華南理工大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》(下冊(cè))期末試題及答案二(共7頁)

1、高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）測(cè)試題二一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號(hào)中填上所選字母）1設(shè)，且可導(dǎo)，則為（ D ）A； B；C； D2從點(diǎn)到一個(gè)平面引垂線，垂足為點(diǎn)，則這個(gè)平面的方程是（ B ）A； B；C； D3微分方程的通解是（ D ）A； B；C； D4設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分等于（ A ）A； B；C； D5累次積分（ A ）A； B；C； D二填空題（每小題5分，本大題共15分）1曲面在點(diǎn)處的切平面方程是；.2微分方程的待定特解形式是；3設(shè)是球面的外測(cè)，則曲面積分三、 一條直線在平面：上，且與另兩條直線L1：及L2：（即L2：）都相交，求該直線方程（本題7分）解：先求兩已知

2、直線與平面的交點(diǎn)，由由由兩點(diǎn)式方程得該直線：四、求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度及沿梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù)（本題7分）解：沿梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù)五、做一個(gè)容積為1立方米的有蓋圓柱形桶，問尺寸應(yīng)如何，才能使用料最省？（本題8分）解：設(shè)底圓半徑為，高為，則由題意，要求的是在條件下的最小值。由實(shí)際問題知，底圓半徑和高分別為才能使用料最省六、設(shè)積分域D為所圍成，試計(jì)算二重積分（本題8分）解：觀察得知該用極坐標(biāo)，七、計(jì)算三重積分，式中為由所確定的固定的圓臺(tái)體（本題8分）解：解：觀察得知該用先二后一的方法八、設(shè)在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求曲線積分，其中曲線L是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段（本題8分）解：在上半平面上且連續(xù)，從而在

3、上半平面上該曲線積分與路徑無關(guān)，取折線九、計(jì)算曲面積分，其中，為上半球面：（本題8分）解：由于，故為上半球面，則原式十、求微分方程 的解（本題8分）解： 由，得十一、試證在點(diǎn)處不連續(xù)，但存在有一階偏導(dǎo)數(shù)（本題4分）解：沿著直線，依賴而變化，從而二重極限不存在，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)。而十二、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解（本題4分）解：由解的結(jié)構(gòu)定理可知，該微分方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根應(yīng)為，否則不能有這樣的特解。從而特征方程為因此為非齊次方程的另一個(gè)特解，故，通解為附加題：（供學(xué)習(xí)無窮級(jí)數(shù)的學(xué)生作為測(cè)試）1求無窮級(jí)數(shù)的收斂域及在收斂域上的和函數(shù)解：由于在時(shí)發(fā)散，在時(shí)條件收斂，故收斂域?yàn)榭?，則從而2求