制圖第二篇2章

1、第二篇 畫(huà)法幾何第二章 點(diǎn)、直線(xiàn)和平面§2-2-1 點(diǎn)的投影（一）教學(xué)目的 掌握點(diǎn)的投影的形成、投影規(guī)律、點(diǎn)的投影與坐標(biāo)間的關(guān)系。重點(diǎn)難點(diǎn) 掌握點(diǎn)的投影規(guī)律、點(diǎn)的三面投影的形成過(guò)程、點(diǎn)的投影與坐標(biāo)間的關(guān)系。教學(xué)方法 講授為主 導(dǎo)入新課（5分鐘）；講授新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1.投影規(guī)律（三等關(guān)系）是什么？ 導(dǎo)入新課點(diǎn)、線(xiàn)（直線(xiàn)或曲線(xiàn)）、面（平面或曲面）是構(gòu)成形體的基本幾何元素。而點(diǎn)又是構(gòu)成線(xiàn)、面的最基本元素，所以首先從點(diǎn)開(kāi)始介紹。 講授新課一、點(diǎn)的三面投影1.投影的形成圖3-1 點(diǎn)的三面投影a）立體圖；b）投影圖；c）去邊

2、框后的投影圖在三面投影體系中，有一個(gè)空間點(diǎn)A，由A分別向三個(gè)投影面V、H和W引垂線(xiàn)，垂足a、a和 a即為A點(diǎn)的三面投影。如圖3-1a)所示。點(diǎn)的投影符號(hào)規(guī)定：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，如A、B、C等；H面用相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示，如a、b、c等；V面用相應(yīng)的小寫(xiě)字母加“”表示，如a、b、c等；W面用相應(yīng)的小寫(xiě)字母加“”表示，如a、b、c等；2.投影規(guī)律（1）點(diǎn)的V面投影和H面投影的連線(xiàn)垂直于OX軸；點(diǎn)的V面投影和W面投影的連線(xiàn)垂直于OZ軸。即兩投影的連線(xiàn)必垂直于相應(yīng)的投影軸。如圖3-1a)所示，由投射線(xiàn)Aa、Aa所構(gòu)成的投射平面P(Aaaxa)與OX軸相交于ax點(diǎn)，因PV、PH，即P、V、H三面投影互

3、相垂直，由立體幾何可知，此三平面的交線(xiàn)必互相垂直，即axaOX，aaxOX，aaxaax，故P面為矩形。 當(dāng)H面旋轉(zhuǎn)至與V面重合時(shí)，ax不動(dòng)，且aaxOX的關(guān)系不變，所以a、ax、a三點(diǎn)共線(xiàn)，即aaOX軸。 同理，a'a"OZ軸。(2)點(diǎn)的投影至投影軸的距離，反映點(diǎn)至相應(yīng)投影面的距離。如圖3-1a)所示：點(diǎn)的H面投影至OX軸的距離，等于其W面投影至OZ軸的距離(即寬相等)，即：aax=aaz = Aa；點(diǎn)的V面投影至OZ軸的距離，等于其H面投影至OY軸的距離(即長(zhǎng)對(duì)正)，即：aaz=aay=Aa；點(diǎn)的V面投影至OX軸的距離，等于其W面投影至OY軸的距離(即高平齊) ，即：Aa

4、x= aay= Aa。 aax=aaz = Aa，反映A點(diǎn)至V面的距離；aaz=aay=Aa，反映A點(diǎn)至W面的距離；aax= aay= Aa，反映A點(diǎn)至H面的距離。 此投影規(guī)律即“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的根據(jù)所在。 為了能更直接地看到a和a之間的關(guān)系，經(jīng)常用以O(shè)為圓心的圓弧把a(bǔ)YH和aYW聯(lián)系起來(lái) (圖3-1b)，也可以自O(shè)點(diǎn)作45°的輔助線(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)a和a的聯(lián)系。 圖3-2 已知點(diǎn)的兩面投影求第三投影 圖3-3 投影面上的點(diǎn) a）立體圖；b）投影圖根據(jù)此投影規(guī)律，只要已知點(diǎn)的任意兩投影，即可求其第三投影。 例3-1 已知一點(diǎn)B的V、W面投影b、b ，求b(圖3-2)。 解 (1) 按

5、第一條規(guī)律，過(guò)b作垂線(xiàn)并與OX軸交于bx點(diǎn)。 (2) 按第二條規(guī)律在所作垂線(xiàn)上量取bxb = bzb得b點(diǎn)，即為所求。作圖時(shí)，也可以借助于過(guò)O點(diǎn)作45°斜線(xiàn)Obo，因?yàn)镺bYHbobYW是正方形，所以O(shè)bYH = ObYW。圖3-4 投影軸上的點(diǎn)a）立體圖；b）投影圖3.投影面上點(diǎn)投影面上的點(diǎn)，一個(gè)投影與空間點(diǎn)重合，另兩個(gè)投影在相應(yīng)的投影軸上。它們的投影仍完全符合上述兩條基本投影規(guī)律。如圖3-3所示，F(xiàn)點(diǎn)在V面上，M點(diǎn)在H面上，G點(diǎn)在W面上。4.投影軸上的點(diǎn)投影軸上的點(diǎn)，兩個(gè)投影與空間點(diǎn)重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。如圖3-4所示，A點(diǎn)在OX軸上，B點(diǎn)在OZ軸上，C 點(diǎn)在OY軸上。5.分

6、角設(shè)想將V面、H面和W面向后、向下、向右擴(kuò)展而將整個(gè)空間劃分為八個(gè)部分，稱(chēng)為八個(gè)分角。第一分角投影法是把物體放在投影面與觀(guān)察者之間，其投影時(shí)的相對(duì)位置是：人物體投影面。第三角投影即把物體放在第三角進(jìn)行正投影，這種方法假定投影面是透明的。投影時(shí)人、物體、投影面的相對(duì)位置是：人投影面物體。二、點(diǎn)的投影與坐標(biāo)把三投影面體系看作直角坐標(biāo)系，則把三個(gè)投影面看作坐標(biāo)面，投影軸看作坐標(biāo)軸，則點(diǎn)到三個(gè)投影面距離，就是點(diǎn)的坐標(biāo)。點(diǎn)A到W面的距離為X坐標(biāo)；A點(diǎn)到V面的距離為Y坐標(biāo)；A點(diǎn)到H面的距離為Z坐標(biāo)。點(diǎn)的每個(gè)投影反映兩個(gè)坐標(biāo)，點(diǎn)的三面投影與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系為：（1）A點(diǎn)的H面投影a 可反映該點(diǎn)的X和Y坐標(biāo)；（2

7、）A點(diǎn)的V面投影a可反映該點(diǎn)的X和Z坐標(biāo)； （3）A點(diǎn)的W面投影a可反映該點(diǎn)的Y和Z坐標(biāo)。例3-2：已知B(4，6，5) ，求作B點(diǎn)的三面投影。分析：作此類(lèi)題主要根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律及坐標(biāo)。作圖：方法步驟如圖3-5所示。圖3-5 已知點(diǎn)的坐標(biāo)求作點(diǎn)的三面投影(1)作出三個(gè)投影軸及原點(diǎn)O，在OX軸上自O(shè)點(diǎn)向左量取4個(gè)單位，得到bx點(diǎn)(圖a)；(2)過(guò)bx點(diǎn)作OX軸的垂線(xiàn)，由bx向上量取Z=5單位，得V面投影b，再向下量取Y=6 單位，得H面投影b(圖b)；(3)過(guò)b作線(xiàn)平行于OX軸并與OZ軸相交于bz，量取bzb= Y= bxb，得W面投影b， b、b和b即為所求(圖c)。 課堂總結(jié)點(diǎn)的投影規(guī)律、點(diǎn)

8、的三面投影與坐標(biāo)的關(guān)系。 作業(yè)布置1.習(xí)題集3-1至3-4。2.點(diǎn)的投影規(guī)律是什么？3.點(diǎn)的投影與坐標(biāo)間的關(guān)系。§2-2-1 點(diǎn)的投影（二）教學(xué)目的 掌握兩點(diǎn)的相對(duì)位置、重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性的判別。重點(diǎn)難點(diǎn) 兩點(diǎn)的相對(duì)位置、重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性的判別。教學(xué)方法 講授為主 導(dǎo)入新課（5分鐘）；講授新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)點(diǎn)的投影規(guī)律是什么？ 導(dǎo)入新課研究空間中兩點(diǎn)存在著的前后、左右、上下的位置關(guān)系是這節(jié)課的主要內(nèi)容。 講授新課三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置空間中的任兩點(diǎn)間存在著的前后、左右、上下的位置關(guān)系?？臻g兩點(diǎn)的相對(duì)位置是以其中某一點(diǎn)為基準(zhǔn)

9、，判別另一點(diǎn)在該點(diǎn)的前后、左右和上下的位置，這可由兩點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值來(lái)確定，或者由兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來(lái)確定。 如圖3-6所示，如以B點(diǎn)為基準(zhǔn)，因?yàn)閄A < XB， Y A < Y B， Z A > Z B，所以A點(diǎn)在B點(diǎn)的右、 后、上方。圖3-6 兩點(diǎn)的相對(duì)位置a）投影圖；b）立體圖；四 重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性的判別當(dāng)空間兩點(diǎn)位于某一投影面的同一投影線(xiàn)上時(shí)，則此兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，此兩點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。為區(qū)別起見(jiàn)，凡不可見(jiàn)的投影其字母寫(xiě)在后面，并可加括號(hào)表示。重影點(diǎn)可見(jiàn)性的判別：對(duì)于重影點(diǎn)，必須判別其可見(jiàn)性，其判別方法概括為：（1）采用點(diǎn)對(duì)該投影面的坐標(biāo)值來(lái)判斷（其他兩同名

10、坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等），坐標(biāo)值大者為可見(jiàn)點(diǎn)，小者為不可見(jiàn)點(diǎn)，如ZA>ZB,故A點(diǎn)為可見(jiàn)點(diǎn)。（2）采用投影方向來(lái)判斷，先被投影到的點(diǎn)為可見(jiàn)點(diǎn)，反之為不可見(jiàn)點(diǎn)。圖3-7 重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性的判別a）立體圖；b）a、b點(diǎn)的投影圖；c）c、d點(diǎn)的投影圖；d）e、f點(diǎn)的投影圖如圖3-7a)、b)所示，A、B兩點(diǎn)在同一垂直H面的投射線(xiàn)上，A點(diǎn)在B點(diǎn)的正上方；B點(diǎn)則在A(yíng)點(diǎn)的正下方，a、b兩投影重合，是對(duì)H面的重影點(diǎn)，但其他兩同面投影不重合。a、b 兩點(diǎn)的可見(jiàn)性，可從V面或W面投影進(jìn)行判別：a高于b(或a高于b)，即A點(diǎn)在B點(diǎn)正上方，所以a為可見(jiàn)，b為不可見(jiàn)。如圖3-7c)所示，C點(diǎn)在D點(diǎn)的正前方，位于V面的同一

11、投射線(xiàn)上， c'、d'兩投影重合，為對(duì)V面的重影點(diǎn)，c可見(jiàn)，d不可見(jiàn)；如圖3-7d)所示，F(xiàn)點(diǎn)在E點(diǎn)的正右方，位于W面的同一投射線(xiàn)上，e 、兩投影重合，為對(duì)W面的重影點(diǎn)，e 可見(jiàn)，不可見(jiàn)。 課堂總結(jié)兩點(diǎn)的相對(duì)位置、重影點(diǎn)及其可見(jiàn)性的判別。 作業(yè)布置1.習(xí)題集3-5、3-6。2.什么是重影點(diǎn)？其表示方法是什么？§2-2-2 直線(xiàn)的投影（一）教學(xué)目的 掌握一般位置直線(xiàn)、投影面平行線(xiàn)的投影特性。重點(diǎn)難點(diǎn) 一般位置直線(xiàn)、投影面平行線(xiàn)的投影特性。教學(xué)方法 講授為主 導(dǎo)入新課（5分鐘）；講授新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1.

12、 什么是重影點(diǎn)？2.重影點(diǎn)表示方法是什么？ 導(dǎo)入新課由初等幾何可知，兩點(diǎn)確定一直線(xiàn)，故只要找出直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的投影，連接其同面投影，即為直線(xiàn)的投影。我們通常把線(xiàn)段說(shuō)成直線(xiàn)，以后所講的直線(xiàn)均為線(xiàn)段。按直線(xiàn)與投影面的相對(duì)位置可把直線(xiàn)分為：一般位置直線(xiàn)、投影面平行線(xiàn)、投影面垂直線(xiàn)三種，后兩種又稱(chēng)為特殊位置直線(xiàn)。 講授新課兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，畫(huà)出直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的投影，連接其同面投影，即為直線(xiàn)的投影。直線(xiàn)和它在某一投影面上的投影間的夾角，稱(chēng)為直線(xiàn)對(duì)該投影面的傾角。對(duì)H面的傾角用表示；對(duì)V面的傾角用表示；對(duì)W面的傾角用表示。根據(jù)直線(xiàn)與投影的相對(duì)位置，直線(xiàn)可分為：一般位置直線(xiàn)、投影面平行線(xiàn)和投影面垂直線(xiàn)三種，

13、后兩種統(tǒng)稱(chēng)為特殊位置直線(xiàn)。一、一般位置直線(xiàn)對(duì)三個(gè)投影面均不平行不垂直的直線(xiàn)稱(chēng)為一般位置直線(xiàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)一般線(xiàn)）。如圖3-8，為一般位置直線(xiàn)的立體圖和投影圖。直線(xiàn)和它的某一投影面上的投影所成的銳角，稱(chēng)為直線(xiàn)對(duì)該投影面的傾角。直線(xiàn)對(duì)H、V、W面的傾角分別用、表示。 圖3-8 一般位置直線(xiàn) 圖3-9 各種位置直線(xiàn)a）立體圖；b）投影圖一般位置直線(xiàn)的投影特性：1.一般位置直線(xiàn)的三個(gè)投影都小于實(shí)長(zhǎng)。如圖3-8a)，ab = ABcos，ab=ABcos，ab= ABcos，而、和均介于0°與90°之間，cos、cos和cos均小于1。2. 一般位置直線(xiàn)的三面投影都傾斜于投影軸，且各投影與相

14、應(yīng)投影軸的夾角，不反映直線(xiàn)對(duì)各投影面的真實(shí)傾角。如圖3-8b)所示。如圖3-9中，BF是一般位置直線(xiàn)。二 投影面平行線(xiàn)只平行某個(gè)投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線(xiàn)，稱(chēng)為某投影面的平行線(xiàn)。與V面平行的直線(xiàn)稱(chēng)為正面平行線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)正平線(xiàn)。與H面平行的直線(xiàn)稱(chēng)為水平面平行線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)水平線(xiàn)。與W面平行的直線(xiàn)稱(chēng)為側(cè)面平行線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)平線(xiàn)。如表3-1)所示。 投影面平行線(xiàn) 表3-1投影面平行線(xiàn)的共性：1.直線(xiàn)在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，且該投影與相應(yīng)投影軸所成之夾角，反映直線(xiàn)對(duì)其他兩投影面的傾角。2.直線(xiàn)其他兩投影均小于實(shí)長(zhǎng)，且平行于相應(yīng)的投影軸。圖3-10 求水平線(xiàn)的三面投影例3-3 已知水平線(xiàn)AB的長(zhǎng)度為

15、25mm，=30°，A點(diǎn)的二投影a、a，試求AB的三面投影(圖3-10 )。 解 (1)過(guò)a作直線(xiàn)ab =25mm，并與OX軸成30°角；(2)過(guò)a作直線(xiàn)平行OX軸，與過(guò)b作OX軸的垂線(xiàn)相交于b'；(3)根據(jù)ab和ab作出ab。 (4)根據(jù)已知條件，B點(diǎn)可以在A(yíng)點(diǎn)的前、后、左、右 四種位置，本題有四種答案。 課堂小結(jié)一般位置直線(xiàn)、投影面平行線(xiàn)的投影特性。 布置作業(yè)1. 習(xí)題集3-7。§2-2-2 直線(xiàn)的投影（二）教學(xué)目的 掌握投影面垂直線(xiàn)的投影。重點(diǎn)難點(diǎn) 投影面垂直線(xiàn)的投影特性。 直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的傾角。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課

16、（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1.投影面平行線(xiàn)的投影特性是什么？ 導(dǎo)入新課空間中有一般位置直線(xiàn)，特殊位置直線(xiàn)，特殊位置直線(xiàn)包括投影面平行線(xiàn)和投影面垂直線(xiàn)。 講解新課三 投影面垂直線(xiàn)與某一個(gè)投影面垂直的直線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為投影面垂直線(xiàn)，垂直于一個(gè)投影面，必平行于另兩個(gè)投影面。投影面垂直線(xiàn)有三種情況。 投影面垂直線(xiàn) 表3-2 與V面垂直的稱(chēng)為正面垂直線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)正垂線(xiàn)。與H面垂直的稱(chēng)為水平面垂直線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)鉛垂線(xiàn)。與W在垂直的稱(chēng)職為側(cè)面垂直線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)垂線(xiàn)。如表3-2)所示。投影面垂直線(xiàn)的共性是：1.在所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)；2.其他兩

17、投影與相應(yīng)的投影軸垂直，并都反映實(shí)長(zhǎng)。四 直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的角一般位置直線(xiàn)的三面投影圖即不反映實(shí)長(zhǎng)，也不反映傾角，要想求得一般線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)和傾角，可以采用直角三角形法。這種利用直角三角形求一般位置直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及傾角的方法稱(chēng)為直角三角形法，其要點(diǎn)是以線(xiàn)段的一個(gè)投影為直角邊，以線(xiàn)段兩端點(diǎn)相對(duì)于該投影面的坐標(biāo)差為另一直角邊，所構(gòu)成的直角三角形的斜邊為線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)。斜邊與線(xiàn)段投影之間的夾角即為直線(xiàn)對(duì)該投影面的傾角。 課堂小結(jié)投影面垂直線(xiàn)的投影特性，直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的傾角。 布置作業(yè)1.習(xí)題集3-7至3-12。§2-2-2 直線(xiàn)的投影（三）教學(xué)目的 掌握點(diǎn)的定比分割特性。重點(diǎn)難點(diǎn) 點(diǎn)的定比分

18、割特性。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1、什么是投影面垂直線(xiàn)的投影特性？ 導(dǎo)入新課直線(xiàn)是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，這節(jié)課研究直線(xiàn)上的點(diǎn)。 講解新課五 直線(xiàn)上的點(diǎn)點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線(xiàn)的同面投影上；且點(diǎn)分割線(xiàn)段成定比，其投影也把線(xiàn)段的投影分成相同的比例，即點(diǎn)的定比分割特性。反之，若點(diǎn)的各面投影都在線(xiàn)段的同面投影上，且分線(xiàn)段的投影成相同的比例，則該點(diǎn)一定在此線(xiàn)段上。如圖3-11所示，M在直線(xiàn)AB上，則其投影m、m、m必在A(yíng)B的相應(yīng)投影ab、ab、 ab上；且AM：MB=am：m

19、b= am：mb = am：mb。判斷點(diǎn)是否在直線(xiàn)上，一般情況下用兩面投影即可。但當(dāng)直線(xiàn)為特殊位置直線(xiàn)時(shí)，須用三面投影或點(diǎn)的定比分割特性來(lái)判定。如圖3-12)所示。 圖3-11 直線(xiàn)上的點(diǎn) 圖3-12 求直線(xiàn)上一點(diǎn)的投影 a）作法一；b）作法二例3-4 已知側(cè)平線(xiàn)AB的兩投影ab和ab，并知AB線(xiàn)上一點(diǎn)K的V面投影k，求k(圖 3-12)。 解 求作投影法：如圖3-12a)所示，由ab和ab求出ab；再求k ，即可作出k。 點(diǎn)的定比分割特性：如圖3-12b)所示，用定比分割特性求作。因?yàn)锳K:：KB = ak：kb= ak：kb，所以可在H面投影中過(guò)a作任一輔助線(xiàn)a Bo，并使它等于ab，再取

20、aKo = ak。連Bob，并過(guò)Ko作Kok/ Bob交ab于k，即為所求。 課堂小結(jié)點(diǎn)的定比分割特性。 布置作業(yè)1.習(xí)題集3-13、3-14。2.什么是點(diǎn)的定比分割特性？§2-2-2 直線(xiàn)的投影（四）教學(xué)目的 掌握兩直線(xiàn)的相對(duì)位置的投影規(guī)律和判斷方法。重點(diǎn)難點(diǎn) 兩直線(xiàn)的相對(duì)位置的投影規(guī)律及判斷方法。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1. 什么是點(diǎn)的定比分割特性？ 導(dǎo)入新課空間兩直線(xiàn)的相對(duì)位置有平行、相交、和交叉三種情況，前兩種為同面直線(xiàn)，后一種為異面直線(xiàn)。這節(jié)課研究?jī)芍?/p>

21、線(xiàn)的相對(duì)位置關(guān)系。 講解新課六 兩直線(xiàn)的相對(duì)位置1.平行兩直線(xiàn)空間兩直線(xiàn)的相對(duì)位置有平行、相交和交叉三種情況，前兩種為同面直線(xiàn)，后一種為異面直線(xiàn)。如圖3-13)所示。圖3-13 空間直線(xiàn)的三種位置關(guān)系a）兩直線(xiàn)平行；b）兩直線(xiàn)相交；c）兩直線(xiàn)交叉 若空間兩直線(xiàn)互相平行，則其同面投影互相平行且比值相等，反之，若兩直線(xiàn)的同面投影互相平行且比值相等，則空間兩直線(xiàn)一定互相平行。如圖3-14所示，如果ABCD，則abcd，abcd，abcd；AB：CD = ab：cd = ab：cd = ab：cd。在一般情況下，只要直線(xiàn)的任意兩同面投影互相平行，就可判明定兩直線(xiàn)是平行的，但對(duì)與投影面平行的兩直線(xiàn)來(lái)說(shuō)，

22、應(yīng)用三面投影判定。如圖3-15已知兩條側(cè)平線(xiàn)CD和EF的V、H面投影平行，但不能確定它們是否平行，必須求出它們的側(cè)面投影才能最后確定。 圖3-14 平行兩直線(xiàn)的投影 圖3-15 判定兩直線(xiàn)的相對(duì)位置 a）立體圖；b）投影圖2.相交兩直線(xiàn)相交兩直線(xiàn)，其同面投影必相交，交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，各投影交點(diǎn)的連線(xiàn)必垂直于相應(yīng)的投影軸。交點(diǎn)為兩直線(xiàn)的公共點(diǎn)。如圖3-16所示，相交兩直線(xiàn)AB和CD，交點(diǎn)為K，K同時(shí)屬于A(yíng)B和CD，是兩直線(xiàn)的公共點(diǎn)。由于線(xiàn)上一點(diǎn)的投影必在該直線(xiàn)的同面投影上，因此k在ab和 cd上，這所以k必然是ab和cd的交點(diǎn)；同理k是ab和cd的交點(diǎn)；k是ab和cd的交點(diǎn)。判定兩直線(xiàn)是否相

23、交，對(duì)一般位置直線(xiàn)，根據(jù)任意兩組同面投影即可判斷，但當(dāng)兩直線(xiàn)之一為投影面平行線(xiàn)時(shí)，則要看該直線(xiàn)在所平行的那個(gè)投影面上投影情況。圖3-16 相交兩直線(xiàn)的投影a）立體圖；b）投影圖3.交叉兩直線(xiàn)交叉兩直線(xiàn)即不平行也不相交。其各面投影即不符合平行兩直線(xiàn)的投影特性，也不符合相交兩直線(xiàn)的投影特性。若兩直線(xiàn)的同面投影不同時(shí)平行，或同面投影雖相交但交點(diǎn)連線(xiàn)不垂直于投影軸，則該兩直線(xiàn)必交叉。交叉兩直線(xiàn)的投影可能有一對(duì)或兩對(duì)同面投影互相平行，但決不可能三對(duì)同面投影都互相平行。交叉兩直線(xiàn)也可表現(xiàn)為一對(duì)、兩對(duì)或三對(duì)同面投影相交，但其交點(diǎn)的連系線(xiàn)不可能符合點(diǎn)的投影規(guī)律。圖3-17 判定兩直線(xiàn)的相對(duì)位置如圖3-17所示

24、，兩交叉直線(xiàn)AB和CD，其三面投影都相交，但其交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。ab和cd的交點(diǎn)是AB上的M點(diǎn)和CD上的N點(diǎn)在H面上的重影點(diǎn)，其中M點(diǎn)在上，m可見(jiàn)，N點(diǎn)在下，n為不可見(jiàn)。同樣ab和cd的交點(diǎn)是CD上的E點(diǎn)和AB上的F點(diǎn)在V面上的重影點(diǎn)，E點(diǎn)在前，e為可見(jiàn)，F(xiàn)點(diǎn)在后，f為不可見(jiàn)。W面投影ab和cd的交點(diǎn)也是重影點(diǎn)。 課堂小結(jié)兩直線(xiàn)的相對(duì)位置的投影規(guī)律及判斷方法和直角投影定理。 布置作業(yè)1、習(xí)題集3-22至3-25。2、兩直線(xiàn)平行及其判定方法；兩直線(xiàn)相交及其判定方法；兩直線(xiàn)交叉及其判定方法。§2-2-3 平面的投影（一）教學(xué)目的 掌握平面的表示方法和各種位置平面的投影特性。重點(diǎn)難點(diǎn)

25、 各種位置平面的投影特性。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1. 兩直線(xiàn)平行及其判定方法。 導(dǎo)入新課在投影圖中，平面可以用幾何元素表示，其有五種表示法。 講解新課一、平面的表示法幾何元素表示法不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)；相交兩直線(xiàn)；平行兩直線(xiàn)；任意平面圖形。二、各種位置平面投影特性在三投影面體系中，平面與投影面的相對(duì)位置，歸納起來(lái)有投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面三種。前兩種統(tǒng)稱(chēng)為特殊位置平面。1.投影面垂直面垂直于一個(gè)投影面，傾斜于其他投影面

26、的平面稱(chēng)投影面垂直面，簡(jiǎn)稱(chēng)垂直面。垂直面有三種情況：垂直于H面的稱(chēng)為水平面垂直面，簡(jiǎn)稱(chēng)鉛垂面；垂直于V面的稱(chēng)為正面垂直面，簡(jiǎn)稱(chēng)正垂面；垂直于W面的稱(chēng)為側(cè)面垂直面，簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)垂面。如圖3-19和表3-3所示。圖3-19 投影面垂直面投影面垂直面的共性是： （1）平面在所垂直的投影面上的投影積聚成一直線(xiàn)，它與相應(yīng)投影軸所成的夾角，即為該平面對(duì)其他兩個(gè)投影面的傾角；（2）其他兩投影是類(lèi)似圖形，并小于實(shí)形。投影面垂直面 表3-3 課堂小結(jié)平面的表示方法和投影面垂直面的投影特性。 布置作業(yè)1.習(xí)題集3-15、3-16、3-18、3-19。2.投影面垂直面的共性是什么？§2-2-3 平面的投影（二）

27、教學(xué)目的 掌握各種位置平面的投影特性。重點(diǎn)難點(diǎn) 各種位置平面的投影特性。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)投影面垂直面的共性是什么？ 導(dǎo)入新課在三投影體系中，根據(jù)平面與投影面的相對(duì)位置，歸納起來(lái)還投影面平行面和一般位置平面。 講解新課二、各種位置平面投影特性2.投影面平行面平行于某一投影面的平面，稱(chēng)為投影面平行面，簡(jiǎn)稱(chēng)平行面。投影面平行面與另外兩個(gè)面垂直。投影面平行面有三種情況：投影面平行面 表3-4與H面平行的稱(chēng)為水平面平行面，簡(jiǎn)稱(chēng)水平面； 與V面平行的稱(chēng)為正面平行面，簡(jiǎn)稱(chēng)正平面

28、； 與W面平行的稱(chēng)為側(cè)面平行面，簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)平面。如表3-4所示。投影面平行面的共性：平面在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形，其他兩投影都積聚成與相應(yīng)投影軸平行的直線(xiàn)。3.一般位置平面 圖3-20 一般位置平面 圖3-21 一般位置平面a）立體圖；b）投影圖與三個(gè)投影面既不平行也不垂直的平面稱(chēng)為一般位置平面，簡(jiǎn)稱(chēng)一般面。如圖3-20中的平面 ACF。根據(jù)平面的投影特點(diǎn)可知，一般面的各個(gè)投影都沒(méi)有積聚性，均小于實(shí)形。如圖3-21所示。 課堂小結(jié)兩直線(xiàn)的相對(duì)位置的投影規(guī)律及判斷方法和直角投影定理。 布置作業(yè)1、習(xí)題集3-17、3-20、3-21。2.投影面平行面的投影共性是什么？一般位置平面的投影共性是什

29、么？§2-2-3 平面的投影（三）§3-5 （一）教學(xué)目的 掌握平面上的投影面平行線(xiàn)。重點(diǎn)難點(diǎn) 平面上的投影面平行線(xiàn)。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1.投影面平行面的概念和投影特性；2.投影面垂直面的概念和投影特性； 導(dǎo)入新課平面上平行于投影面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上的投影面平行線(xiàn)。 講解新課三、平面上的點(diǎn)和直線(xiàn)1.平面上的投影面平行線(xiàn)直線(xiàn)在平面上必須具備下列兩條件之一：（1）直線(xiàn)通過(guò)平面上的兩點(diǎn)。如圖3-22所示，在平面P上的兩條直線(xiàn)AB和BC上各取一點(diǎn)D和E，則

30、過(guò)該兩點(diǎn)的直線(xiàn)DE必在P面上。（2）直線(xiàn)通過(guò)平面上一點(diǎn)，且平行于該平面上的一直線(xiàn)。如圖3-22所示，過(guò)P面上的C點(diǎn)，作CF/AB，AB是平面P內(nèi)的一條直線(xiàn)，則直線(xiàn)CF必在P面上。如圖3-23所示，要在A(yíng)BC上任作一條直線(xiàn)MN，則可在此平面上的兩條直線(xiàn)AB和CD上各取點(diǎn)M(m，m，m)和N( n，n，n) ，連接M和N的同面投影，則直線(xiàn)MN就是ABC上的一條直線(xiàn) 圖3-22 平面上的直線(xiàn) 圖3-23 在平面上任作一直線(xiàn)平面上平行于投影面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上的投影面平行線(xiàn)。平面上的投影面平行線(xiàn)有三種：平面上平行于H面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上的水平線(xiàn)；平行于V面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上的正平線(xiàn)；平行于W面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面

31、上的側(cè)平線(xiàn)。如圖3-24所示。圖3-24 平面上的投影面平行線(xiàn)平面上投影面平行線(xiàn)，既在平面上，又具有投影面平行線(xiàn)的一切投影特性。圖3-25 平面上的水平線(xiàn)例3-5 如圖3-25所示。已知ABC，過(guò)A點(diǎn)作平面上的水平線(xiàn)。 解 過(guò)a作adOX，交b c于d，求出d。連接ad，AD(ad' ，ad)即為平面上的水平線(xiàn)。平面上平行于投影面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上的投影面平行線(xiàn)。平面上的投影面平行線(xiàn)有三種：平面上平行于H面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上的水平線(xiàn)；平行于V面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上正平線(xiàn)；平行于W面的直線(xiàn)稱(chēng)為平面上側(cè)平線(xiàn)。平面上投影面平行線(xiàn)，既在平面上，又具有投影面平行線(xiàn)的一切投影特性。 課堂小結(jié)平面上的投影面

32、平行線(xiàn)。 布置作業(yè)1.習(xí)題集。2.直線(xiàn)在平面上必須具備的條件。§2-2-3 平面的投影（四）教學(xué)目的 掌握平面上取點(diǎn)和輔助線(xiàn)的作法。重點(diǎn)難點(diǎn) 平面上取點(diǎn)和輔助線(xiàn)的作法。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1. 直線(xiàn)在平面上必須具備的條件是什么？ 導(dǎo)入新課這節(jié)課研究平面上取點(diǎn)和輔助線(xiàn)的作法。 講解新課3.平面上取點(diǎn)如果點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線(xiàn)上，則此點(diǎn)一定在該平面上。因此在平面上取點(diǎn)必須先在平面上作輔助線(xiàn)，再在輔助線(xiàn)上取點(diǎn)。在平面上可作出無(wú)數(shù)條輔助線(xiàn)，一般選取作圖方便的輔助線(xiàn)為宜

33、。例3-6 已知ABC的兩面投影，及其上一點(diǎn)K的V面投影k，求K點(diǎn)的H面投影k(圖 3-26)。 解 分析：因?yàn)镵點(diǎn)在三角形平面上，所以可在三角形平面上過(guò)K點(diǎn)作一條輔助線(xiàn)，然后利用點(diǎn)、線(xiàn)的從屬性完成K點(diǎn)的V面投影。過(guò)k在平面上作輔助線(xiàn)BE的V面投影be，據(jù)此再作出be。因K點(diǎn)在BE上，k必在be上，從而求得k。圖3-26 平面上取點(diǎn) 圖3-27 判別點(diǎn)是否在平面上例3-7 已知ABC和M點(diǎn)的V、H面投影，判別M點(diǎn)是否在平面上(圖3-27)。 解 如果能在A(yíng)BC上作出一條通過(guò)M點(diǎn)的直線(xiàn)，則M點(diǎn)在該平面上，否則不在該平面上。 連接am，交bc于d，求出d、m在ad上，則M點(diǎn)是該平面上的點(diǎn)。 圖3-

34、28 輔助線(xiàn)的作法例3-8：在已知的平面三角形ABC內(nèi)作一條任意直線(xiàn)M N(圖3-28)。解：利用點(diǎn)、線(xiàn)的從屬關(guān)系，在三角形的AB邊上作M點(diǎn)，在三角形的AC邊上作N點(diǎn)，在H面和V面上分別連接mn和mn，因?yàn)镸點(diǎn)和N點(diǎn)都在三角形平面內(nèi)，所以MN直線(xiàn)是三角形ABC平面內(nèi)的直線(xiàn)。例3-9 已知四邊形ABCD的H面投影和其中兩邊的V面投影，完成四邊形的V面投影 (圖3-41)。解 已知的A 、B、C三點(diǎn)決定一平面，而D點(diǎn)是該平面上的一點(diǎn)，已知D點(diǎn)的H面投影d，求其V面投影，也就是在平面上取點(diǎn)。 作圖步驟：連接bd和ac交于m，再連接ac，根據(jù)m在ac上作出m，連接bm，過(guò)d向OX軸作垂線(xiàn)，與bm的延長(zhǎng)

35、線(xiàn)相交于d；連接ad和dc，abcd即為四邊形的V面投影。圖3-41 完成四邊形的V面投影a）已知條件；b）作圖過(guò)程如果點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線(xiàn)上，則此點(diǎn)一定在該平面上。因此在平面上取點(diǎn)必須先在平面上輔助線(xiàn)，再在輔助線(xiàn)上取點(diǎn)。在平面上可作出無(wú)數(shù)條線(xiàn)，一般選取作圖方便的輔助線(xiàn)為宜。2. 輔助線(xiàn)的作法。 課堂小結(jié)平面上取點(diǎn)和輔助線(xiàn)的作法。 布置作業(yè)1、習(xí)題集。§2-2-4 直線(xiàn)與平面、平面與平面（一）教學(xué)目的 掌握直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的投影特性。重點(diǎn)難點(diǎn) 直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的投影特性。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）

36、作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1.什么是投影面平行線(xiàn)的投影特性？ 導(dǎo)入新課直線(xiàn)與平面、平面與平面的相對(duì)位置有平行、相交和垂直三種情況。 講解新課一、直線(xiàn)與平面、平面與平面平行1.直線(xiàn)與平面平行若直線(xiàn)與平面上任一直線(xiàn)平行，則此直線(xiàn)必與該平面平行。如圖3-30 所示：EF是P平面上的直線(xiàn)，如果AB直線(xiàn)平行于P平面上的EF直線(xiàn)，則AB直線(xiàn)必平行于P平面。判別直線(xiàn)是否與平面平行，可歸結(jié)為在平面上能否作出一直線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。 圖3-30 直線(xiàn)和平面平行的條件 圖3-31 過(guò)已知點(diǎn)作水平線(xiàn)平行于已知平面例3-10 過(guò)ABC外一點(diǎn)D，作一條水平線(xiàn)DE與ABC平行(圖3-31)。 解

37、求作水平線(xiàn)DE與ABC平行，可以先在A(yíng)BC上作一條水平線(xiàn)，使DE與該直線(xiàn)平行，則DEABC，DE與該水平線(xiàn)的同面投影必平行。 作法：(1)在A(yíng)BC上任作一水平線(xiàn)BF(bf，bf)；(2)過(guò)d作debf；過(guò)d作debf，則DE即為所求。例3-11：判斷MN直線(xiàn)是否平行于四邊形平面ABCD。 分析：要判斷直線(xiàn)MN是否與平面四邊形平行，就要看能否在四邊形平面內(nèi)作出一條與MN平行的直線(xiàn)。解 在A(yíng)BCD平面的投影圖上作bemn并與cd相交于e，由e求e，連be，因?yàn)閎emn，所以MN與平面ABCD平行。圖3-32 判別直線(xiàn)與平面是否平行 圖3-33 兩平面平行的條件2.平面與平面平行若一平面上的相交兩直

38、線(xiàn)與另一平面上的相交兩直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行，則該兩平面互相平行。如圖3-33所示，P平面上的一對(duì)相交直線(xiàn)AB、AC，與Q平面上的一對(duì)相交直線(xiàn)A1B1、A1C1對(duì)應(yīng)平行，即ABA1B1、ACA1C1，則PQ。例3-12 判別ABC和DEF兩平面是否相互平行(圖3-34)。 解 在A(yíng)BC上的任一點(diǎn)A作兩相交直線(xiàn)AG和AK，使它們的V面投影agde，ak df，由ag和ak作出ag和ak，因?yàn)閍gde，akdf，所以ABCDEF。 圖3-34 判別兩平面是否平行 圖3-35 過(guò)已知點(diǎn)作平面與已知平面平行例3-13 過(guò)點(diǎn)K作一平面與平行兩直線(xiàn)AB和AC所決定的平面平行(圖3-35)。 解 在已知平面上先連接A

39、C，使該平面轉(zhuǎn)換為由相交兩直線(xiàn)AB和AC所決定的平面，再過(guò)k作keab，kfac，過(guò)k作keab、kfac，相交兩直線(xiàn)KE和KF所決定的平面即為所求。 課堂小結(jié)直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的判定。 布置作業(yè)1、 習(xí)題集 3-34、3-36、3-35、3-37、3-43。2、§2-2-4 直線(xiàn)與平面、平面與平面（二）教學(xué)目的 掌握直線(xiàn)與平面、平面與平面相交的投影特性。重點(diǎn)難點(diǎn) 直線(xiàn)與平面、平面與平面相交的投影特性。教學(xué)方法 講授為主復(fù)習(xí)提問(wèn)（3分鐘）；導(dǎo)入新課（2分鐘）；講解新課（70分鐘）；小結(jié)（3分鐘）作業(yè)布置（2分鐘）。教學(xué)課時(shí) 2課時(shí)教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)提問(wèn)1.直線(xiàn)與平面、平面與平面平

40、行的判定。 導(dǎo)入新課直線(xiàn)與平面、平面與平面的相對(duì)位置有平行、相交和垂直三種情況。下面介紹相交。 講解新課二、直線(xiàn)與平面、平面與平面相交直線(xiàn)與平面或平面與平面之間，若不平行則必相交。直線(xiàn)與平面相交產(chǎn)生交點(diǎn)；平面與平面相交產(chǎn)生交線(xiàn)。圖3-36 直線(xiàn)與平面相交 圖3-37 平面與已知平面相交直線(xiàn)與平面相交產(chǎn)生的交點(diǎn)，是直線(xiàn)與平面的共有點(diǎn)，即交點(diǎn)既是直線(xiàn)上的點(diǎn)也是平面上的點(diǎn)。如圖3-36所示。在求解交點(diǎn)時(shí)，可以利用點(diǎn)、線(xiàn)的從屬性完成，也可以利用平面上取點(diǎn)的方法完成。平面與平面的交線(xiàn)是一條直線(xiàn)，是兩平面的共有線(xiàn)，求交線(xiàn)時(shí)只要先求出交線(xiàn)上兩個(gè)共有點(diǎn)，連之即得。如圖3-37所示：平面ABC上的AB邊與四邊形

41、平面相交產(chǎn)生交點(diǎn)M，ABC上的BC邊與四邊形平面相交產(chǎn)生交點(diǎn)N，連接MN即是平面ABC與四邊形平面相交的交線(xiàn)。為增強(qiáng)投影圖的清晰感，必須判別直線(xiàn)與平面、平面與平面投影重疊段(稱(chēng)重影段)的可見(jiàn)性。1.投影面垂直線(xiàn)與一般位置平面相交例3-14 求作鉛垂線(xiàn)EF與一般位置平面ABC的交點(diǎn)(圖3-38)。解 利用直線(xiàn)的積聚性投影可直接找到交點(diǎn)K的H面投影k，再利用面上取點(diǎn)的方法即可求出k。 對(duì)V面上線(xiàn)面投影重影段的可見(jiàn)性，必須利用交叉直線(xiàn)重影點(diǎn)的可見(jiàn)性來(lái)判別，如圖ab 及ac與ef交點(diǎn)均為重影點(diǎn)，可任選其中的一點(diǎn)如4(3)，它們是AB上的點(diǎn)與EF上的點(diǎn)在V面上重影，由其H面投影可知，點(diǎn)在前，即ek可見(jiàn)，而kf的重影段則為不可見(jiàn)(畫(huà)虛線(xiàn))。圖3-38 鉛垂線(xiàn)與一般面相交a）已知條件；b）作圖過(guò)程2.一般位置線(xiàn)與投影面垂直面相交利用投影面垂直面的積聚性投影，即可直接求出交點(diǎn)。 例3-15 求鉛垂面ABC與一般位置直線(xiàn)DE的交點(diǎn)，并判別可見(jiàn)性(圖3-39)。圖3