高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對點練8 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點及參數(shù)范圍 理

1、專題對點練8導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點及參數(shù)范圍1.(2016江西南昌十所重點學(xué)校二模,理21)已知函數(shù)f(x)=ex(sin x+cos x)+a,g(x)=(a2-a+10)ex(ar且a為常數(shù)).(1)若曲線y=f(x)在(0,f(0)處的切線過點(1,2),求實數(shù)a的值;(2)判斷函數(shù)(x)=b(1+e2)g(x)(a2-a+10)e2x-1x+1+ln x(b>1)在(0,+)內(nèi)的零點個數(shù),并說明理由.解 (1)f'(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x,又曲線y=f(x)在(0,f(0)處的切線過點(1,2),得f'(0

2、)=f(0)-20-1,即2=1-a,解得a=-1.(2)由(x)=b(1+e2)g(x)(a2-a+10)xe2-1x+1+ln x=0(x>0),得b(1+e2)exxe2-1x+1+ln x=0,化為b(1+e2)exe2=1-x-xln x,令h(x)=1-x-xln x,則h'(x)=-2-ln x.由h'(x)=-2-ln x=0,得x=e-2,故h(x)在0,1e2內(nèi)遞增,在1e2,+內(nèi)遞減,h(x)max=h1e2=1+1e2.再令t(x)=b(1+e2)exe2=b1+1e2ex,因為b>1,所以函數(shù)t(x)=b1+1e2ex在(0,+)內(nèi)遞增,t

3、(x)>t(0)=b1+1e2e0=b1+1e2>1+1e2.故t(x)>h(x)max,由此判斷函數(shù)(x)在(0,+)內(nèi)沒有零點,故(x)零點個數(shù)為0.2.(2017山西第四次五校聯(lián)考,理21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax(ar).(1)求曲線y=f(x)在點a(1,f(1)處的切線l的方程,并證明:除點a外,曲線y=f(x)都在直線l的下方;(2)若函數(shù)h(x)=ex+f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有零點,求a的取值范圍.解 (1)f'(x)=1x-a,f'(1)=1-a,f(1)=-a,l的方程為y+a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x-1.設(shè)p(

4、x)=f(x)-(1-a)x+1=ln x-x+1,則p'(x)=1-xx,若x>1,則p'(x)<0;若0<x<1,則p'(x)>0.p(x)max=p(1)=0,p(x)0,f(x)(1-a)x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,取等號.故除點a外,曲線y=f(x)都在直線l的下方.(2)h(x)=ex+f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有零點,即a=ex+lnxx在x(1,3)內(nèi)有實數(shù)解.設(shè)f(x)=ex+lnxx,則f'(x)=ex(x-1)+1-lnxx2,設(shè)g(x)=ex(x-1)+1-ln x,則g'(x)=xex-1x2,數(shù)形結(jié)

5、合得函數(shù)y=ex-1x2(x>0)的零點在(0,1)上,且y>0在(1,3)內(nèi)恒成立,g'(x)>0,即g(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)>g(1)=1,則f'(x)>0在(1,3)內(nèi)恒成立,f(x)在(1,3)內(nèi)遞增,f(x)e,e3+ln33,ae,e3+ln33.導(dǎo)學(xué)號168041733.(2017貴州貴陽二模,理21)已知函數(shù)f(x)=(x2-2x)·ln x+ax2+2,g(x)=f(x)-x-2.(1)當(dāng)a=-1時,求f(x)在(1,f(1)處的切線方程;(2)若a>0且函數(shù)g(x)有且僅有一個零點,求實數(shù)a的值;

6、(3)在(2)的條件下,若e-2<x<e時,g(x)m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解 (1)當(dāng)a=-1時,f(x)=(x2-2x)·ln x-x2+2,定義域為(0,+),f'(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x,f'(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1)處的切線方程為3x+y-4=0.(2)令g(x)=f(x)-x-2=0,則(x2-2x)ln x+ax2+2=x+2,即a=1-(x-2)lnxx,令h(x)=1-(x-2)lnxx,則h'(x)=-1x2-1x+2-2lnxx2=1-x-2lnxx2,令t(x)=1-x

7、-2ln x,則t'(x)=-1-2x=-x-2x,x(0,+),t'(x)<0,t(x)在(0,+)內(nèi)是減函數(shù),又t(1)=h'(1)=0,當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0,當(dāng)x>1時,h'(x)<0,h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,h(x)max=h(1)=1>0,又h1e=1-e<0,h(e2)=5-2e2e2<0,a>0,當(dāng)函數(shù)g(x)有且僅有一個零點時,a=1.(3)當(dāng)a=1,g(x)=(x2-2x)ln x+x2-x,若e-2<x<e,g(x)m,只

8、需證明g(x)maxm,g'(x)=(x-1)·(3+2ln x),令g'(x)=0得x=1或x=e-32,又e-2<x<e,函數(shù)g(x)在(e-2,e-32)上單調(diào)遞增,在(e-32,1)上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增,即x=e-32是g(x)的極大值點,又g(e-32)=-12e-3+2e-32,g(e)=2e2-3e,且g(e-32)=-12e-3+2e-32<2e-32<2e<2ee-32=g(e),g(e-32)<g(e),m2e2-3e,實數(shù)m的取值范圍是2e2-3e,+).導(dǎo)學(xué)號168041744.(2017河南豫

9、南九校質(zhì)量考評八,理21)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax(a>0).(1)若函數(shù)f(x)有零點,求實數(shù)a的取值范圍;(2)證明當(dāng)a2e,b>1時,f(ln b)>1b.(1)解 函數(shù)f(x)=ln x+ax的定義域為(0,+),由f(x)=ln x+ax,得f'(x)=1x-ax2=x-ax2,因為a>0,所以當(dāng)x(0,a)時,f'(x)<0,當(dāng)x(a,+)時,f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=a時,f(x)min=ln a+1,當(dāng)ln a+10,即0<a1e時,又f(1)=

10、ln 1+a=a>0,則函數(shù)f(x)有零點.所以實數(shù)a的取值范圍為0,1e.(2)證明 要證明f(ln b)>1b,即證ln(ln b)+alnb>1b,令t=ln b>0(b>1),則b=et,所以只需證ln t+at>e-t,整理得tln t+a>te-t,令h(x)=xln x+a,則h'(x)=ln x+1.當(dāng)0<x<1e時,h'(x)<0;當(dāng)x>1e時,h'(x)>0.所以函數(shù)h(x)在0,1e內(nèi)單調(diào)遞減,在1e,+內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x=1e時,h(x)min=-1e+a.于是,當(dāng)a2e時,h

11、(x)-1e+a1e.令(x)=xe-x,則'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).當(dāng)0<x<1時,'(x)>0;當(dāng)x>1時,'(x)<0.所以函數(shù)(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時,(x)max=1e,于是,當(dāng)x>0時,(x)1e.顯然,不等式,中的等號不能同時成立,故當(dāng)x>0,a2e時,xln x+a>xe-x.因為b>1,所以ln b>0.所以ln b·ln(ln b)+a>ln b·e-ln b.所以ln(ln b)+alnb>1b,即f(ln b)>1b.6edbc3191f2351dd8