計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第四章非線性模型

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)1第四章 非線性模型計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)2ekaly 在實(shí)際分析過(guò)程中經(jīng)常研究?jī)深惙蔷€性模型; 1.被解釋變量與解釋變量之間非線性，而被解釋變量和參數(shù)仍為線性關(guān)系； 如iiixbby102.被解釋變量和解釋變量之間非線性，而被解釋變量和參數(shù)之間也是非線性關(guān)系如柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)3 對(duì)非線性回歸模型，可以用一定的方法把它們轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸的理論和方法來(lái)進(jìn)一步研究模型的性質(zhì)。對(duì)非線性回歸模型進(jìn)行線性化處理主要有三種方法：直接代換法、間接代換法和泰勒級(jí)數(shù)法。前兩種方法主要針對(duì)可以線性化的模型，而泰勒級(jí)數(shù)法主要針對(duì)不能線性化的模型。我們主要介紹直接代換法和間接代換法。計(jì)量經(jīng)

2、濟(jì)學(xué)44.1 直接代換法 適用范圍：被解釋變量和解釋變量非線性，被解釋變量與參數(shù)線性的非線性模型。下面介紹在研究現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中常見(jiàn)的這類非線性模型：多項(xiàng)式模型、雙曲線模型和對(duì)數(shù)模型。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)52012kikiybb xb xb x), 2 , 1(kixzii令4.1.1 多項(xiàng)式模型多項(xiàng)式模型的一般形式：轉(zhuǎn)換過(guò)程：01122ikkiybbzb zb z則原多項(xiàng)式模型轉(zhuǎn)換為我們就可以用多元線性回歸的方法來(lái)分析轉(zhuǎn)換后的線性模型。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)6例4.1 產(chǎn)品總成本模型已知某行業(yè)中10家企業(yè)的總產(chǎn)量x和總成本的有關(guān)資料：總成本y(萬(wàn)元)總產(chǎn)量x(萬(wàn)噸)19.31022.620243024.44025.

3、750266027.47029.780359042100繪制總成本和總產(chǎn)量的散點(diǎn)圖，可以看出它們呈現(xiàn)曲線變化趨勢(shì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)7 根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本的u曲線理論，用產(chǎn)量x的三次多項(xiàng)式來(lái)近似表示總成本函數(shù)230123iiybb xb xb x) 3 , 2 , 1( ixzii令則原模型轉(zhuǎn)換為0112233iiybbzb zb z 利用已知的數(shù)據(jù)，對(duì)上面的三元線性回歸模型進(jìn)行估計(jì)，可得到下面的結(jié)果計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)832100009. 00130. 06348. 01767.14zzzyi或3200009. 00130. 06348. 01767.14xxxyit(13.2837)(-13.1501)(

4、15.8968)9984. 02r計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)94.1.2 雙曲線模型iiixbby10iixz1令一般形式：轉(zhuǎn)換：iiizbby10則模型轉(zhuǎn)換為一元線性回歸模型計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)10雙曲線模型的特點(diǎn)：雙曲線模型的特點(diǎn)：隨著自變量增大，因變量逐漸接近其漸近線0, 01,byxxiii0byi即:,10型有下面三種形狀符號(hào)的變化，雙曲線模隨著bb計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)110, 0. 110bb0, 01,byxxiii因變量逐漸減小，向下接近其漸近線0byixy0byi計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)12例4.2 銷售額與流通費(fèi)用率的關(guān)系 已知某地區(qū)百貨公司銷售額x與流通費(fèi)用率y之間的數(shù)據(jù)銷售額x(萬(wàn)元)流通費(fèi)用率y(%)1.574.54

5、.87.53.610.23.115.52.716.52.519.52.422.52.325.52.2計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)13 觀察商品流通費(fèi)用率和銷售額的散點(diǎn)圖，明顯發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)非線性變化趨勢(shì)，可以采用雙曲線模型，利用表中數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，有下面結(jié)果：iixy6040. 72361. 2t(10.1313)9362. 02r計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)140, 0. 210bb0, 01,byxxiii因變量逐漸增大，向上接近其漸近線0byixy0byi01bbx計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)15 已知某病毒感染率和時(shí)間變化相關(guān)的數(shù)據(jù)如下ty10.1220.0730.1640.1150.2160.2170.2580.390.39100.3311

6、0.3120.34130.49140.35150.56160.62170.54180.58190.57t20100y.7.6.5.4.3.2.10.0計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)16 觀察病毒感染率和時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，明顯發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)非線性變化趨勢(shì)，可以采用雙曲線模型，利用表中數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，有下面結(jié)果：iixy4971. 0435. 0t(-3.475)415. 02r計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)170, 0. 310bb0, 01,byxxiii因變量逐漸減小，向下接近其漸近線0byixy0byi01bbx曲線與橫坐標(biāo)有交點(diǎn)01bbx交點(diǎn)左側(cè)曲線斜率系數(shù)大于交點(diǎn)右側(cè)曲線的斜率系數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)18年份通貨膨脹率y(%)失業(yè)率x(%

7、)19860.62.819870.12.819880.72.519892.32.319903.12.119913.32.119921.62.219931.32.519940.72.91995-0.13.2例4.4 菲利普斯曲線已知某地區(qū)通貨膨脹率和失業(yè)率的數(shù)據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)19 使用雙曲線函數(shù)，利用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，有下面結(jié)果iixy1338.193190. 6t(6.8799)8554. 02r計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)204.1.3 對(duì)數(shù)模型1.線性對(duì)數(shù)模型iiixbbyln10轉(zhuǎn)換：iixxln令iiixbby10則xxyxdxdyxddyb/ln1注意斜率系數(shù)斜率系數(shù)表明了自變量x的相對(duì)變化引起因變量的絕

8、對(duì)變化計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)21 在研究宏觀經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)貨幣供給與國(guó)民生產(chǎn)總值的關(guān)系非常感興趣，他們經(jīng)常使用線性對(duì)數(shù)模型來(lái)研究貨幣供給和國(guó)民生產(chǎn)總值的關(guān)系年份國(guó)民生產(chǎn)總值y貨幣供給x19881359.386119891472.8908.519901598.41023.219911782.81163.719921990.51286.719932249.7138919942508.21500.2199527231633.119963052.61795.519973166195419983405.72185.219993772.22363.620004014.92562.620014240.32807

9、.720024526.72901計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)22 利用表中數(shù)據(jù)，使用線性對(duì)數(shù)模型，得到下面回歸結(jié)果iixyln785.258421.16329t(27.4856)9831. 02r785.25841b表明貨幣供給增加一個(gè)百分點(diǎn)，國(guó)民生產(chǎn)總值平均增加2584.785億元計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)23 2.對(duì)數(shù)線性模型iiixbby10ln轉(zhuǎn)換：iiyyln令iiixbby10xyydxydydxydb/ln1則斜率系數(shù)此時(shí)斜率系數(shù)表明了自變量x的絕對(duì)變化引起因變量的相對(duì)變化計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)24 在宏觀經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家也經(jīng)常關(guān)注國(guó)民生產(chǎn)總值諸如此類的經(jīng)濟(jì)變量隨時(shí)間變化增長(zhǎng)的問(wèn)題，他們經(jīng)常使用對(duì)數(shù)線性模型年份國(guó)民生產(chǎn)總

10、值y19881359.319891472.819901598.419911782.819921990.519932249.719942508.21995272319963052.61997316619983405.719993772.220004014.920014240.320024526.7計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)25 利用表中數(shù)據(jù)，使用對(duì)數(shù)線性模型，得到下面回歸結(jié)果iixy0888. 01527. 7lnt（35.6223）9299. 02r0888. 01b表明時(shí)間每增加一年，國(guó)民生產(chǎn)總值平均增加0.0888個(gè)百分點(diǎn)，也就是說(shuō)國(guó)民生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為0.0888%計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)26 3.雙對(duì)數(shù)模型i

11、iixbbylnln10轉(zhuǎn)換iiiixxyyln,ln令iiixbby10 xxyyxdxydyxdydb/lnln1此時(shí)斜率系數(shù)表明了自變量x的相對(duì)變化引起因變量的相對(duì)變化計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)27 在研究產(chǎn)品的價(jià)格彈性和需求彈性時(shí)經(jīng)常使用雙對(duì)數(shù)模型咖啡消費(fèi)量y(每日每人杯數(shù))咖啡價(jià)格x(每磅美元)2.570.772.50.742.350.722.30.732.250.762.20.752.111.081.941.811.971.392.061.22.021.17計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)28 利用表中數(shù)據(jù)，使用雙對(duì)數(shù)線性模型，得到下面回歸結(jié)果iixyln2530. 07774. 0lnt(-5.1251)7448.

12、02r2530. 01b表明自變量即咖啡價(jià)格增加1%,因變量咖啡需求量平均減少約0.25，也即咖啡的價(jià)格彈性為0.25%計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)294.2 間接代換法 以柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為例ekaly 函數(shù)兩端取對(duì)數(shù)，有klaylnlnlnlnkkllaayyln,ln,ln,ln設(shè)klay則轉(zhuǎn)換為二元線性方程llyyllyy/kkyykkyy/計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)30ykllny lnklnl3289.1800 2225.7000 3139.0000 8.0984 7.7078 8.0517 3581.2600 2376.3400 3208.0000 8.1835 7.7733 8.0734 3782.1700

13、 2522.8100 3334.0000 8.2381 7.8331 8.1119 3877.8600 2700.9000 3488.0000 8.2630 7.9013 8.1571 4151.2500 2902.1900 3582.0000 8.3312 7.9732 8.1837 4541.0500 3141.7600 3632.0000 8.4209 8.0525 8.1975 4946.1100 3350.9500 3669.0000 8.5064 8.1170 8.2077 5586.1400 3835.7900 3815.0000 8.6280 8.2521 8.2467 593

14、1.3600 4302.2500 3955.0000 8.6880 8.3669 8.2827 6601.6000 4786.0500 4086.0000 8.7951 8.4735 8.3153 7434.0600 5251.9000 4229.0000 8.9138 8.5663 8.3497 7721.0100 5808.7100 4273.0000 8.9517 8.6671 8.3601 7949.5500 6365.7900 4364.0000 8.9809 8.7587 8.3811 8634.8000 7071.3500 4472.0000 9.0636 8.8638 8.40

15、56 9705.5200 7757.2500 4521.0000 9.1805 8.9564 8.4165 10261.6500 8628.7700 4498.0000 9.2362 9.0629 8.4114 10928.6600 9374.3400 4545.0000 9.2991 9.1457 8.4218 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)31 利用課本p37頁(yè)數(shù)據(jù)，采用柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，得到下面回歸結(jié)果klyiln6737. 0ln6045. 09513. 1lnt(2.2166)(9.3101)9958. 02r計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)32迭代法進(jìn)行非線性模型估計(jì) 有些非線性模型沒(méi)有辦法通過(guò)直接變換或者間接轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)

16、化為線性模型 ，此時(shí)可以采用高斯牛頓迭代法來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。iiixfy,對(duì)于模型為隨機(jī)誤差項(xiàng)的未知參數(shù)向量，為為實(shí)值函數(shù)，其中iikxf1,方和最小化的值估計(jì)量是使得殘差的平的非線性最小二乘)(nls 21;niiinnxfyqq（1）計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)33 在一般情況下，nls估計(jì)量是一致的，并漸近服從正態(tài)分布，但是一般不能從上面的公式中顯性求出參數(shù)估計(jì)值，只能從參數(shù)的某一初始值 開(kāi)始，經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代，得到一個(gè)估計(jì)序列 ，此序列講收斂與nls估計(jì)量 。 高斯牛頓迭代公式為： 1 j 11111111jjjjiiniiiniijjfyfff 處的值在為次迭代解，為第其中，jijijxffj; 時(shí)的偏導(dǎo)數(shù)

17、向量在為jiiiifxfxffjj;（2）計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)34 線性近似得到處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，再取在式通過(guò)對(duì)1)2(if 111jijiijfff（3） 式求極小值，就可以得到關(guān)于式，對(duì)式帶入把)2() 1 ()3(ng .1小于某個(gè)預(yù)定標(biāo)準(zhǔn)為止直到高斯牛頓法反復(fù)迭代jj 如果初始估計(jì)值是一致的，進(jìn)一步的迭代不會(huì)提高其漸近有效性，但在有限樣本情況下，將反復(fù)迭代直到其收斂為止。歐式距離。表示某種距離測(cè)度，如其中計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)35銷售額與廣告收入的模型 已知某公司銷售額和廣告投入之間的數(shù)據(jù)，繪制它們的散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)它們之間呈現(xiàn)非線性變化趨勢(shì)。假設(shè)它們之間的函數(shù)可以用下式表達(dá)ixbiebby210計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)3

18、6xy4.6912.236.4111.845.4712.253.4311.14.3910.972.158.751.547.752.6710.51.246.711.777.64.4612.461.838.475.1512.275.2512.571.728.873.0411.154.9211.864.8511.073.1310.382.298.714.912.075.7512.743.619.824.6211.51計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)3733. 1, 6,13210bbb設(shè)定待估參數(shù)的初始值在eviews命令輸入?yún)^(qū)域依次輸入：genr c(1)=13genr c(2)=-6genr c(3)=-1.33在 equation estimation對(duì)話框中的specification文本框中鍵入：y=c(1)+c(2)*exp(c(3)*x)，點(diǎn)擊確定按鈕，輸出迭代法估計(jì)的非線性模型結(jié)果：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)38從而可以寫(xiě)出方程表達(dá)式：ixiey4928. 02380.119161.12計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)39本章練習(xí)題將下列模型進(jìn)行適當(dāng)變換,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型: 221011)1(xbxbbyxbbey10)2(xbbey1011)3( xebby101)4(eklrayt)1 ()5(0計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)40221011) 1 (xbxbby22111xz,xz令,zbzbby22110則原模