高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 階段復(fù)習(xí)課 第3課 不等式學(xué)案 新人教A版必修5

1、第三課不等式核心速填1比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)ab>0a>b.ab0ab.ab<0a<b.2不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b，即a>bb<a性質(zhì)2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c.性質(zhì)3如果a>b，那么ac>bc.性質(zhì)4如果a>b，c>0，那么ac>bc，如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)5如果a>b，c>d，那么ac>bd.性質(zhì)6如果a>b>0，c>d&

2、gt;0，那么ac>bd.性質(zhì)7如果a>b>0，那么an>bn，(nn*，n1)性質(zhì)8如果a>b>0，那么>(nn*，n2).3.二元一次不等式表示的平面區(qū)域axbyc(b>0)表示對應(yīng)直線方區(qū)域4二元一次不等式組表示的平面區(qū)域每個二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分就是不等式組所表示的區(qū)域5兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2b22ab(a，br)“ab”時取等號基本不等式(a>0，b>0)“ab”時取等號體系構(gòu)建題型探究一元二次不等式的解法探究問題1當(dāng)a>0時，若方程ax2bxc0有兩個不等實(shí)根，且<，則

3、不等式ax2bxc>0的解集是什么？提示：借助函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可知，不等式的解集為x|x<或x>2若探究1中的a<0，則不等式ax2bxc>0的解集是什么？提示：解集為x|<x<3若一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac<0，則ax2bxc>0的解集是什么？提示：當(dāng)a>0時，不等式的解集為r；當(dāng)a<0時，不等式的解集為.若不等式組的整數(shù)解只有2，求k的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號：91432361】思路探究：不等式組的解集是各個不等式解集的交集，分別求解兩個不等式，取交集判斷解由x2x2>0，得x<1或x&

4、gt;2.對于方程2x2(2k5)x5k0有兩個實(shí)數(shù)解x1，x2k.(1)當(dāng)>k，即k>時，不等式的解集為，顯然2.(2)當(dāng)k時，不等式2x2(2k5)x5k<0的解集為.(3)當(dāng)<k，即k<時，不等式的解集為.不等式組的解集由或確定原不等式組整數(shù)解只有2，2<k3，故所求k的范圍是3k<2.母題探究：.(變條件，變結(jié)論)若將例題改為“已知ar，解關(guān)于x的不等式ax22xa<0”解(1)若a0，則原不等式為2x<0，故解集為x|x>0(2)若a>0，44a2.當(dāng)>0，即0<a<1時，方程ax22xa0的兩根為x

5、1，x2，原不等式的解集為.當(dāng)0，即a1時，原不等式的解集為.當(dāng)<0，即a>1時，原不等式的解集為.(3)若a<0，44a2.當(dāng)>0，即1<a<0時，原不等式的解集為.當(dāng)0，即a1時，原不等式可化為(x1)2>0，原不等式的解集為x|xr且x1當(dāng)<0，即a<1時，原不等式的解集為r.綜上所述，當(dāng)a1時，原不等式的解集為；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為；當(dāng)a0時，原不等式的解集為x|x>0；當(dāng)1<a<0時，原不等式的解集為；當(dāng)a1時，原不等式的解集為x|xr且x1；當(dāng)a<1時，原不等式的解集為r.規(guī)律方法

6、不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.將不等式化為ax2bxc>0(a>0)或ax2bxc<0(a>0)的形式；求出相應(yīng)的一元二次方程的根或利用二次函數(shù)的圖象與根的判別式確定一元二次不等式的解集.,(2)含參數(shù)的一元二次不等式.,解題時應(yīng)先看二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，其次考慮判別式，最后分析兩根的大小，此種情況討論是必不可少的.不等式恒成立問題已知不等式mx2mx1<0.(1)若xr時不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若x1,3時不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若滿足|m|2的一切m的值能使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：91432362】思

7、路探究：先討論二次項(xiàng)系數(shù)，再靈活的選擇方法解決恒成立問題解(1)若m0，原不等式可化為1<0，顯然恒成立；若m0，則不等式mx2mx1<0 恒成立解得4<m<0.綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,0(2)令f(x)mx2mx1，當(dāng)m0時，f(x)1<0顯然恒成立；當(dāng)m>0時，若對于x1,3不等式恒成立，只需即可，解得m<，0<m<.當(dāng)m<0時，函數(shù)f(x)的圖象開口向下，對稱軸為x，若x1,3時不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)圖象(圖略)知只需f(1)<0即可，解得mr，m<0符合題意綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(3)令g(m)m

8、x2mx1(x2x)m1，若對滿足|m|2的一切m的值不等式恒成立，則只需即解得<x<.實(shí)數(shù)x的取值范圍是.規(guī)律方法對于恒成立不等式求參數(shù)范圍的問題常見的類型及解法有以下幾種：1變更主元法根據(jù)實(shí)際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看做主元2分離參數(shù)法若f(a)<g(x)恒成立，則f(a)<g(x)min.若f(a)>g(x)恒成立，則f(a)>g(x)max.3數(shù)形結(jié)合法利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問題通過函數(shù)圖象直觀化跟蹤訓(xùn)練1設(shè)f(x)mx2mx6m，(1)若對于m2,2，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若對于x1,

9、3，f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)依題意，設(shè)g(m)(x2x1)m6，則g(m)為關(guān)于m的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)x2x12>0，所以g(m)在2,2上遞增，所以欲使f(x)<0恒成立，需g(m)maxg(2)2(x2x1)6<0，解得1<x<2.(2)法一：要使f(x)m(x2x1)6<0在1,3上恒成立，則有m<在1,3上恒成立，而當(dāng)x1,3時，所以m<min，因此m的取值范圍是.法二：當(dāng)m0時，f(x)6<0對x1,3恒成立，所以m0.當(dāng)m0時f(x)的圖象的對稱軸為x，若m>0，則f(x)在1,3上單調(diào)遞增

10、，要使f(x)<0對x1,3恒成立，只需f(3)<0即7m6<0，所以0<m<.若m<0，則f(x)在1,3上單調(diào)遞減，要使f(x)<0對x1,3恒成立，只需f(1)<0即m<6，所以m<0.綜上可知m的取值范圍是.線性規(guī)劃問題已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多個點(diǎn)(x，y)使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，則m_. 【導(dǎo)學(xué)號：91432363】思路探究：先畫出可行域，再研究目標(biāo)函數(shù)，由于目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)m，故需討論m的值，再結(jié)合可行域，數(shù)形結(jié)合確定滿足題意的m的值. 1作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示若m0，則zx

11、，目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意若m0，目標(biāo)函數(shù)zxmy可看作動直線yx，若m<0，則>0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；若m>0，則<0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線ab重合時，有無窮多個點(diǎn)(x，y)在線段ab上，使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，即1，則m1.綜上可知，m1.規(guī)律方法1線性規(guī)劃在實(shí)際中的類型主要有：(1)給定一定數(shù)量的人力、物力資源，如何運(yùn)用這些資源，使完成任務(wù)量最大，收到的效益最高；(2)給定一項(xiàng)任務(wù)，怎樣統(tǒng)籌安排，使得完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最少2解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟：(1)列：設(shè)

12、出未知數(shù)，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)(2)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域(3)移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線(4)求：通過解方程組求出最優(yōu)解(5)答：作出答案跟蹤訓(xùn)練2制定投資計(jì)劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？解設(shè)投資人分別用x萬元、y萬

13、元投資甲、乙兩個項(xiàng)目由題意，知目標(biāo)函數(shù)zx0.5y.畫出可行域如圖中陰影部分作直線l0：x0.5y0，并作平行于l0的一組直線x0.5yz，zr，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m時，z取得最大值由得即m(4,6)此時z40.5×67(萬元)當(dāng)x4，y6時，z取得最大值，即投資人用4萬元投資甲項(xiàng)目，6萬元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.利用基本不等式求最值設(shè)函數(shù)f(x)x，x0，)(1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當(dāng)0<a<1時，求函數(shù)f(x)的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：91432364】思路探究：(1)將原函數(shù)變形

14、，利用基本不等式求解(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求解解(1)把a(bǔ)2代入f(x)x，得f(x)x(x1)1，x0，)，x1>0，>0，x12，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時，f(x)取等號，此時f(x)min21.(2)當(dāng)0<a<1時，f(x)x11若x12，則當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號，此時x1<0(不合題意)，因此，上式等號取不到f(x)在0，)上單調(diào)遞增f(x)minf(0)a.規(guī)律方法基本不等式是證明不等式、求某些函數(shù)的最大值及最小值的理論依據(jù)，在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛.(1)基本不等式通常用來求最值，一般用ab解“定積求和，和最小”問題，用ab解“定和求積，積最大”

15、問題.(2)在實(shí)際運(yùn)用中，經(jīng)常涉及函數(shù)f(x)x，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”.特別是利用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、分離變量、減少變元等，構(gòu)造定值條件的方法和對等號能否成立的驗(yàn)證. 跟蹤訓(xùn)練3某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元，公司擬投入(x2600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬元作為浮動宣傳費(fèi)用試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價解(1)設(shè)每件定價為t元，依題意，有8(t25)×0.2t25×8，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元(2)依題意，x>25時，不等式ax25×850(x2600)x有解，等價于x>25時，ax有解x210(當(dāng)且僅當(dāng)x30時，等號成立)，a10.2.因此當(dāng)該商品明