均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用

1、均值不等式應(yīng)用當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)取“ =”)當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)取“ =”)221. (1)若 a,b R，則 a2 b2 2ab* a b2. (1)若 a,b R* ，則ab2a2 b2(2)若 a,b R，則 ab a b2(2)若 a,b R* ，則 a b 2 ab(3)若a,b R*，則 ab ab2(當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)取“ =”)13.若 x 0 ，則 x2 (當(dāng)且僅當(dāng) xx1若 x 0 ，則 x 2 ( 當(dāng)且僅當(dāng)xx1xab若 x 0 ，則4.若 ab 0，則1 時(shí)取“ = ”)x1時(shí)取“ = ”)2即x 1 2或x 1 -2 (當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)取“ =”) xx2 ( 當(dāng)且僅

2、當(dāng) a b 時(shí)取ba= ”)若 ab 0 ，則abba2即 a b 2或 a b a bbb -2 (當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“ = ”)a225.若a,b R，則(a2b)2 a 2b (當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí)取“=”)ps.(1) 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所 謂“積定和最小，和定積最大” (2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例 1 ：求下列函數(shù)的值域11)y3x 22x 212)yxx(2) 當(dāng) x>0 時(shí)，

3、2；解： (1)y 3x 2值域?yàn)?6 ，+ )當(dāng) x< 0 時(shí)，1y x =x=21 x )x值域?yàn)?， 2 2 ， + )解題技巧技巧一：湊項(xiàng)的最大值。51例 已知 x ，求函數(shù) y 4x 2 14 4x 5解：因 4x 5 0 ，所以首先要“調(diào)整”符號，又 (4x 2) 1 不是常數(shù)，所以對 4x 2 要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)， 4x 551x , 5 4x 0， y 4x 24 4x 55 4x 1 3 2 3 15 4x1當(dāng)且僅當(dāng) 5 4x ，即 x 1 時(shí)，上式等號成立，故當(dāng) x 1時(shí)， ymax 1。5 4x評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

4、例 1. 當(dāng)時(shí)，求 y x(8 2x) 的最大值。解析：由知， ，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8為定值，故只需將 y x(8 2x) 湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即 x2 時(shí)取等號 當(dāng) x2 時(shí)， y x(8 2x) 的最大值為 8。評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。3變式：設(shè) 0 x ，求函數(shù) y 4x(3 2x) 的最大值。23解： 0 x3 2x 0 y4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 22x 3 2x當(dāng)且僅當(dāng) 2x 3 2x, 即 x 340

5、,3 時(shí)等號成立。2af(x) x 的單調(diào)性。x11因 t 0,t1，但 t解得 t1不在區(qū)間 2,tt1因?yàn)?y t 在區(qū)間 1, 單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。2, 為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y5。2技巧三： 分離2x2 7x 10 例 3. 求 y (x 1) 的值域。x1解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x 1)的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí),y 2(x 1) 4 5 9 (當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取“”號)。x1技巧四：換元 解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x 1 ，化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t 2 5

6、t 4 4 y = t 5 t t t當(dāng),即t=時(shí),y 2 t 4 5 9(當(dāng) t=2 即x1 時(shí)取“”號)。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為Ay mg(x) B(A 0,B 0)，g(x) 恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。 g(x)技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)例：求函數(shù) y x2 5 的值域。例：求函數(shù) x2 4 的值域。x2 4x 5x2 421t 1(t 2)x4x2 4 t所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?5,2練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)， x 的值 .x2 3x

7、11) yx1,(x 0) (2) y 2x,x 3 (3) y 2sin x x31,x (0, ) sin x2已知 0 x 1，求函數(shù) y x(1 x)的最大值 .；30 x 2，求函數(shù) y x(2 3x)的最大值 .條件求最值ab1.若實(shí)數(shù)滿足 a b 2，則 3a 3b的最小值是分析：ab“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3a 3b 定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b 都是正數(shù)， 3a 3b2 3a 3b 2 3a b 6a b a b a b當(dāng) 33 時(shí)等號成立，由 a b 2及 33 得 a b 1即當(dāng) a b 1時(shí)， 33 的最小值是 6 11變式：若 log

8、4 x log4 y 2，求的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯(cuò)。2：已知 x 0, y 0，且 1 9 1，求 x y 的最小值。 xy1 91 9錯(cuò)解： x 0,y 0 ，且1 ， x y 1 9x yx yx y 2 x9y2 xy 12 故 x y min 12 。1 錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式， 在x y 2 xy等號成立條件是 x y，在1 9 2 9 等號成立條件是x y xy x即 y 9x ,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而

9、且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解： x 0,y 0, 191， x y x y 19y9x10 6 10 16xy xyxy當(dāng)且僅當(dāng) yx9x時(shí)，y上式等號成立，又 1 9 1，可得 x 4,y 12 時(shí)，xyx y min16 。變式：1)若 x,y(2)已知 a,b,x,y RR 且 2x y 1 ，求 1 1 的最小值 xy且 a b 1，求 x y 的最小值 xy技巧七已知 x，y 為正實(shí)數(shù)，且 x 2y2 221，求 x 1 y 2的最大值 .分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式2 2a bab2同時(shí)還應(yīng)化簡 1y 2 中 y2 前面的系數(shù)為 12x 1y 22 x1

10、y 2 22分別看成兩個(gè)因式：x 2y 2 12234技巧八：1已知 a，b 為正實(shí)數(shù)， 2baba30 ，求函數(shù) y 的最小值 . ab分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求 解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式， 不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。30 2b30 2b法一： a b1 ， ab b1由 a>0 得， 0 <b<152t 234t31令 tb+1 ，1<t<16，abtb

11、1161616 2 （ t ） 34t 2t·8ttt2 b 230b1 ab18y18 當(dāng)且僅當(dāng) t4，即 b3，a6 時(shí)，等號成立。法二：由已知得： 30aba2ba2b2 2 ab 30 ab2 2 ab令 u ab則 u22 2 u30 0， 5 2 u3 2 ab 3 2 ，ab18 ，y18ab點(diǎn)評：本題考查不等式a bab（a,b R ）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式2 ab a 2b 30（a,b R ）出發(fā)求得 ab 的范圍，關(guān)鍵是尋找到 a b與ab 之間的關(guān)系，由此想到不等式a bab（a,b R ），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含 ab的不等式，進(jìn)而

12、解得 ab 的范圍.2變式： 1.已知 a>0 ，b>0 ，ab （ab）1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周長為 1 ，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 為正實(shí)數(shù)， 3x2y 10，求函數(shù) W 3x 2y 的最值 .解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，ab a 2b 22 2 ，本題很簡單3x 2y 2 （3x）2（2y） 2 23x2y25解法二： 條件與結(jié)論均為和的形式， 設(shè)法直接用基本不等式， 應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式， 再向“和為定值” 條件靠攏W>0，W210 2 3x · 2y 10 ）2）2 10 （3 x2

13、y） 20 W 20 2 5變式 : 求函數(shù) y 2x 1 5 2x( 1x5 ) 的最大值。 22解析：注意到 2x 1與5 2x 的和為定值。y2 ( 2x 1 5 2x)2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8 又 y 0 ，所以 0 y 2 23當(dāng)且僅當(dāng) 2x 1= 5 2x ，即 x 時(shí)取等號。 故 ymax 2 2 。2評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝镁挡坏仁角笞钪禃r(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均 值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1已知

14、a,b,c 為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2 b2 c2 ab bc ca1)正數(shù) a，b，c 滿足 a b c1 ，求證： (1a)(1b)(1c)8abc例6：已知 a、b、cR ，且a b c 1。求證：1111118例 6：已知 a、b 、cR ，且 。求證：a1b1c18，aa分析：不等式右邊數(shù)字 8 ，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又 1 1 1 a b c 2 bcaa可由此變形入手。解： a、b、c R ， a b c 1。1 1 1 a b ca2 bc 。同理 1 1 2 ac ， a b b1 1 2 abcc。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1a 1 1b 1 c1 1 2 abc8。當(dāng)且僅當(dāng)a b c 1時(shí)取等號。3應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題x y m恒成立的實(shí)數(shù) m的取值范圍。19例：已知 x 0,y 0 且1 ，求使不等式xy解：令 x y k,x 0,y 0,1 9 1 ，