向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分ppt課件

1、第九章第九章 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分9.2.1 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)9.2.2 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)及法平面方程空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)及法平面方程 1向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念義，假設(shè)極限( ) trr定義定義9.2.1 設(shè)向量值函數(shù)設(shè)向量值函數(shù)在 t 的某鄰域內(nèi)有定00()( )limlimttttttt rrr存在， 那么稱(chēng)向量值函數(shù) r(t) 在 t 處可導(dǎo)， 并稱(chēng)極限值為向量值函數(shù) r(t) 在 t 處的導(dǎo)數(shù)， ( ) t rd.dtr記為或者明顯地， ( ) t r也是一個(gè)向量值函數(shù)假設(shè)向量值函數(shù)

2、r(t) 在 t 處可導(dǎo)，那么r(t) 在 t 處延續(xù). 9.2.1 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分( ) t r( )( ( )ttrr與一元數(shù)量函數(shù)類(lèi)似，可以進(jìn)一步定義向量值函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，如 r(t)的二階導(dǎo)數(shù)定義為的導(dǎo)數(shù), 即:向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋a二維向量值函數(shù)的情形二維向量值函數(shù)的情形b三維向量值函數(shù)的情形三維向量值函數(shù)的情形()( )PQttt rr 假設(shè)點(diǎn) P 和 Q 的位置向量為 r(t) 與 r(t+t), 那么這個(gè)向量可以看作是割線(xiàn)向量 ( ) tr0,0t 當(dāng)時(shí), 割線(xiàn)向量( ) t r假設(shè)存在，且趨于曲線(xiàn)在點(diǎn) P 處的切線(xiàn)

3、向量線(xiàn)這樣, 曲線(xiàn)r(t) 在點(diǎn) P處的切向量為( )( ).ttTr那么稱(chēng)為曲線(xiàn)r(t) 在點(diǎn) P 處的切向量, 過(guò) P( ) t r點(diǎn)且以為方向向量的直線(xiàn)為曲線(xiàn) r(t) 在點(diǎn)P處的切( ) t r向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義:r(t)表示在平面上與空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在表示在平面上與空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)辰的位置時(shí)辰的位置,對(duì)應(yīng)的幾何曲線(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡, ()( )ttt rrr是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段 t, t + t 上的位移,tr是質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，( ) t r是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)辰 t 的瞬時(shí)速度 v(t)，即( )( ),ttvr 速度的方向或質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向是

4、運(yùn)動(dòng)軌跡的切線(xiàn)方向,( )( )ttvr是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)辰 t 的瞬時(shí)加速度 a (t).( )( )( )( ) ,tf tg th trijk( )( )( )( ) .tftg th trijk( )( )( )( ) .tftg th trijk向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可經(jīng)過(guò)計(jì)算其分量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到.其中各分量函數(shù)在點(diǎn) t 處可導(dǎo), 那么 r(t) 在點(diǎn) t 處可導(dǎo), 且定理定理9.2.2 設(shè)三維向量值函數(shù)設(shè)三維向量值函數(shù) 同樣，對(duì)于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)有類(lèi)似的結(jié)論.的二階導(dǎo)數(shù)為三維向量值函數(shù)( )( )( )( )tf tg th trijk(1)( ) cos , sin ;tat btr(2)

5、( ) cos , sin ,.tat bt ctr(1)( )sin , cos ,tat bt r( )(cos ,sin ).tatbt r(2)( )sin , cos , ,tat bt c r( )(cos ,sin ,0).tatbt r例例1 計(jì)算以下向量值函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)：計(jì)算以下向量值函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)：解這里, (1)中的二維向量值函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是二維平面上的橢圓曲線(xiàn); (2)中的三維向量值函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是三維空間上的螺旋曲線(xiàn)( ) tr0,且在區(qū)間 I 內(nèi)光滑的( ) trI( ) t r 假設(shè)一個(gè)向量值函數(shù)在區(qū)間上滿(mǎn)足延續(xù)， 例如，例1中的橢圓曲線(xiàn)與螺旋曲線(xiàn)都是

6、光滑的I我們就稱(chēng)在區(qū)間上是( ) tr 一條曲線(xiàn)假設(shè)由多個(gè)光滑的片段組成，那么就稱(chēng)這條曲線(xiàn)為分段光滑曲線(xiàn)2( )(3 ,2 ),tttr(0)(0,0),r解解 由于由于 光滑的曲線(xiàn)在點(diǎn)(1, 0) (對(duì)應(yīng)t = 0)忽然改動(dòng)了方向，在曲線(xiàn)上出現(xiàn)了尖點(diǎn)的特征所以，該曲線(xiàn)不是32( )1, tt tr能否為光滑曲線(xiàn)？ 例2 判別曲線(xiàn)xyo 尖點(diǎn)1( )(1,2 , 2sin2 ),tttr22( )1 44sin 2 ,tttr( )(0,2, 4cos2 ).ttr解解 質(zhì)點(diǎn)的速度為質(zhì)點(diǎn)的速度為 質(zhì)點(diǎn)的速率為質(zhì)點(diǎn)的加速度為 2( )( ,cos2 ),tt ttr例例3 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置向量為一

7、個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置向量為 求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度與速率d( )d .t trr可導(dǎo)的向量值函數(shù) r = r (t) 的微分定義為dd ( )d ( )( )d( )d.f tg tfttg ttrijijdd ( )d ( )d ( )( )d( )d( )d.f tg th tf ttg tth ttrijkijk( )( )( ) ,tf tg trij對(duì)于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)( )( )( )( ) ,tf tg th trijk對(duì)于可導(dǎo)的三維向量值函數(shù)對(duì)于二維向量值函數(shù)與三維向量值函數(shù)，dr 是一個(gè)與( ) t r與切向量同向；( )( )ttTr平行的向量，曲線(xiàn)的切向量當(dāng) dt 0 時(shí), d

8、r與反向.當(dāng)dt 0 時(shí), dr與切向量( ) t r數(shù)值函數(shù)，設(shè)u(t), v(t)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，常數(shù)，那么有定理定理9.2.1 C 為常向量為常向量 (即即 C的各分量都為常數(shù)的各分量都為常數(shù)), k 為為f (t)為可導(dǎo)2向量值函數(shù)的求導(dǎo)法那么向量值函數(shù)的求導(dǎo)法那么d(1)dtC0;d(2)( )( )( )( )dtttttuvuv;d(3)( )( )dktkttuu; ( 7 ) 鏈?zhǔn)椒敲矗涸O(shè) u (s)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，s = f (t)為可導(dǎo)的數(shù)值函數(shù)，那么d(4)( )( )( )( )( )( )dfttfttftttuuu;d(5)( )( )( )( )( )

9、( )dtttttttuvuvuv;d(6)( )( )( )( )( )( )dtttttttuvuvuv;ddd( )( )( )( ).dddssftftfttstuuuu例例4 ( ) tr0,設(shè) r(t) 是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，且假設(shè)| ( )|,tCr( ) tr( ) t r(C為常數(shù))，證明：與垂直22( )( ) | ( )|,tttCrrrd0 ( )( )( )( )( )( )2 ( )( ).dtttttttttrrrrrrrr證證 由于由于那么由求導(dǎo)法那么 (5) 知( )( )0,ttrr 因此，幾何意義幾何意義: 假設(shè)一條曲線(xiàn)位于一個(gè)以原點(diǎn)為球心的假設(shè)一條曲線(xiàn)位于

10、一個(gè)以原點(diǎn)為球心的也就是說(shuō)( ) tr( ) t r與垂直垂直于位置向量球面上, 那么它的切向量( ) t r( ).tr( )( )( ),tmttLrv( )( )( ),tmttMra 例5 假設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的位置向量為r(t), 角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為 證明：( )( ),( )( ),ttttvrav( )( ( )( )( )( )( )( )( ),tmttttmtttLvvraraM( ),tL0證證 由求導(dǎo)法那么由求導(dǎo)法那么6，知，知留意到 那么特別，當(dāng) M(t) = 0 時(shí),從而L(t)為常向量.這就是物理學(xué)中的角動(dòng)量守恒定律( )( ).ttLM( )( ( )( )(

11、)( ),tmttttLrvrv0000( )( ),( ),( ),tf tg th tT000000()()(),()()()xftyg tzh tftgtht:( ),( ),( )xf tyg tzh t空間曲線(xiàn)在點(diǎn) t0 處的切線(xiàn)向量為000(),(), ()P f tg th t空間曲線(xiàn) 在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為000000( )( )( )( )( )( )0.f txf tg tyg th tzh t稱(chēng)過(guò)點(diǎn) P 且與向量 T (t) 垂直的平面為空間曲線(xiàn) 的法平面，其方程為9.2.2 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面切線(xiàn)方程與法平面方程且點(diǎn)(1,1,1) 與 t = 1對(duì)應(yīng),( )(1,2,3),t T所以，在點(diǎn)(1, 1, 1)處曲線(xiàn)的切線(xiàn)向量為因此，所求切線(xiàn)方程為23:,xt ytzt例例6 求空間曲線(xiàn)求空間曲線(xiàn)在點(diǎn)(1, 1, 1)處的21,2 ,3 ,xyt zt解解 由于由于111,123xyz(1)2(