，其重心位于其幾何中心，與地面間的靜摩擦系數(shù)是f。受力如圖示，求平衡時地面的約束反力，并求柜翻倒或滑動的最小推力Q min。hQabBAPppt/5646解解：受力圖如圖所示。:0BmaQhPNA-2=:0=yFaQhPNB+2=:0=xFBAFFQ+=(1)處于不翻倒但將滑動的臨界狀態(tài)fPfNfNQBA=+

19、=1min(2)處于不滑動但將翻倒的臨界狀態(tài)PbaQhPaQNA2=2=, 0=2minxyAFANBFBNhQabBAPppt/5647討論：總是可以使該物體先滑動而不翻倒。若 ，則先滑動；fba2若 ，且力臂為b，則先翻倒；fba2ppt/5648例例：圖示結構，已知P=200kN，Q=200kN，L=0.5m，滑塊與墻體的摩擦系數(shù)f=0.5，不計桿及滑塊自重，忽略其余摩擦。試求=30時，滑塊與墻體的摩擦力。ABCLPQ48ppt/5649 以圓柱鉸B為研究對象，計算BC桿的受力：ACLQPBBPBCNABN0sin:0BCyNPF)(sin壓PNBC再研究滑塊C，求摩擦力：0sin:0FQNFBCy0sinQNFBCQBCNNF解：AB和BC為二力桿。49ppt/5650*滾動摩擦滾動摩擦阻力偶的產生原因：接觸處的局部變形PPQppt/5651F為阻礙球體滑動的力，一般情況下，F(xiàn) = QF與Q的共同作用，將使球體具有向前滾動的趨勢反力偶M=dN阻礙球體的滾動趨勢，稱為靜滾動摩擦力偶。若