高等數(shù)學(xué)：9_8 多元函數(shù)的極值及其求法（新）

1、9.8 多元函數(shù)的極值及其求法一、問(wèn)題的提出二、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法2117054806.27 xyxyxy某商店賣(mài)兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià) 元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元. 店主估計(jì)，若本地牌子的每瓶賣(mài)元，外地牌子的每瓶賣(mài) 元，則每天可賣(mài)本地牌子果汁瓶， 外地牌子的果汁瓶. 問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣(mài)兩種牌子的果汁可取得最大收益？引引例例：( , )(1)(7054 )(1.2)(8067 )f x yxxyyxy每天的收益：一、問(wèn)題的提出.求最大收益即為求二元函數(shù)的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)最大值：2234(0,0)zxy比如，在處有極小值；22(0,0)zxy 在處有

2、極大值；(0,0)zxy在處無(wú)極值. 極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值極值點(diǎn).00000000000000000000000( , )(,)( , )( , )( )( , )(,)( )(,)(,)(,)( , ).()( , )(,)( , )(,)(,)zf x yP xyPPPx yzf x yP xyf xyP xa f x yf xyb f x yf xyf x yzf x yP xyf xyUyDDD設(shè)的定義域?yàn)?，為的內(nèi)點(diǎn) 若的某鄰域該鄰域內(nèi)異于的任，使得，點(diǎn)何點(diǎn)都有：極，則稱(chēng)在有稱(chēng)為；，則稱(chēng)大值極大在有值點(diǎn)值，極小的定定義義：000(,)( , )P xyf x

3、 y點(diǎn)的稱(chēng)為極小值點(diǎn).二、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值1 1、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件00000000( , )(,)(,)(,)0(,)0.xyzf x yxyxyfxyfxy設(shè)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極，值，則定定理理1 1( (必必要要條條件件) )00(,)0.yfxy類(lèi)似的可證00000000( , )(,)(,)(,)( , )( , )(,).zf x yxyxyxyx yf x yf xy證：不妨設(shè)在處有極大值，則對(duì)的某鄰域內(nèi)任意異于的都滿足00000( ,)(,).yyxxf x yf xy故，當(dāng)時(shí)，有，00( ,)f x yxx于是，一元函數(shù)在處有

4、極大值.000 .(,)xfxy因此，000000000000000( , , )(,)(,)(,)0(,)0(,)0.xyzuf x y zP xy zP xy zfxy zfxy zfxy z若在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在有極值，則推廣：.zxy例如，點(diǎn)(0,0)是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn).一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為駐：零的點(diǎn)點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，但，駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)！000000000000( , )(,)(,)0(,)0.(,)(,)(,)xyxxxyyyzf x yxyfxyfxyfxyAfxyBfxyC設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)，令，偏導(dǎo)

5、數(shù)，又定定理理2 2 ( (充充分分條條件件) )2(1)000ACBAA時(shí)有極值，且有極大值，有極小值；2(2)0ACB 時(shí)無(wú)極值；2(3)0ACB 時(shí)可能有極值，也可能無(wú)極值，此方法失效，還需另作討論.00( , )(,)zf x yxy則在點(diǎn)處是否取得極值的條件如下：22( , )3690( , )360 xyfx yxxfx yyy 解方程組 :第二步判別33221( , )339f x yxyxyx例求的極值.212 600ACBA，5.(1,0)f 故為極小值，1206(1,0)ABC在，點(diǎn)處， 解第一步：求駐點(diǎn): (1,0),(1,2),( 3,0),( 3,2).得駐點(diǎn)類(lèi)似可判

6、別：( , )321.1,f x yf無(wú)極值在()和(-3,0)處，有；在(-3,2)(-3,2)極大值( , )66( , )0( , )66.xxx yy yfx yxfx yfx yy ，332222()(0 0)zxyzxy例討論及在 ，處是否取得極值.20.ACB33(0 0)zxy在點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值可能，為正負(fù)、0. 0.33(0.0)zxy因此， ， 不的是極值點(diǎn)22222(0,0)0()0 xyzxyz當(dāng)時(shí)，222(0,0)()=0zxy因此，為極小值.(0 0)(0 0 ),解：顯然都是它們的駐并且在 ，點(diǎn)，都有9( , )0( , )0 .xyfx yfx y第一步 解方程，

7、組得駐點(diǎn)( , )zf x y求具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)極值的一般步驟：00(,) .AxyBC，第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值、 、22 =0.ACBACB第三步 定出的符號(hào)，再判定是，需另否是極值當(dāng)作討論.( , )zf x y說(shuō)明：若在某一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在，則此點(diǎn)也有可能成為極值點(diǎn)，需另加判別.2 2、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值 求最值的一般方法：.DD將函數(shù)處的函數(shù)值及在的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最在定義域內(nèi)的小者即所有點(diǎn)為最小值駐11xyo6 yxD222( , )2(4)0( , )(4)0 xyfx yxyxyx yfx yxxyx y(2,1)

8、(2,1)4.f唯一駐點(diǎn)，且2(3, )(46.)zf x yx yxyxyDyx例 ：求在直線軸和 軸所圍成的閉區(qū)域上的最大值與最小值，(:, )f x yD解 先求在內(nèi)的駐點(diǎn):46|2(4,2)64.xyxf ，, ):(f x y再求在邊界上的最值0 0( , )0 xyf x y在邊界和上，；266( , )(6)( 2).xyyxf x yxx在邊界上，即，于是，2124 (6)200,4xfx xxxx得由(2,1)4.(4,2)64ff 比較可知：為最大值，為最小值2222222222(1)2 ()0(1):(1)2 ()0(1)xyxyx xyzxyxyy xyzxy解最大值,

9、21)21,21(z最小值,21)21,21(z2214.xyzxy例求的最大值和最小值1111(,) (,)2222得駐點(diǎn)，：22lim0.1xyxyxy因?yàn)?，即，邊界上的值為?, ,2xyx y解 設(shè)水箱長(zhǎng) 寬分別為則高為022222()2()0 xAxyyxxyyxyxyxy水箱所用材料的面積為，22222020 xyAyAxxy令，52 例 ：某廠要用鐵板做一個(gè)體積為 的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省？3322得駐點(diǎn)：(,)3. 2因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)故，當(dāng)長(zhǎng)、寬、高均為時(shí)，水箱所用材料最省。( , )lnln810200.U x yxyx

10、y求函數(shù)在條件下的極值( , )ln200 .810200lnxyU x yxy小王有元錢(qián)，決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品:計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶. 設(shè)他購(gòu)買(mǎi) 張磁盤(pán)， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)設(shè)每張磁盤(pán) 元，每盒磁帶元，問(wèn)他如何分配這元以達(dá)到引例：最佳效果？三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：極值問(wèn)題極值問(wèn)題 無(wú)條件極值無(wú)條件極值: 對(duì)自變量只有定義域的限制;條件極值條件極值: 定義域限制+其它條件限制. 15( , )0( , )x yzf x y在條件下，問(wèn)題如何：求的極值？( , )0( )( ,( )x yyxzf xx從中解出，求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題

11、。：1 1. . 代代入入法法( , )0( )( ,( )0.x yyxdzzf xxdx設(shè)確定了隱函數(shù)，則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)的極值問(wèn)題，故，極值點(diǎn)必然滿足：分析：2. 2. 拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法：0.xxyyff則xxyydzdydyffdxdxdx 又，yxxyff 令，000 xxyyff極值點(diǎn)必則滿足( , , )( , )( , )F x yf x yx y 引入輔助函數(shù)(00)0*xxyxyyxyffff 極值足，點(diǎn)令滿( , , )00( *)0*xxxyyyF x yFfFfF 由定理1(必要條件)知：可疑的極值點(diǎn)應(yīng)滿足：( , , )Lagrange .F x y輔

12、助函數(shù)稱(chēng)為拉格朗日()函數(shù)利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法( , , ) F x y故，找到的可疑極值點(diǎn)就得到原條件極值問(wèn)題的可疑極值點(diǎn).(*)(* )與同解.得到條件極值的可疑點(diǎn)，然后去判別它們是否為極值.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多元函數(shù)在多個(gè)約束條件的情形推推廣廣：( , , )( , , )0( , , )0.uf x y zx y zx y z如，求在條件，下的極值1212( , , ,)( , , )( , , )( , , )F x y zf x y zx y zx y z 設(shè)12121212000( , , )0( , , )0 xxxxyyyyzzzzFfFfFfF

13、x y zFx y z 解方程組020202()00 xyzFzxxzFzyyzFxyxyFxyzV解方程組06, V例 ：要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱 試問(wèn)水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？0( , , , )2()()F x y zxzyzxyxyzV令033300224 VVV由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的.因此 ，當(dāng)長(zhǎng)、寬、高分別為時(shí)，所、用材料最省.02().xyzxyzVSxzyzxy解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為 、 、 .問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求在條件下水箱表面積的最小值3030242xyVV得2233230200120 xyzFx y zFx yzFx yFxyz解方程組32max642

14、6912.u故，最大值為：)12(),(23zyxzyxzyxF解：令2346246，zyx32, ,7.x y zux y z例將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)之和使得為最大000(,).P xy z解：設(shè)為橢球面上的切點(diǎn)222000222222222( , , )1|xPyPzPxyzxyzF x y zFFFabcabc令，則，000000222()()()0.xyzPxxyyzzabc過(guò)的切平面方程：222222.18xyzabc例在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)0002221.x xy yz zabc即，222000.abcxyzxyz，該切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸軸上的為：，截距222000166a b cVxyzx y z所圍四面體的體積：212222220002220001.6xyza b cVabcx y z在條件下，求的最小值222000000000222( , )