高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法復習課學案 新人教A版選修45

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5第二講第二講 證明不等式的基本方法證明不等式的基本方法復習課整合網(wǎng)絡構建警示易錯提醒1比較法的一個易錯點忽略討論導致錯誤，當作差所得的結果“正負不明”時，應注意分類討論2分析法和綜合法的易錯點對證明方法不理解導致證明錯誤， 在不等式的證明過程中， 常因對分析法與綜合法的證明思想不理解而導致錯誤3反證法與放縮法的注意點(1)反證法中對結論否定不全(2)應用放縮法時放縮不恰當專題一比較法證明不等式比較法是證明不等式的最基本、最重要的方

3、法，主要有作差比較法和作商比較法，含根號時常采用比平方差或立方差基本步驟是作差(商)變形判斷結論，關鍵是變形，變形的目的是判號(與 1 的大小關系)，變形的方法主要有配方法、因式分解法等例若x，y，zr，a0，b0，c0.求證：bcax2caby2abcz22(xyyzzx)證明：因為bcax2caby2abcz22(xyyzzx)bax2aby22xycby2bcz22yz6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d

4、 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5acz2cax22zxbaxaby2cbybcz2acz

5、cax20，所以bcax2caby2abcz22(xyyzzx)成立歸納升華作差法證明不等式的關鍵是變形， 變形是證明推理中一個承上啟下的關鍵， 變形的目的在于判斷差的符號， 而不是考慮能否化簡或值是多少， 變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法變式訓練已知a，br，求證：a2b21abab.證明：法一因為a2b2abab112(ab)2(a1)2(b1)20，所以a2b21abab.法二a2b2abab1a2(b1)ab2b1，對于a的二次三項式，(b1)24(b2b1)3(b1)20，所以a2(b1)ab2b10，故a2b21abab.專

6、題二綜合法證明不等式綜合法證明不等式的思維方式是“順推”， 即由已知的不等式出發(fā)， 逐步推出其必要條件(由因導果)，最后推導出所要證明的不等式成立證明時要注意的是： 作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應用時要先考慮是否具備應有的條件，避免錯誤例 2設a，b，c均為正數(shù)，且abc1，求證：a2bb2cc2a1.證明：因為a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c，故a2bb2cc2a(abc)2(abc)，則a2bb2cc2aabc.所以a2bb2cc2a1.歸納升華6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

7、4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d

8、d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5綜合法證明的實質是由因導果，其證明的邏輯關系是：ab1b2bnb(a為已知條件或數(shù)學定義、定理、公理，b為要證的結論)，它的常見書面表達式是“因為所以”或“” 變式訓練設a0，b0，ab1，求證：1a1b1ab8.證明：因為a0，b0，ab1，所以 1ab2ab，ab12，所以1ab4.所以1a1b1ab(ab)1a1b1ab2ab21ab48，所以1a1b1ab8，當且僅當ab12時，等號成立專題三用分析法證明不等式分析法證明不等式的思維方法是“逆推”， 即由待證的不等式出發(fā)， 逐步逆求它要成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到

9、的充分條件是已知(或已證)的不等式當要證的不等式不知從何入手時， 可考慮用分析法去證明， 特別是對于條件簡單而結論復雜的題目，往往更為有效例 3已知abc，且abc0，求證：b2ac 3a.證明：要證b2ac 3a，只需證b2ac3a2.因為abc0，只需證b2a(ab)3a2，只需證 2a2abb20，只需證(ab)(2ab)0，只需證(ab)(ac)0.因為abc，所以ab0，ac0，所以(ab)(ac)0 顯然成立，故原不等式成立歸納升華1分析法的格式是固定的，但是必須注意推演過程中的每一步都是尋求相應結論成立的充分條件2 分析法是“執(zhí)果索因”， 逐步尋求上一步成立的充分條件， 而綜合法

10、是“由因導果”，逐步推導出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的一般來說，對于較復雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結合使用6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b

11、c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5變式訓練已知ab0，求證：abab.證明：要證abab，即證abab，只需證ab2 （ab）bab，只需證 02 （ab）b.由ab0 知最后一個不等式成立，故原不等式成立專題四用反證法證明不等式反證法常用于直接證明困難或結論以否定形

12、式出現(xiàn)的命題，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題例 4若 0a2，0b2，0c2，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同時大于 1.證明：假設三數(shù)能同時大于 1，即(2a)b1，(2b)c1，(2c)a1，那么（2a）b2 （2a）b1，同理（2b）c21，（2c）a21，三式相加（2ab）（2bc）（2ca）23，即 33.上式顯然是錯誤的，所以該假設不成立所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同時都大于 1.歸納升華反證法是從否定結論出發(fā)， 經(jīng)過推理論證， 得出矛盾， 從而肯定原命題正確的證明方法，其步驟為：(1)分清命題的條件和結論，假設出與命題結論相矛盾的假

13、定命題(否定結論)；(2)從假定和條件出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾；(3)斷定產(chǎn)生矛盾的原因在于開始所做的假設不正確，于是原命題成立，從而間接證明了原命題為真命題變式訓練已知：在如圖所示的abc中，bac90，d是bc的中點6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f

14、 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5求證：ad12bc.證明：假設ad12bc.(1)若ad12bc，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長的一半，那么，這條邊所對的角為直角” ，即bac90，與題設矛盾所以ad12bc.(2)若

15、ad12bc，因為bddc12bc，所以在abd中，adbd，從而bbad.同理ccad.所以bcbadcad，即bcbac.因為bc180bac，所以 180bacbac，則bac90，與已知矛盾由(1)(2)知ad12bc.專題五用放縮法證明不等式在證明不等式時，有時需要舍去或添加一些項，有時需要拆項，使不等式的一邊放大或縮小，然后利用不等式的傳遞性達到證明的目的某些不等式可構造出函數(shù)，利用函數(shù)的單調性放縮證明運用放縮法證明的關鍵是放縮要適當例 5已知a，b，c為三角形的三條邊，求證：a1ab1bc1c.證明：設f(x)x1x，x(0，)，0 x1x2，則f(x2)f(x1)x21x2x1

16、1x1x2x1（1x1） （1x2）0，所以f(x)在(0，)上為增函數(shù)因為a，b，c為三角形的三條邊，于是abc，則ab1abc1c.又a1ab1ba1abb1abab1ab，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f