第六章廣義逆矩陣

1、第六章 廣義逆廣義逆矩陣的概念是方陣逆矩陣概念的推廣，廣義逆矩陣的基本知識是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，其在數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析、博弈論、控制論、計量經(jīng)濟(jì)、電網(wǎng)理論等中有重要的應(yīng)用。本章首先給出各種廣義逆矩陣的概念，重點介紹矩陣-逆及矩陣Moore-Penrose逆的性質(zhì)、計算方法及這兩種廣義逆矩陣在線性方程組求解中的應(yīng)用，最后給出方陣的群逆與Drazin逆的基本性質(zhì)。§6.1 廣義逆矩陣的概述 廣義逆矩陣的概念淵源于線性方程組的求解問題。設(shè)為復(fù)維向量空間，為復(fù)矩陣全體。設(shè)矩陣，考慮線性方程組 （6-1）其中，為給定的維向量，為待定的維向量。定義1 若存在向量滿足線性方程組（6-1），則稱

2、線性方程組（6-1）是相容的；否則稱線性方程組（6-1）是不相容的。眾所周知，當(dāng)為可逆矩陣時，線性方程組（6-1）有唯一解，其中是的逆矩陣。當(dāng)為不可逆矩陣或長方矩陣時，相容線性方程組（6-1）有無數(shù)解；不相容線性方程組（6-1）無解，但它有最小二乘解，即求，使得 （6-2）成立，其中代表任意一種向量范數(shù)，。上述兩種情況的解是否也能表示成一種緊湊的形式，其中，是某個矩陣？ 這個矩陣是通常逆矩陣的推廣。1920年，E.H. Moore 首先提出廣義逆矩陣的概念，由于Moore的方程過于抽象，并未引起人們的重視。1955年，R. Penrose 給出如下比較直觀和實用的廣義逆矩陣的概念。定義2 設(shè)矩

3、陣，若存在矩陣滿足下列Penrose方程（1）；（2）；（3）；（4）則稱為的Moore-Penrose 逆，記為。例1 由Moore-Penrose逆的定義不難驗證（1） 若，則；（2） 若，則，其中；（3） 若，其中是可逆矩陣，則；（4） 若是可逆矩陣，則。定理1 對于任意矩陣，其Moore-Penrose逆存在并且唯一。證明 存在性。設(shè)矩陣有奇異值分解，其中，為酉矩陣，的正奇異值為，。容易驗證滿足定義2中的四個Penrose方程，所以，總是存在的。唯一性。設(shè)均滿足定義2中的四個Penrose方程，則所以是唯一的。更一般的，為了不同的目的，人們定義了滿足Penrose方程中任意若干個方程的

4、廣義逆。定義3 設(shè)矩陣，若矩陣滿足Penrose方程中的（），（），（）等方程，則稱為的-逆，記為。由定義3與定義1可知，。因為對于任意都有為的-逆，所以利用定理1可知總是存在的。但是除了是唯一確定的之外，其余各種-逆矩陣都不是唯一確定的，因此將的-逆全體記為。如果按照滿足Penrose方程個數(shù)進(jìn)行分類，-逆矩陣共有種。但應(yīng)用較多的是以下5種：，其中，最為基本，最為重要。稱為自反廣義逆，稱為最小二乘廣義逆，為極小范數(shù)廣義逆。例2 設(shè)矩陣，其中為可逆矩陣，且，則容易驗證。例3 設(shè)矩陣。（1）若，此時為可逆矩陣，容易驗證;（2）若，此時為可逆矩陣，容易驗證。除了以上廣義逆矩陣之外，還有群逆、Dra

5、zin逆等另外一些廣義逆矩陣。1967年，Erdelyi給出如下群逆的概念。定義4 設(shè)矩陣，若矩陣滿足（1）；（2）；（3）；則稱為的群逆，記為。從定義4可以看出，群逆是一個特殊的，雖然總是存在的，但是這種群逆未必存在。為了介紹Drazin逆的定義，下面先給出方陣指標(biāo)的概念。定義5 設(shè)矩陣，稱滿足的最小非負(fù)整數(shù)為的指標(biāo)，記作。若矩陣是非奇異的，則，若矩陣是奇異的，則。1958年，Drazin給出如下Drazin逆的概念。定義6 設(shè)矩陣，其指標(biāo)為，若存在矩陣滿足（1）；（2）；（3）；則稱為的Drazin逆，記作。易見，若矩陣的指標(biāo)為，則的Drazin逆就是群逆。§6.2 -逆的性質(zhì)與

6、計算由于-逆是最基本、最重要的一種廣義逆，本節(jié)將給出-逆的基本性質(zhì)與計算方法。6.2.1 -逆的存在性定理1設(shè)矩陣，其秩為。若矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形為，其中分別為階和階可逆矩陣，則矩陣的所有-逆的集合為。證明 設(shè)矩陣為的任意一個-逆，則其滿足。于是，。因為分別為階和階可逆矩陣，上式等價于。令，則由上式可以推出，而是任意的，故，即。因此，此定理結(jié)論成立。由此定理的證明過程可知矩陣的-逆一定存在，但由于的任意性得矩陣的-逆不唯一。6.2.2 -逆的基本性質(zhì)關(guān)于-逆的基本性質(zhì)，有如下定理。定理2 設(shè)矩陣，則（1）；（2）若矩陣，則，并且的-逆是唯一的；（3），其中；（4）設(shè)分別為階和階可逆矩陣，則；（5）

7、；（6）與都是冪等矩陣，且。證明 利用6.1節(jié)定義3，可以直接驗證此定理的（1）-（4）成立。（5） 由于，所以結(jié)論成立。（6） 由于，所以，與都是冪等矩陣。又由于，所以，同理，因此，結(jié)論成立。6.2.3 -逆的計算定理1給出利用等價標(biāo)準(zhǔn)形求-逆的方法。例1 已知矩陣，求，并具體給出一個。解答 由于，現(xiàn)令，所以矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形為，利用定理1可得；令均為零矩陣時，得到一個最簡單的-逆如下：。§6.3 Moore-Penrose廣義逆的性質(zhì)與計算由于Moore-Penrose廣義逆在研究線性方程組解的表達(dá)式問題中起著重要作用，因此本節(jié)將介紹Moore-Penrose廣義逆的基本性質(zhì)與計算

8、方法。6.3.1 Moore-Penrose廣義逆的計算利用6.1節(jié)定理1可知，Moore-Penrose廣義逆總是存在的，并且給出了利用奇異值分解計算Moore-Penrose廣義逆的方法。下面給出利用滿秩分解計算Moore-Penrose廣義逆的方法。定理1設(shè)矩陣，其滿秩分解為，其中為列滿秩矩陣，為行滿秩矩陣，則。證明 因為，所以與皆為可逆矩陣。令，不難驗證滿足Penrose的四個方程，所以。推論1 設(shè)矩陣，則（1）若，則；（2）若，則；（3）若有滿秩分解，其中為列滿秩矩陣，為行滿秩矩陣，則。例1 已知矩陣，利用矩陣奇異值分解求矩陣的Moore-Penrose逆。解答 由于，所以的特征值為

9、，因此，的正奇異值為，。特征值、對應(yīng)的單位特征向量分別為，所以。令，則令，則的奇異值分解為，于是。例2 設(shè)矩陣，利用滿秩分解求矩陣的Moore-Penrose逆。解答 因為矩陣的滿秩分解為 ，并且，于是，故。6.3.2 Moore-Penrose廣義逆的基本性質(zhì)利用6.1節(jié)定理1可知，Moore-Penrose廣義逆是唯一的，因此，它具有與通常逆矩陣相似的性質(zhì)。下面給出Moore-Penrose廣義逆的一些基本性質(zhì)，其證明可以利用Moore-Penrose廣義逆的定義或定理1直接推出。定理2 設(shè)矩陣，則（1）；（2），；（3），其中，；（4）；（5）；（6），；（7）若，均為酉矩陣，則；（8）

10、若，則，若，則；盡管與有一些相近的性質(zhì)，但它畢竟是廣義逆矩陣，因此逆矩陣的一些性質(zhì)對并不成立。例3 舉例說明對Moore-Penrose廣義逆矩陣，下列結(jié)論未必正確。（1）；（2），其中為正整數(shù)；（3）若為可逆矩陣，。解答 （1）設(shè)，則，因此。因為，所以利用推論1的（1）可知；因為，所以利用推論1的（2）可知；于是，可見。（2）取，其滿秩分解為，其中，。利用推論1可得，于是，由推論1的（3）可得，因此，而，由此可見。（3）取，。由于，所以。于是，利用推論1的（2）可得，而，于是，由此可見。§6.4 廣義逆矩陣與線性方程組廣義逆矩陣與線性方程組有著極為密切的關(guān)系。本節(jié)將分別介紹-逆及M

11、oore-Penrose逆在線性方程組求解問題中的應(yīng)用。6.4.1 -逆在線性方程組求解問題中的應(yīng)用定理1 線性方程組（6-1）相容的充分必要條件是；且在線性方程組相容的情況下，其通解為 ， （6-3）其中為任意向量。證明 必要性。設(shè)線性方程組（6-1）有解，且為其解，則。充分性。令，則滿足等式（6-1），因此線性方程組（6-1）相容。下面首先證明在線性方程組（6-1）相容的情況下，等式（6-3）是其解。由于線性方程組（6-1）是相容的，所以存在使得。于是其次證明，對于線性方程組（6-1）的任意一解，都存在，使得解表示成（6-3）的形式?，F(xiàn)取，則所以此定理的結(jié)論成立。例1 利用矩陣-逆判斷線性

12、方程組是否相容，如果相容，求其通解，其中，。解答 由于現(xiàn)令，則系數(shù)矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形為，由6.3節(jié)定理1得系數(shù)矩陣的一個-逆為，容易驗證等式成立，所以利用定理1可知此線性方程組是相容的；并且其通解為，其中為任意常數(shù)。6.4.2 Moore-Penrose逆在線性方程組求解問題中的應(yīng)用利用-逆可以解決判定線性方程組（6-1）是否相容及在線性方程組相容情況下給出通解的問題。由于Moore-Penrose逆是一種特殊的-逆，所以相應(yīng)可得下述定理。定理2 線性方程組（6-1）相容的充分必要條件是；且在線性方程組相容的情況下，其通解為 ， （6-4）其中為任意向量。由等式（6-4）可知，如果線性方程組（6

13、-1）相容，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，其解是唯一的。在實際問題中，常需要求出線性方程組的無窮多個解中范數(shù)最小的解，即給出如下定義。定義1 設(shè)線性方程組（6-1）有無窮多個解，則稱無窮多個解中范數(shù)最小的解，即為線性方程組（6-1）的極小范數(shù)解（本節(jié)所涉及的范數(shù)均指2-范數(shù)）。定理3 相容線性方程組（6-1）的唯一極小范數(shù)解為。證明 對于等式（6-4）給出的線性方程組（6-1）的通解，有由此可見，即是相容線性方程組（6-1）的極小范數(shù)解；唯一性。設(shè)是相容線性方程組（6-1）的極小范數(shù)解，則，且存在，使得，與前面推導(dǎo)過程類似，有，從而可得，即，從而。當(dāng)線性方程組無解時，通常希望求出它的最小二乘解（見等式（6

14、-2）。利用Moore-Penrose逆可以解決這一問題。定理4 不相容線性方程組（6-1）的全部最小二乘解為 （6-5）其中為任意向量。證明 由等式（6-5）可求得。對任意的，有 ，于是由此說明等式（6-5）給出的都是的最小二乘解。又設(shè)是的任一最小二乘解，則有從而，即?？梢娛蔷€性方程組的解。由于，利用定理2可知，線性方程組相容，且通解為其中為任意向量。故其中為任意向量?？梢姷仁剑?-5）給出了的全部最小二乘解。由定理4的證明過程可得如下結(jié)論。推論1 是不相容線性方程組（6-1）的最小二乘解的充分必要條件是是線性方程組的解。推論2 是不相容線性方程組（6-1）的最小二乘解的充分必要條件是是線性

15、方程組的解。證明 若是的最小二乘解，利用推論1可知，是的解，于是，即是線性方程組的解。反之，若是線性方程組的解，則有可見是線性方程組的解，從而是的最小二乘解。由定理4可見，不相容線性方程組的最小二乘解一般不是唯一的。定義2 設(shè)矩陣，為不相容線性方程組的最小二乘解，如果對的任意一個最小二乘解均有，則稱為的極小范數(shù)最小二乘解。定理5 不相容線性方程組（6-1）的唯一極小范數(shù)最小二乘解為。證明 由推論1可知，的極小范數(shù)最小二乘解就是的唯一極小范數(shù)解，利用定理3可得。綜上所述，可以得到利用Moore-Penrose逆求解線性方程組的如下結(jié)論：（1）相容的充分必要條件是；（2） 設(shè)為任意向量，是相容線性

16、方程組的通解，或是不相容線性方程組的全部最小二乘解；（3）是相容線性方程組的唯一極小范數(shù)解，或是不相容線性方程組的唯一極小范數(shù)最小二乘解。例2 利用Moore-Penrose逆方法判斷線性方程組是否相容？如果相容，求通解及極小范數(shù)解；如果不相容，求全部最小二乘解的通式和極小范數(shù)最小二乘解。解答 設(shè)，于是線性方程組為。矩陣的滿秩分解為其中，。于是。因為，所以線性方程組是不相容的。于是，最小二乘解的通式為其中為任意的。極小范數(shù)最小二乘解為。§6.5 方陣的譜廣義逆前面介紹的-逆與Moore-Penrose逆保留了非奇異矩陣之逆矩陣的若干性質(zhì)，它們在表示線性方程組解的結(jié)構(gòu)時起著逆矩陣的作用

17、。但這兩種廣義逆不具備逆矩陣的另外一些性質(zhì)，例如逆矩陣的某些譜性質(zhì)。本節(jié)討論具有一般非奇異矩陣之逆矩陣的某些譜性質(zhì)的群逆和Drazin逆。6.5.1 群逆定理1 設(shè)矩陣，則存在的充分必要條件是，即；若存在，則是唯一的。證明 若為零矩陣，則命題顯然成立，以下假定不可逆且為非零矩陣。充分性。由的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解為，因為，所以，。故的零特征值對應(yīng)的若當(dāng)塊都是1階的，故存在可逆陣使得，不難驗證。必要性。設(shè)存在，則，故所以，即。下面證明唯一性。設(shè)為的群逆，則故是唯一的。推論1 設(shè)矩陣，則存在的充分必要條件是存在可逆矩陣，使得；此時。證明 由定理1的證明易得。定理2 設(shè)矩陣，其滿秩分解為，其中，則存在的充分

18、必要條件是是非奇異矩陣；若存在，則。證明 由于，其中，且，于是；因此，的充分必要條件是是非奇異矩陣；利用6.1節(jié)的定義4，可直接驗證。群逆的一些基本性質(zhì)羅列如下（證明留給讀者）。定理3設(shè)，且，則（1）；（2）;（3）為任意正整數(shù)。6.5.2 Drazin逆下面定理指出，矩陣的Drazin逆是唯一存在的，并且它可以表示為矩陣的多項式。定理4 設(shè)矩陣，且的最小多項式為其中，為常數(shù)，為多項式，則有唯一的Drazin逆，它可以表示為關(guān)于的多項式。證明 唯一性。設(shè)與為的兩個Drazin逆。令，則與皆為冪等矩陣。此時，。因此，又由于，所以。存在性。由可得，。令，顯然其滿足，并且，因此，利用6.1節(jié)定義5，為的Drazin逆，即。Drazin逆有如下簡單的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形表示。定理5 設(shè)矩陣，其若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解為，其中分別對應(yīng)特征值為零與特征值非零的若當(dāng)子塊，為可逆矩陣。則。 證明 利用6.1節(jié)定義5容易驗證此定理結(jié)論成立。Drazin逆的一些基本性質(zhì)羅列如下（證明留給讀者）。定理6 設(shè)矩陣，且，則（1）;（2）為任意正整數(shù)。（3）當(dāng)，則且；（4），且。例1 利用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解求矩陣的Drazin逆，其中。解答 矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為于是