曲線的標(biāo)準(zhǔn)開

1、1.6 曲線在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開曲線在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開一曲線的局部規(guī)范形式v按照taylor展開式的基本思想，曲線的位置向量函數(shù)在所指定的任意點(diǎn)鄰近都可以用適當(dāng)次數(shù)的多項(xiàng)式向量函數(shù)來逼近v對于 c3 弧長 s 參數(shù)化曲線 c: r r(s) ，任取其上一點(diǎn) p0: r(s0) ，不妨設(shè) s0 0 ，則有peano余項(xiàng)形式的taylor展開式(5.1) r(s) r(0) s r(0) s2 2 r(0) s3 3 r(0) o(s3) . 其中余項(xiàng) o(s3) 是 s3 的高階無窮小向量v若 c 無逗留點(diǎn)，則上式可用frenet標(biāo)架表出事實(shí)上，記 r(0); t(0), n(0), b(0) r0;

2、 t0 , n0 , b0 , (0) 0 , (0) 0 ，則易知有一曲線的局部規(guī)范形式v對于 c3 弧長 s 參數(shù)化曲線 c: r r(s) ，任取其上一點(diǎn) p0: r(s0) ，不妨設(shè) s0 0 ，則有taylor展開式(5.1) r(s) r(0) s r(0) s2 2 r(0) s3 3 r(0) o(s3) .v若 c 無逗留點(diǎn)，則上式可用frenet標(biāo)架表出事實(shí)上，記 r(0); t(0), n(0), b(0) r0; t0 , n0 , b0 , (0) 0 , (0) 0 ，則易知有(5.2) r (0) t0 , r (0) 0n0 ， r (0) (0) n0 00t

3、0 0b0 v此式說明：通過對線性無關(guān)向量組 r (s), r (s), r (s) 進(jìn)行規(guī)范的schmidt正交化，所得到的標(biāo)準(zhǔn)單位正交基實(shí)際上就是frenet標(biāo)架基向量組 t(s), n(s), b(s)一曲線的局部規(guī)范形式v對于 c3 弧長 s 參數(shù)化曲線 c: r r(s) ，任取其上一點(diǎn) p0: r(s0) ，不妨設(shè) s0 0 ，則有taylor展開式(5.1) r(s) r(0) s r(0) s2 2 r(0) s3 3 r(0) o(s3) .v若 c 無逗留點(diǎn)，則(5.2) r (0) t0 , r (0) 0n0 ， r (0) (0) n0 00t0 0b0 v取 r0;

4、 t0 , n0 , b0 為 e3 的一個新的單位正交右手標(biāo)架， 所建立的新直角坐標(biāo)系坐標(biāo)記為 (x*, y*, z*) ， 則此時曲線 c 的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為r* r*(s) (x*(s), y*(s), z*(s) x*(s)t0 + y*(s)n0 + z*(s)b0 其中 r*(s) r(s) r0 一曲線的局部規(guī)范形式由此，將 (5.2) 式代入 (5.1) 式，c 的分量形式即為(5.1) r(s) r(0) s r(0) s2 2 r(0) s3 3 r(0) o(s3) .(5.2)r (0) t0 , r (0) 0n0 , r (0) (0)n0 00t0 0b0 r* r

5、*(s) r(s) r0 (x*(s), y*(s), z*(s) x*(s)t0 + y*(s)n0 + z*(s)b0 (5.3) x* s 02 6 s3 ox*(s3) ，y* 0 2 s2 (0) 6 s3 oy*(s3) ，z* 00 6 s3 oz*(s3) ，一曲線的局部規(guī)范形式 其中余項(xiàng) ox*(s3), oy*(s3), oz*(s3) 分別是 s3 的高階無窮小.此式稱為曲線 c 在點(diǎn) p0 處的標(biāo)準(zhǔn)展開標(biāo)準(zhǔn)展開或局部規(guī)范形式局部規(guī)范形式，或稱為bouquet公式公式對于撓曲線，其局部規(guī)范形式的主要部分確定了一條三次多項(xiàng)式曲線曲線 c 在 p0 點(diǎn)的局部近似曲線近似曲線：

6、c*:r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) (5.3) x* s 02 6 s3 ox*(s3) ，y* 0 2 s2 (0) 6 s3 oy*(s3) ，z* 00 6 s3 oz*(s3) ，二曲線的局部近似曲線v撓曲線 c 在 p0 點(diǎn)的局部近似曲線近似曲線 c*: r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) v直接計算表明，其位置向量的導(dǎo)數(shù)在 p0 點(diǎn)與曲線 c 具有相同的取值v進(jìn)一步，曲線 c* 與曲線 c 在 p0 點(diǎn)具有相同的frenet標(biāo)架以及相同的曲率值和撓率值（習(xí)題）； 這說明它們的幾何行為在 p0 點(diǎn)附近也是很接近的 在 p0 點(diǎn)

7、的局部近似近似v注意：曲線 c* 與曲線 c 的弧長參數(shù)并不一定一致（習(xí)題），只是上述各取值相同之處一定包含著所考慮的點(diǎn) p0 而已二曲線的局部近似曲線v但無論如何，從逼近的角度去看，近似曲線的局部形狀已經(jīng)足以反映出原有撓曲線的局部形狀v為觀察近似曲線 c*在 p0 點(diǎn)附近的圖形，可以通過觀察其向frenet標(biāo)架坐標(biāo)面上的投影曲線的圖形而進(jìn)行，從而得到其基本特征 b0 投影曲線 r0 c* n0 t0圖2-8v撓曲線 c 在 p0 點(diǎn)的局部近似曲線近似曲線 c*: r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) v曲線 c* 與曲線 c 的弧長參數(shù)并不一定一致曲線的局部近似圖形v

8、向密切平面上的投影曲線為拋物線 b0 投影曲線 r0 c* n0 t0圖2-8 y* 0 2 x*2 ，z* 0 ；c*:r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) v為觀察近似曲線 c*在 p0 點(diǎn)附近的圖形，可以通過觀察其向frenet標(biāo)架坐標(biāo)面上的投影曲線的圖形而進(jìn)行，從而得到其基本特征曲線的局部近似圖形v向從切平面的投影曲線為立方拋物線 b0 投影曲線 r0 c* n0 t0圖2-8 z* 00 6 x*3 ，y* 0 ；v向法平面的投影曲線為半立方拋物線 x* 0 ，y* 0 2 s2 ，z* 00 6 s3 c*:r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/

9、6)s3) 曲線的局部近似圖形v后面二者的平面圖形走向顯然與撓率的符號有關(guān)；其立體投影圖形也可以仿照圖2-8做出（自己練習(xí)）v類似于圖2-7所示的局部情形，當(dāng) 0 0 時，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”“右旋上升”穿過法平面和密切平面而去 b0 投影曲線 r0 c* n0 t0圖2-8c*:r*(s) (s , (0/2)s2 , (00/6)s3) b(t) 法平面 c r(t) n(t) 密切平面 t(t) 從切平面 o圖 2-7v圖2-9示意了當(dāng) 0 0 時，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”“右旋上升”穿過法平面和密切平面而去三曲線的切觸v為了比較兩條曲線在某個局部的接近程

10、度，通常為了方便而將所考慮的一對對應(yīng)點(diǎn)視為兩條曲線的公共點(diǎn)v如果還想知道這兩條曲線的位置差異程度，那么，引進(jìn)所謂切觸及其階數(shù)的概念將是方便的v設(shè)相交于點(diǎn) p0 的曲線 c: r(s) 和曲線 c*: r*(s) 同時以 s 為弧長參數(shù)，并且不妨設(shè) op0 r(s0) r*(s0) ， 則兩條曲線上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系規(guī)定為取相同的參數(shù)值， 幾何意義即為對應(yīng)點(diǎn)到公共交點(diǎn) p0 的弧段具有相同的有向長度v此時，對應(yīng)點(diǎn)之間在 e3 中的距離若為它們到交點(diǎn) p0 的弧段長度的高階無窮小，則稱兩條曲線 c 和 c* 在點(diǎn) p0 切觸切觸.三曲線的切觸v比較兩條曲線在某個局部的接近程度v設(shè) c: r(s) 和

11、c*: r*(s) 同時以 s 為弧長參數(shù)，并且 op0 r(s0) r*(s0) ，點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系規(guī)定為取相同的參數(shù)值；對應(yīng)點(diǎn)之間在 e3 中的距離若為它們到交點(diǎn) p0 的弧段長度的高階無窮小，即 則稱兩條曲線 c 和 c* 在點(diǎn) p0 切觸切觸.v若正整數(shù) n 使limss0 r(s) r*(s) s s0 0 ， 則稱兩條曲線 c 和 c* 在點(diǎn) p0 有 n 階階切觸切觸（或n 階密切階密切）limss0 r(s) r*(s) (s s0)n 0 ，limss0 r(s) r*(s) (s s0)n+1 0 ，三曲線的切觸v(5.3) 式和 (5.4) 式說明 撓曲線及其近似曲線有至少二階切觸(5.1) r(s) r(0) s r(0) s2 2 r(0) s3 3 r(0) o(s3) .v從 (5.1) 式和 (5.2) 式還可以看到， 相切的兩條曲線若在切點(diǎn)具有相同的非零曲率值和相同的有向密切平面，則它們在切點(diǎn)有至少二階切觸 x* s 02 6 s3 ox*(s3) ，y* 0 2 s2 (0) 6 s3 oy*(s3) ，z* 00 6 s3 oz*(s3) ，三曲線的切觸v(5.3) 式和 (5.4) 式說明撓曲線及