高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修22

1、2.2.2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解反證法是間接證明的一種基本方法(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2. 理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知反證法的定義及證題的關(guān)鍵思考1：反證法的實(shí)質(zhì)是什么？提示反證法的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論，推出矛盾，從而證明原結(jié)論是正確的思考2：有人說反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理，這種說法對嗎？為什么？提示反證法是間接證明中的一種方法，其證明過程是邏輯非常嚴(yán)密的演繹推理基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)反證法屬于間接證明問題的方法()(2) 反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題()(3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論推出矛盾()

2、答案(1)(2)×(3)2“a<b”的反面應(yīng)是()aabba>bcab dab或a>b答案d3用反證法證明“如果ab，那么”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是_. 【導(dǎo)學(xué)號：31062152】答案4應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，下列選項(xiàng)中可以作為條件使用的有_(填序號)結(jié)論的反設(shè)；已知條件；定義、公理、定理等；原結(jié)論解析反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果答案 合 作 探 究·攻 重 難用反證法證明否定性命題已知三個正數(shù)a

3、，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證：，不成等差數(shù)列證明假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b.a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，即b，ac24，()20，即.從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故，不成等差數(shù)列規(guī)律方法1.用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法2用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟跟蹤訓(xùn)練1設(shè)sa、sb是圓錐so的兩條母線，o是底面圓心，c是sb上一點(diǎn)，求證：ac與平面sob不垂直證明假設(shè)ac平面sob，如圖，直線so在平面sob內(nèi)，soac.so底面圓o，soa

4、b.so平面sab.平面sab底面圓o.這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立，即ac與平面sob不垂直用反證法證明唯一性命題求證方程2x3有且只有一個根. 【導(dǎo)學(xué)號：31062153】證明2x3，xlog23，這說明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的：假設(shè)方程2x3至少有兩個根b1，b2(b1b2)，則2b13,2b23，兩式相除得2b1b21.若b1b2>0，則2 b1b2>1，這與2 b1b21相矛盾若b1b2<0，則2 b1b2<1，這也與2 b1b21相矛盾b1b20，則b1b2.假設(shè)不成立，從而原命題得證規(guī)律方法巧用反證法證明唯一性命題(1)當(dāng)證明

5、結(jié)論有以“有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)”“唯一存在”“只有一個”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明.(2)用反證法證題時，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立.(3)證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性.跟蹤訓(xùn)練2求證：兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)證明假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無交點(diǎn)或不止一個交點(diǎn)若直線a，b無交點(diǎn)，則ab或a，b是異面直線，與已知矛盾若直線a，b不只有一個交點(diǎn)，則至少有兩個交點(diǎn)a和b，這樣同時經(jīng)過點(diǎn)a，b就有兩條直線，這與“經(jīng)

6、過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點(diǎn)用反證法證明“至多”“至少”問題探究問題1你能闡述一下“至少有一個、至多有一個、至少有n個”等量詞的含義嗎？提示：量詞含義至少有一個有n個，其中n1至多有一個有0或1個至少有n個大于等于n個 2.在反證法證明中，你能說出 “至少有一個、至多有一個、至少有n個”等量詞的反設(shè)詞嗎？提示：量詞反設(shè)詞至少有一個一個也沒有至多有一個至少有兩個至少有n個至多有n1個已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實(shí)數(shù)解. 【導(dǎo)學(xué)號：31062154】證明假設(shè)三個方程都沒有實(shí)根，則三個方程

7、中：它們的判別式都小于0，即：a1，這與已知a1矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個方程中至少有一個方程有實(shí)數(shù)解母題探究：1.(變條件)將本題改為：已知下列三個方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一個方程有實(shí)數(shù)根，如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍？解若方程沒有一個有實(shí)根，則解得即a1，故三個方程至少有一個方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2(變條件)將本題條件改為三個方程中至多有2個方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解假設(shè)三個方程都有實(shí)數(shù)根，則即解得即a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為實(shí)數(shù)r.規(guī)律方法當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“沒有”、“唯一”等指示性詞語時，宜用反

8、證法.提醒：對于此類問題，需仔細(xì)體會“至少有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是() 【導(dǎo)學(xué)號：31062155】a有兩個內(nèi)角是鈍角b有三個內(nèi)角是鈍角c至少有兩個內(nèi)角是鈍角d沒有一個內(nèi)角是鈍角c“最多只有一個”的否定是“至少有兩個”，故選c.2如果兩個實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)()a一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)b兩個都是正數(shù)c至少有一個正數(shù)d兩個都是負(fù)數(shù)c假設(shè)兩個數(shù)分別為x1、x2，且x10，x20，則x1x20，這與兩個數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個實(shí)

9、數(shù)至少有一個正數(shù)，故應(yīng)選c.3已知平面平面直線a，直線b，直線c，baa，ca，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)_解析空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交答案b與c平行或相交4用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：abc90°90°c>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則ab90°不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角；假設(shè)a、b、c中有兩個角是直角，不妨設(shè)ab90°.正確順序的序號排列為_. 【導(dǎo)學(xué)號：31062156】解析根據(jù)反證法證題的三步驟：否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論答案5. 設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，sn是它的前n項(xiàng)和求證：數(shù)列sn不是等比數(shù)列證明假設(shè)數(shù)列sn是等比數(shù)列，則ss1s3，即a(1q)2a1·a1(1qq2)，因?yàn)閍10，所以(1q)21q