1219時間序列要點

1、一、移動平均法 2二、指數(shù)平滑法 21一次指數(shù)平滑 22二次指數(shù)平滑法 33三次指數(shù)平滑法 6三、差分指數(shù)平滑法 71一階差分指數(shù)平滑法 72二階差分指數(shù)平滑值 8四、具有季節(jié)特點的時間序列的預測 9五、季節(jié)性分析模型 121樣本數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù) 122樣本數(shù)據(jù)為月度數(shù)據(jù) 1819移動平均法?t m =aT bTm,m =1,2;其中,aT =2MT1)MT2) , 6 =2-(MT1)-MF)N -1一次移動平均值：.1 ,、Mt = N (yt ytyt_N 1)二次移動平均值：mT2) =(MT1) mTZ - 一mT111)IIII _N IN5 <N <200,當歷史序列的

2、基本趨勢變化不大且序列中隨機變動成分較多時，N取值應較大些。預測標準誤差：二(yt - yt ) 2S=，tT -N例1某企業(yè)1月11月的銷售收入時間序列如表1所示。試用一次簡單移動平均法預測12月的銷售收入。表1企業(yè)銷售收入月份(t)1234567891011533.8574.6606.9649.8705.1772.0816.4892.7963.91015.11102.7入(yt)當N=4時，12月份的預測值為993.6,預測標準誤差 S=150.5;當N=5時，12月份的預測值為958.2,預測標準誤差 S=182.4。N=4時的預測標準誤差小，因此選取N=4, 12月份的預測值為 993

3、.6。二、指數(shù)平滑法設時間序列為 必呈,，yt，口為加權系數(shù)，0<a <1。1 . 一次指數(shù)平滑?t1 =S(1) =：yt (1-1)?t初始值的選擇：當時間序列的數(shù)據(jù)較多，比如在 20個以上，可選用第一期數(shù)據(jù)為初始 值；當時間序列的數(shù)據(jù)較少，一般以最初幾期實際值的平均值作為初始值。加權系數(shù)的選擇：如果時間序列波動不大，比較平穩(wěn)，則 口應取小一點，如0.10.5;如果時間序列具有迅速且明顯的變化傾向，則«應取大一點，如0.6 0.8。實用中，多取幾個a值進行試算，看那個預測誤差小，就采用哪個。預測標準誤差計算公式:,T”（貿(mào)-yt）2s = 討 1-T -N例1:某市1

4、976-1987年某種電器銷售額見表1,預測1988年該電器銷售額。表1 某種電器1976-1987年銷售額年份t實際銷售額197615019772521978347197945119805491981648198275119838401984948198510521986115119871259=0.2 ,初始值為S0J S=512即?:一） 二51按預測模型y?1 =:乂（1-二）yt計算預測值（見表 2 ）表2某種電器銷售額及指數(shù)平滑預測值年份1976197719781979198019811982198319841985198619871988實際銷 售量505247514948514

5、048525159預測值5150.8051.0450.2350.3950.1149.6949.9547.9647.9748.7749.2251.182 .二次指數(shù)平滑法適用：時間序列的變動出現(xiàn)直線趨勢計算公式：:St=ayt+(1-a)St(H邛=四+(1_口)叼at =2S一 Stbt =(St- St)1 Tyt m =at btm,m =1,2,例2:我國1965-1985年的發(fā)電總量資料數(shù)據(jù)見表3,下面用二次指數(shù)平滑法預測1986年和1987年的發(fā)電總量。表3我國發(fā)電總量資料數(shù)據(jù)年份t發(fā)電總量19651676196628251967377419684716196959401970611

6、59197171384197281524197391668197410168819751119581976122031197713223419781425661979152820198016300619811730931982183277198319351419842037701985214107(1)加權系數(shù)和初始值的確定：取口 =0.3,初始值S01)和S02)都取序列的首項數(shù)值，即S(1) = S02) = 676(2)計算計算一次指數(shù)平滑值St、二次指數(shù)平滑值 St(2)將初始值代入公式（8.8）,分別得到St、S值，見表4。表4發(fā)電總量一次平滑值年份19651966196719681

7、969197019711972197319741975一次平滑值676720.7736.7730.5793.39031047.31190.31333.61439.91595.4年份1976197719781979198019811982198319841985一次平滑值1726.11878.42084.72305.32515.52688.82865.23059.93272.93523.1表5發(fā)電總量二次平滑值年份19651966196719681969197019711972197319741975二次 平滑值676689.4703.6711.7736.2786.2864.6962.31073

8、.71183.61307.1年份1976197719781979198019811982198319841985二次 平滑值1432.81566.5172218972082.52264.42444.62629.22822.33032.6（3）計算直線趨勢方程由表4知St，SS2? =3523.1 , S22) =3032.6因此有a21 ,b21a21 =2S2?-嚼=4013.7b21 = (S2? -S22) -210.241 一：于是，得到t =21時時直線趨勢方程為?21 m =4013.7 210.24m表6發(fā)電總量估計值年份19651966196719681969197019711

9、972197319741975序號1234567891011估計值676765.4784757.48751069.91308.41516.117051806.1年份1976197719781979198019811982198319841985序號12131415161718192021估計值2007.221452324.12602.92888.63134.132953466.13675.13916.6預測1986年和1987年的發(fā)電總量為（單位：億萬千瓦時）?986 = %2 = % 1 = 4223.95yi987 - ?23 - ?21 2 - 4434-193 .三次指數(shù)平滑法適用：時

10、間序列的變動出現(xiàn)二次曲線趨勢計算公式：'St+(i«)sT.St2)=aSt(1)+(1-a)St(21(3)(2)(3)St =aS *(1 a)S_tA =3- 3St +St _ (1)_ (2)_ (3)22Jbt=(6-5a)St -2(5-4a)St( ) +(4-3a)St Mu /(2(1-a)Ct =St(1)2St +S/0(口)2)2 yt m =at btm Ctm ,m = 1,2,加權系數(shù)a的取值范圍一般以 0.1 0.3為宜。如果序列的基本趨勢比較穩(wěn)，則值應取 得小一些；如果預測目標的基本趨勢已發(fā)生系統(tǒng)的變化，則值應取得大一些。初始值S(&quo

11、t;, S02) ,S03)可以取前35個數(shù)據(jù)的算數(shù)平均值。例3:某省1978-1988年某企業(yè)固定資產(chǎn)投資總額見表7,下面預測1989和1990年固定資產(chǎn)投資總額。表7 1978-1988年某企業(yè)固定資產(chǎn)投資總額年份t投資總額yt1978120.041979220.061980325.721981434.611982551.771983655.921984780.6519858131.1119869148.58198710162.67198811232.26198912(1)加權系數(shù)和初始值的確定取值 =0.3,初始值 S(0) =S20) =S3°)=(y +y2 +y3)/3

12、= 21.94。計算s(1),S(2),s將加權系數(shù)和初始值代入公式（8.12）可依次得到 S，6，S，見表8表8 1978-1988年的一次、二次、三次指數(shù)平滑值年份一次指數(shù)平滑值二次指數(shù)平滑值三次指數(shù)平滑值197821.3721.7721.89197920.9821.5321.78198022.421.7921.78198122.0623.0722.17198233.7826.2823.4198340.4230.5225.54198452.4937.1129.01198576.0748.834.95198697.8363.5143.521987117.2879.6454.351988151

13、.77101.2868.43由式（8.14）,可得到當t =11時，有41=219.91,。1 =38.38, G1 =1.62于是，得當t =11時預測模型為y11m =219.91 38.38m 1.62m2預測1989年和1990年的固定資產(chǎn)投資總額為（單位：億元）?989 =亮=?11 1 =為。1<1 =259.92y1990 = ?132=yi1 2 = a112b112 Gl = 303.16表9固定資產(chǎn)投資總額估計值年份19781979198019811982198319841985198619871988估計值20.2319.5624.4934.5953.8964.58

14、89.3142.42176.09196.26三、差分指數(shù)平滑法1. 一階差分指數(shù)平滑法當時間序列呈直線增加時，可運用一階差分指數(shù)平滑來預測。公式如下：- Yt4AAv yt =：yti （1 -： ）v yt4A A yt =v: yt yt 口其中，為差分記號。式表示對呈現(xiàn)直線增加的序列作一階差分，構成一個平穩(wěn)的新序列；式表示把經(jīng)過一階差分后的新序列的指數(shù)平滑預測值與變量當前的實際值疊加，作為變量下一期的預測值。例：某工廠企業(yè)1977年1986年鍋爐燃燒消耗量資料如表10所列，試預測1987年的燃料消耗量。表10某企業(yè)鍋爐燃燒消耗量的差分指數(shù)平滑法計算表（ a =0.4）年份t燃料消耗量yt

15、差分VytA差分指數(shù)平滑值V ytA預測值yt197712419782262226.0019793271228.00198043031.6028.60198153222.1632.16198263312.1034.10198373631.6634.66198484042.1938.19198594112.9242.921986104432.1543.151987112.4946.49(1)”2 =V2 -y1 =2624 = 2,AAA(2) Vy2=y2=2, Vy3 =0.4y2+0.6 y2 =0.4父 2 + 0.6父2 = 0.2,A A(3) y2 = y2 + y1 =24+2

16、=26,1987 年的預測值 y11 =Vy11 + y10 =2.49 +44 =46.492.二階差分指數(shù)平滑值當時間序列呈現(xiàn)二次曲線增長時，可用二階差分指數(shù)平滑模型來預測，計算公式如下：vyt = yt - yt-i,2yt ="t -。二，AA' 2 Nt i2y.( )、上,2上, yt =、 yt 、yy yt i其中，v2表示二階差分。例：某工廠企業(yè)1978年1988年投資總額資料如表 11所列，i蛤測1989年的投資總 額。表11某企業(yè)投資總額的二階差分指數(shù)平滑法計算表( u = 0.4 )年份t投資總額yt一階差分7yt二階差分172 yt2二階差分指數(shù)平滑

17、值V 2 ytA 預測值yt1978120.041979220.060.021980325.725.665.645.6425.721981434.618.893.235.6437.021982551.7717.168.274.6848.181983655.924.15-13.016.1175.041984780.6524.7320.58-1.5458.5319858131.1150.4625.737.31112.6919869148.5817.47-32.9914.68196.25198710162.6714.09-3.38-4.39161.66198811232.2669.5955.5-3.

18、99172.7719891219.81321.66(1) “2 =y2-0=20.06-20.04=0.02,(2) V2y3 =Vy3 - Vy2 =5.66-0.02 = 5.64,(3) V y3 =V y3 =5.64-.2 - 1. 2.2 _ _ y4 = 0.4V y3 + 0.6V y3 =0.4 M 5.64 + 0.6 M 5.64 =5.64 ,上.2-(4) y3 = y3 + Vy2 +y2 = 5.64 + 0.02 + 20.06 = 25.72 ,A A1989 年的預測值 y12 =V2i12 + Vy11 +y11 = 19.81 + 232.26 +69.

19、59 = 321.66四、具有季節(jié)特點的時間序列的預測(1)收集m年的每年各季度或者各月份(每年 n個季度)的時間序列樣本數(shù)據(jù)a。，其中，i表示年份的序號(i=1,2，m), j表示季度或者月份的序號 (j=1,2，n)。(2)計算每年所有季度或所有月份的算術平均值a,即1 m na =aj, k 二 mnk i 3 j =11m(3)計算同季度或同月份數(shù)據(jù)的算術平均值aj =£ aij, j =1,2,，n。m ij(4)計算季度系數(shù)或月份系數(shù)4 = aj /a。(5)預測計算。當時間序列是按季節(jié)列出時，先求出預測年份(下一年)的年加權平均m、Wi yiym i =m“Wii 1

20、n其中，Vi =2aj為第i年的年合計數(shù)，Wi為第i年的權數(shù)，按自然數(shù)列取值，即Wi = i。 j 1再計算預測年份的季度平均值Vm卡=Vm書/ 。最后，預測年份第j季度的預測值為ym 1,j = bj ym H例：某商店某類商品1999年一2003年各季度的銷售額如表12所列。試預測2004年各季度的銷售額。表12某商店某類商品1999年2003年各季度銷售額季度年份123419991379201867422745611754332000142814198423265419183521200113100219398724755616984720021574362001442830021943

21、192003149827214301276333185204154(2) a =Z 工 aj =198389.65 4 yjm j(3)1 5a.= ai1 =(137920 142841 131002 157436 149827)/5 =143799.85 i 1_1 5a2 = ai2 -198719.45 i 1a3 =" ai3 =269374.2 5 Pa4 3 ai4 =181664.8 5 T(4) bi =ai./a =0.7248b2 -a2/a -1.0017b3 =a3/a =1.3578b4 =a4/a =0.9157年合計數(shù)為4y1 =1 a1j =1379

22、20 186742 274561 175433 = 774656 j 1V2 =790177V3 7 742392y4 =834901y5 =8256652004年的年加權平均為y6 ='、Wi1 774656 2 790177 3 742392 4 834901 5 8256651 2 3 4 5二 8033412004年的季度平均值 y6 = y6 / 4 = 200835.32004年各季度的預測值如表 13。y6,1 =biy6 =0.7248 M 2008353 = 145565.4y6,2 =201176.7y6,3= 272694.2y6,4 =183904.9表13 2

23、004年各季度的預測值季度年份12342004145565.4201176.7272694.2183904.9五、季節(jié)性分析模型1 .樣本數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù)1.1季節(jié)指數(shù)收集m年各季度的銷售數(shù)據(jù) aj (i=1,2，m, j=1,2,3,4),可表示第i年第j個季度的銷售量，將 a按時間排序，得到時間序列a1,a2,，(1)計算中心化移動平均值CMA1 ,、1 ,、.CCMA j=8(aj_2 aj 42) +4 (a j + aj aj + )， j=3,4, n - 2(2)計算剔除趨勢值后的序列BbjajCMAj,j =34 ,n-2(3)計算季度平均值為方便描述，設序列 B中第i年第j季度

24、的值用bj表示，則各季度平均值1Cj = Z bj , j =123,4nj inj 一序列B中屬于第j季度的樣本數(shù)據(jù)個數(shù)；cj 一各季度平均值。(4)計算季節(jié)指數(shù)4Cjdj =l,j =1,2,34“ cjj=1dj 一表示第j季度的季節(jié)指數(shù)(5)計算季節(jié)分離后的序列yj =aj /dj,i =1,2, ,m j =1,2,3,41.2 趨勢分析根據(jù)分離季節(jié)性因素的序列y1，y2,，yn確定線性趨勢方程其中：機為銷售量預測值的估計值,A A A yt = bo bi tAbo為趨勢方程常數(shù)項估計值,Abi為趨勢方程回歸系數(shù)估計值，t為時間編號。A Abo、bi的計算公式如下:n£

25、ti2 - ti)2i :40A _ A_bo = y -bitn 一分離季節(jié)性因素的序列長度;ti 一分離季節(jié)性因素的序列中第 i個銷售量對應的時間編號，ti = i ；yi 一分離季節(jié)性因素的序列中第i個銷售量；一 1 nt 一分離季節(jié)性因素的序列中所有銷售量對應的時間編號的平均值，t = £ ti ;n y1 ny 一分離季節(jié)性因素的序列中所有銷售量的平均值，y=-Z yi。n y1.3 計算預測值將預測期對應白時間編號 t代入線性趨勢方程，得銷售量預測值的估計值yt,該預測值不含季節(jié)性因素。含有季節(jié)性因素的銷售量的預測值yt,j為Ayt,j = yt dj其中，dj為預測期對

26、應的季節(jié)指數(shù)。例：某啤酒廠銷售數(shù)據(jù)見表14。表14某啤酒廠銷售數(shù)據(jù)年份月份時間編號銷量2000112522323337442620011530263837424830200219292103931150412352003113302143931551416372004117292184231955420382005121312224332354424411.1 季節(jié)指數(shù)(1)計算中心化移動平均值 CMA和序列B根據(jù)公式(9.1)得到中心化移動平均值，計算銷量數(shù)據(jù)與CMA數(shù)據(jù)的比值可得到序列 B,見表15。表15序列B數(shù)據(jù)表時間編號銷量CMA序列B12523233730.6251.2082426

27、32.0000.812553033.3750.898963834.5001.101474234.8751.204383034.8750.860292936.0000.8056103937.6251.0365115038.3751.3029123538.5000.9091133038.6250.7767143939.0001.0000155139.1251.3035163739.3750.9397172940.2500.7205184240.8751.0275195541.2501.3333203841.6250.9129213141.6250.7447224341.8751.026923542

28、441(3)計算季度平均值為方便描述，設序列 B中第i年第j季度的值用bj表示，則各季度平均值1cjbj , j=1,2,3,4nj i根據(jù)上表中CMA數(shù)據(jù)，為方便描述，CMA數(shù)據(jù)轉換為表16,并計算各季度的合計值 與平均值。表16 CMA數(shù)據(jù)轉換表年份季度12342000一一1.20820.812520010.89891.10141.20430.860220020.80561.03651.30290.909120030.776711.30350.939720040.72051.02751.33330.912920050.74471.0269一一合計3.94645.19246.35224.43

29、44平均cj0.78931.03851.27040.8869季節(jié)指數(shù)0.79221.04241.27520.8902(4)計算季節(jié)指數(shù)di4。4'、Cjj 14 0.78930.7893 1.0385 1.2704 0.8869=0.7922d2、d3、d4的計算方式同上。(5)計算季節(jié)分離后的序列季節(jié)分離后的序列等于原銷售數(shù)據(jù)與季節(jié)指數(shù)的比值，計算結果見表17。表17季節(jié)分離后的序列數(shù)據(jù)表銷量季節(jié)指數(shù)季節(jié)分離后序列250.792231.5577321.042430.6984371.275229.0151260.890229.2069300.792237.8692381.042436.

30、4543421.275232.9360300.890233.7003290.792236.6069391.042437.4137501.275239.2095350.890239.3170300.792237.8692391.042437.4137511.275239.9937370.890241.5637290.792236.6069421.042440.2916551.275243.1305380.890242.6870310.792239.1315431.042441.2510541.275242.3463410.890246.05711.2 趨勢分析A a根據(jù)b0、b1的計算公式計算得

31、到AAb0 =30.607, b1= 0.5592線性趨勢方程為Ayt = 30.607 0.5592 t1.3 計算預測值2006年各季度的不含季節(jié)性因素的預測值yt如表18。A y25 =30.607 0.5592 25 =44.5867Ay26 =30.607 0.5592 26 =45.1459A y27 =30.607 0.5592 26 =45.7051Ay28 =30.607 0.5592 26 =46.2643表18 2006年各季度的不含季節(jié)性因素的預測值yt年份月份時間編號A yt200612544.586722645.145932745.705142846.26432006年各季度的含有季節(jié)性因素的預測值yt,j如表19。A Ay25,1 = y25 d =44.