第十六講 立體幾何自主招生

1、-作者xxxx-日期xxxx第十六講 立體幾何自主招生【精品文檔】第十六講 立體幾何【考點說明】 立體幾何是高中數(shù)學中具有聯(lián)結(jié)和支撐作用的主干知識，它既是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的必要基礎(chǔ)，因而是高考數(shù)學與高校自主招生命題的主要板塊之一。立體幾何問題大致可以分為兩大類：一是空間幾何的結(jié)構(gòu)特征、簡單幾何體的表面積和體積的計算方法，如旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積，割補定理等；二是從構(gòu)成空間幾何體的基本元素點、線、面人手研究它們的性質(zhì)以及相互之間的位置關(guān)系等，如線、面之間的垂直于平行的位置判斷與證明等?！局R引入】一證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）

2、轉(zhuǎn)化為該線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為該線與形成射影的斜線垂直.二證明直線與平面垂直的思考途徑：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.三空間的線線平行或垂直：設(shè)，則：1.平行：；2.垂直：.四夾角公式：設(shè)，則.推論 ，此即三維柯西不等式.五異面直線所成角：=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）六直線與平面所成角：(為平面的法向量).七二面角的平面角：或（，為平面，的法向量）八空間兩點間的距離公式 ：若，則

3、 =.九點到平面的距離 ：（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.十柱體、錐體的體積：1.柱體：（是柱體的底面積、是柱體的高）2.椎體：（是錐體的底面積、是錐體的高）十一長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.十二球的表面積和體積公式：1.球的表面積公式：（為球的半徑）2.球的體積公式：（為球的半徑）【知識拓展】一空間余弦定理如圖，平面、相交于直線l。為l上兩點，射線在平面內(nèi)，射線在平面內(nèi)。已知，且都是銳角，是二面角的平面角，則。證明：在平面中，過作的垂線，交射線于點。在平面中，過作的垂線，交射線于點。設(shè)，則，并且就是二面角的平面角。在與中，利用余弦定理，可得

4、等式 ，所以， 故 二射影面積公式：在二面角的一個半平面上的任意凸多邊形的面積為，此多邊形的另一個半平面上射影多邊形的面積為，又二面角的平面角度數(shù)為，則。三歐拉公式：歐拉公式：設(shè)、和分別表示凸多邊形體面、棱（或邊）、頂點的個數(shù)，則。利用歐拉公式可以導出正多面體只有以下五種：正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體。事實上，設(shè)正多面體每個面是邊形，每個頂點引出條棱，則棱數(shù)應(yīng)是（面數(shù)）與的積的一半，即。同時，應(yīng)是（頂點數(shù)）與的積的一半，即。由、，代入歐拉公式中，有。由于故。顯然，和的意義知，故中至少有一個等于3.當時，易得；同理，時，。綜上，時，即正四面體；當時，即正六面體；

5、時，即正八面體；時，即正十二面體；時，即正二十面體。四祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等?！镜淅v】例1（2011“華約”）兩條異面直線互成，過空間中任一點A可以作出（ ）平面與兩異面直線都成角。（A） 一個 （B）兩個 （C）三個 （D）四個答案 B分析與解答：如圖，將異面直線平移到A點，記此時兩條直線為，成，所確定的平面為，令分別為的兩條角平分線。則與所成角相等的平面必經(jīng)過或。而過與所成角的最大值為。這種情況不合要求。過的平面與所成角的范圍為，繞l適當轉(zhuǎn)動平面，并由對稱性知，符合要求的平

6、面有且僅有兩個。例2（2011“卓越聯(lián)盟”）在正方體中，E為棱的中點，F(xiàn)是棱上的點，且，則異面直線EF與所成角的正弦值為（ ）。（A） （B） （C） （D）答案B分析與解答：如圖，取中點G，連結(jié)FG，則EF與所成角即為。不妨設(shè)正方體棱長為1，則，。例3（2010復旦）設(shè)是正三棱柱，底面邊長和高都是1，P是側(cè)面的中心點，則P到側(cè)面的對角線的距離是（ ）。（A） （B） （C） （D）答案C分析與解答：在中，過作，垂足H。，則由余弦定理知，從而，所以。例4（2012“卓越聯(lián)盟”）直角梯形中，面垂直于底面。（1） 求證：面垂直于面；（2） 若，求二面角的正切值。分析與解答：（1）由于平面平面，且面

7、，而，。（2） 由，。由（1）知，且。過作于延長線交于，連結(jié)，則。易見。設(shè)二面角的平面角大小為，則由空間余弦定理（見知識拓展）知。顯然，。故，即所求二面角的正切值為。注：本題的第（2）問比較難，這里我們用的是空間余弦定理，其優(yōu)點是不用添加輔助線找出二面角，直接通過面角的三角關(guān)系求出二面角。 圖5-1例5（2010同濟）如圖5-1，四面體中，和為對棱。設(shè)，且異面直線與間的距離為，夾角為。（1） 若，且棱垂直于平面，求四面體的體積；（2） 當時，證明：四面體的體積為一定值；（3） 求四面體的體積。分析與解答：（1）如圖5-2，由于棱，過作邊上的高BE，則，故BE即為異面直線與間的距離，所以。所以。

8、 圖5-2 圖5-3（2） 如圖5-3，過作底面的垂線，垂足為，連結(jié)與相交于。連結(jié)，再過作的垂線，垂足為。因為，所以（三垂線定理的逆定理），所以，又。所以EF即為異面直線的公垂線。所以。注意到。所以為定值。（3） 如圖5-4：將四面體補成一個平行六面體。由于所成角為，所以 又異面直線與間的距離即上、下兩底面的距離，所以。顯然。 圖5-4例6（2008復旦）在如圖14-9所示的三棱錐中，點、的中點以及的中點所決定的平面把三棱柱切割成不相同的兩部分，則小部分的體積和大部分的體積之比為（ ）（A） （B） （C） （D）分析與解答： 連結(jié)與的延長線交于，連。連結(jié)與延長線交于，依題意知點也在所確定的平

9、面內(nèi)。設(shè)平面交于F。令原三棱柱底面積為S，高為。平面將原三棱柱分成上、下兩部分體積分別記為。由于是中點，故，從而，同理，。 ， 。故，應(yīng)選D。注：本題的難點是添加輔助線。例7（2009清華）四面體中，。（1） 求證：這個四面體的四個角都是銳角三角形；（2） 設(shè)底面為，另外三個面與面所形成的二面角為。求證：。分析與解答：（1）由對棱相等想到長方體?？蓸?gòu)造一個如圖7-1所示的長方體。設(shè)，長方體長、寬、高分別為，則有。由，可得。于是，四面體的四個面都是銳角三角形。（2） 如圖7-2，設(shè)是在底面上的射影，由（1）知在內(nèi)。由射影面積公式知等。顯然三個側(cè)面及底面面積均相等，且，故。注：對于對棱相等的四面體

10、經(jīng)?？紤]構(gòu)造一個長方體。 圖7-1 圖7-2例8（2010五校聯(lián)考）如圖8-1，正四棱錐中，為PB中點，為PD中點，求兩個棱錐的體積之比。分析與解答：對于三棱錐，無論將哪個三角形作為底面都不方便計算體積，故考慮間接法，即考慮其余四個小三棱錐與原四棱錐的體積比。 ， 同理， ，同理，。所以，。注：本題用到了這樣一個結(jié)論，如圖8-2，是（或延長線上）的點，則。 圖8-1 圖8-2例9（2001復旦）已知棱柱的底面是等腰三角形，上底面的頂點在下底面的射影是的外接圓圓心，設(shè)，棱柱的側(cè)面積為。（1） 證明：側(cè)面和都是菱形，是矩形；（2） 求棱柱的側(cè)面所成的三個二面角的大??；（3） 求棱錐的體積。分析與解

11、答：（1）如圖，設(shè)在底面上的射影為，則是的外心。又由，知時等邊三角形側(cè)面是菱形。由對稱性知，側(cè)面也是菱形。由于中，是其外心，故有，即的射影垂直。由三垂線定理，故側(cè)面是矩形。（2） 設(shè)，則。過作的垂線，垂足為，則即是側(cè)面與側(cè)面的二面角的平面角。而，故，即側(cè)面與側(cè)面的二面角大小為。又，故是側(cè)面與側(cè)面的二面角的平面角，大小為。同理，是側(cè)面與側(cè)面的二面角的平面角，大小為。（3） ，故。所以， 【方法總結(jié)】【真題訓練】 1（2010復旦）設(shè)一個多面體從前面、后面、左面、右面、上面看到的圖形為： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1則該多面體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D）2.（2007復旦

12、）已知四棱錐，底面是菱形，線段，點E是AB的中點，點F是PD的中點，則二面角的平面角的余弦值為（ ）。（A） （B） （C） （D）3.（2008復旦）棱長為1的正四面體ABCD中，點M和N分別是邊AB和CD的中點，則線段MN的長度為（ ）（A） （B） （C） （D）24.（2008復旦）若空間三條直線兩兩成異面直線，則與都相交的直線有（ ）。（A）0條 （B）1條 （C）多于1的有限條 （D）無窮多條5.（2010復旦）在一個底面半徑為，高為1的圓柱內(nèi)放入一個直徑為1的實心球后。在圓柱內(nèi)空余的地方放入和實心球、側(cè)面以及兩個底面之一都相切的小球。最多可以放入這樣的小球的個數(shù)是（ ）（A）32

13、個 （B）30個 （C）28個 （D）26個6.（2007復旦）棱長為的正方體內(nèi)有兩球互相外切，且兩球各與正方體的三個面相切，則兩球的半徑之和為（ ）（A） 無法確定 （B） （C） （D）7. （2010同濟）已知平面，點，點，AB與平面所成角分別為，點A、B在平面的交線上的垂足分別為，則線段與的比值為 。8.（2004同濟）設(shè)四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，且。（1） 求證：直線；（2） 過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E，如果三棱錐的體積取到最大值，求此時四棱錐的高。9. （2010五校聯(lián)考）平面/平面，直線，點與面夾角為，與的夾角為，求與的夾角。10.（2007武大）在棱長

14、為1的正方體中，分別為棱的中點。（1） 求證：；（2） 求四面體的體積。11. （2004復旦）已知E為棱長為的正方體的棱AB的中點，求點B到平面的距離。12.（2005復旦）在棱長為1的正方體中，分別為中點，求：（1） 到面的距離；（2） 二面角的平面角?！緟⒖即鸢浮?.【答案】D【分析與解答】：此為一個立方體削去一個角所得。2.【答案】C【分析與解答】：四邊形是菱形，且，故是等邊三角形。E是AB的中點，故。由三垂線定理知，所以即是二面角的平面角。設(shè)，則，。在中，由余弦定理知。3.【答案】：A【分析與解答】：易知。在中，由中線長公式，知。4.【答案】D【分析與解答】：在直線上任取一點A，考慮

15、A與直線b所成的平面與直線c有無交點。若存在交點C，則直線AC與直線b有交點B，則直線ABC與a,b,c均相交。若在直線a上的兩點，與直線b組成的平面，均與直線c不相交，則，又與的交線為，這與為異面直線矛盾。所以由點A的任意性，知與均相交的直線有無窮多條。5.【答案】B【分析與解答】：設(shè)小球半徑是?？紤]其軸截面，如圖所示，利用大球與小球的球心距以及勾股定理，可得?？紤]大球及小球在底面上的投影，如圖所示，則現(xiàn)在只要計算在一個半徑為的圓內(nèi)能放入多少個與之內(nèi)切的半徑為r的圓?？紤]一個小圓對于大圓圓心的張角，其中。 6.【答案】C【分析與解答】：設(shè)兩球的半徑為和，圓心為和，則在對角線上，。設(shè)主對角線為AB，故，。7.【答案】2【分析與解答】：設(shè)，依題意知，且，所以。同理，而是一個，所以。所以。8.【分析與解答】：（1）面，故AC是PC在底面ABCD上的射影。而，故由三垂線定理，知。（2） 設(shè)高，由面，知。又，故，即是直角三角形。