高等數(shù)學(xué)：06第一章 第6節(jié) 極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限

1、1要極限兩個重極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個重要極限三、小結(jié)及作業(yè)2一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 3,1 ayNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立

2、成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限4準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 2稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.5例例1 1).12111(

3、lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn6記住結(jié)果：記住結(jié)果：11nnnlim)()(lim)(012aannnnnnn43212lim例例解：解：nnnnn4443214444nnlim而而44321nnnnnlim7x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單

4、調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM8例例3 3.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx94例例),()(321211nxaxxnnn設(shè)設(shè).lim,nnxax求求001解：解：)(nnnxaxx211nnxax annxx1)(

5、2121nxa)1 (21aa1nnxx1即即,limAxnn設(shè)設(shè)存在，存在，nnxlim),(AaAA21由由,aA.limaxnn10AC二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 AOB 的面積圓扇形AOB的面積 AOC的面積,tan2121sin21xxx即即11,tansinxxx, 1sincos xxx即即,coslim10 xx. 1sinlim0 xxx

6、xxxcossin1112例例4 4.cos1lim20 xxx 求求解解22022xxxsinlim原式原式220)2(2sinlim21xxx 說明：說明：）更一般形式：）更一般形式：（1,)()(sinlim)(10 xfxfxf1330 xxxsinlim如如）不要混淆：）不要混淆：（2sinlim0.xxx例例3 3xxxtanlim0 xxxxcossinlim101111320)22sin(lim21xxx 2121 .21 5例例.arcsinlimxxx0解解:,arcsin xt 令令,sintx 則則原式tttsinlim0tttsinlim10114(2)exxx )1

7、1(lim存在：存在：先證先證nnn)(lim11nnnx)(11設(shè)設(shè)2121111nnnnn!)(!).()(!)(!nnnnnn1121111112111nnnnnnn1!)1()1( 15).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111 (!1)111 (! 21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,16.)11 (limexxx可證：可證

8、：注：注：exxx1011)(lim）等價形式：）等價形式：（exfxfxf)()()(lim1012）一般形式：）一般形式：（例例6 6xxx231)(lim6331xxx)(lim6331)(limxxx6e17 鸚鵡螺的貝殼像對數(shù)螺線 菊的種子排列成對數(shù)螺線 鷹以對數(shù)螺線的方式接近它們的獵物 昆蟲以對數(shù)螺線的方式接近光源 蜘蛛網(wǎng)的構(gòu)造與對數(shù)螺線相似 旋渦星系的旋臂差不多是對數(shù)螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為 12。 低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像對數(shù)螺線 對數(shù)螺線是1638年經(jīng)笛卡爾引進(jìn)的，后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各伯努利曾詳細(xì)研究過它，發(fā)現(xiàn)對數(shù)螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數(shù)螺線，極點(diǎn)在

9、對數(shù)螺線各點(diǎn)的切線仍是對數(shù)螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質(zhì)驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數(shù)螺線畫在自己的墓碑上，并附詞“縱使改變，依然故我”(eadem mutata resurgo)?？上У窨處熣`將阿基米德螺線刻了上去。 18例例7 7.)(limxxx521求求解解10221)(limxxx原式原式10 e例例8 8xxxxcot)(lim110 xxxxxxxxxsincos)(lim12210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e199例例.)cos(sinlimxxxx112211xxxx)cos(sinlim221xxx)sin(limxxxxx22212

10、1sinsin)sin(lime2010例例 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e21三、小結(jié)1.兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 22作業(yè)作業(yè)5561P習(xí)題)5 , 3 , 2(4),4 , 2 , 1 (2),6 , 5 , 4 , 3( 123思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 24思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319

11、lim xxxxx 313311lim9990 e25._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arc26xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、27 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222,22,