河南省安陽高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題 理含解析

1、2018屆高三畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合 ，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】 ,所以,選b.2. 若復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】 ,所以虛部為1,選c.3. 如圖所示的是一塊兒童玩具積木的三視圖，其中俯視圖中的半曲線段為半圓，則該積木的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】該積木為一個(gè)柱體,前面為兩個(gè)正方形加半個(gè)圓柱側(cè)面積,后面為矩形,上下為一個(gè)矩形去掉半圓,左右為

2、矩形,因此表面積為,選a.點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用4. 已知命題：，則為（ ）a. ， b. ，c. ， d. ，【答案】d【解析】因?yàn)槊}：，所以為: ，,選d.5. 在某校連續(xù)次考試成績中，統(tǒng)計(jì)甲，乙兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績得到如圖所示的莖葉圖.已知甲同學(xué)次成績的平均數(shù)為，乙同學(xué)次成績的中位數(shù)為，則的值為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】因?yàn)橐彝瑢W(xué)次成績的中位數(shù)為，

3、所以選a.6. 若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，其中表示區(qū)間上任意一個(gè)實(shí)數(shù)，則輸出數(shù)對(duì)的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】概率為幾何概型,測度為面積,概率為選c.點(diǎn)睛：(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無限性，二是等可能性基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率7. 已知，表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，下列說

4、法錯(cuò)誤的是（ ）a. 若，則 b. 若，則c. 若，則 d. 若，則或【答案】c【解析】若，則;若，則，；若，則而，則或；若，則由線面平行判定定理得或；因此選c.8. 若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】作可行域如圖，則,所以直線過點(diǎn)a(0,1)時(shí)取最大值1，選b.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.9. 將的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位

5、長度得到的圖象，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因?yàn)椋?，因?，選d.點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.10. 已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】與,相減得公共弦所在直線方程：，即，所以由得，即，因此，選d.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值或值域時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等

6、”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.11. 已知在中，角，所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)在線段上，且.若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】設(shè)，則由面積關(guān)系得.所以，選b.12. 設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】當(dāng)時(shí)，所以在上至少有一個(gè)零點(diǎn)；舍去b,d;當(dāng)時(shí)，所以在上至少有一個(gè)零點(diǎn)；舍去c;因此選a.點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上(2)定理法：利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷(3)數(shù)形結(jié)合法：畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在

7、給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 已知，則_【答案】【解析】 14. 已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是_【答案】【解析】由題意得，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.點(diǎn)睛：1.已知雙曲線方程求漸近線：2.已知漸近線 設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程3，雙曲線焦點(diǎn)到漸近線距離為，垂足為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn).15. 已知在中，動(dòng)點(diǎn)位于線段上，則當(dāng)取最小值時(shí)，向量與的夾角的余弦值為_【答案】【解析】因?yàn)椋?所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此,所以向量與的夾角的余弦值為16. 已知定義

8、在上奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則的取值范圍是_【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，因此因?yàn)?，所以由，得，結(jié)合分母不為零得的取值范圍是點(diǎn)睛：(1)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值；(2)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)（）的圖象上，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列，求數(shù)列的前

9、項(xiàng)和.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系得和項(xiàng)關(guān)系式，再根據(jù)等差數(shù)列和項(xiàng)特征求首項(xiàng)與公差，最后代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）因?yàn)闉榈炔钆c等比乘積，所以利用錯(cuò)位相減法求和.試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，又，兩式對(duì)照得 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）則兩式相減得點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.18. 如圖，在直三棱柱中，底面是邊

10、長為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，側(cè)棱，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析(2) 【解析】試題分析：（1）根據(jù)平幾知識(shí)得，由線面垂直得，最后根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系確定二面角的余弦值.試題解析：（1）是等邊三角形，為的中點(diǎn)，平面，得.在側(cè)面中，.結(jié)合，又，平面，又平面，平面平面（2）解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，.得，設(shè)平面的法向量，則即得取.同理可得，平面的法向量則二面角的余弦值

11、為.解法二：由（1）知平面，.即二面角的平面角在平面中，易知，設(shè)，解得.即，則二面角的余弦值為.19. 隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，人們更加關(guān)注如何高效地獲取有價(jià)值的信息，網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)近兩年呈現(xiàn)出爆發(fā)式的增長，為了了解網(wǎng)民對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度，某網(wǎng)站隨機(jī)抽查了歲及以上不足歲的網(wǎng)民共人，調(diào)查結(jié)果如下：（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，能否認(rèn)為網(wǎng)民對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān)？（2）在上述樣本中用分層抽樣的方法，從支持和反對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的兩組網(wǎng)民中抽取名，若在上述名網(wǎng)民中隨機(jī)選人，設(shè)這人中反對(duì)態(tài)度的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.【答案】(1) 在犯錯(cuò)誤的

12、概率不超過的前提下，可以認(rèn)為網(wǎng)民對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān). (2) 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)填表，再代入卡方公式求，最后與參考數(shù)據(jù)比較作判斷，（2）先根據(jù)分層抽樣確定人數(shù)，確定隨機(jī)變量取法，再利用組合數(shù)計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1）列聯(lián)表如下：支持反對(duì)合計(jì)不足歲歲及以上合計(jì)所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，可以認(rèn)為網(wǎng)民對(duì)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān).（2）易知抽取的人中，有人支持，人反對(duì).的可能取值為，且，則的分布列為的數(shù)學(xué)期望20. 已知橢圓（）的上頂點(diǎn)與拋物線（）的焦點(diǎn)重合.（1）設(shè)橢圓和拋物線交于，兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程；（2）

13、設(shè)直線與拋物線和橢圓均相切，切點(diǎn)分別為，記的面積為，求證：.【答案】(1) (2)見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)得p，再根據(jù)對(duì)稱性得a坐標(biāo)，代人橢圓方程可得a,（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得拋物線切線方程，再與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式為零確定切點(diǎn)，根據(jù)三角形面積公式表示面積，最后根據(jù)基本不等式求最值，證得結(jié)論.試題解析：（1）易知，則拋物線的方程為由及圖形的對(duì)稱性，不妨設(shè)，代入，得，則.將之代入橢圓方程得，得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)切點(diǎn)，即，求導(dǎo)得，則切線的斜率為，方程，即，將之與橢圓聯(lián)立得，令判別式化簡整理得，此時(shí)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則由基本不等式得，則，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但此時(shí)，

14、故等號(hào)無法取得，于是.21. 已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)，若對(duì)恒成立，求的最大值.【答案】(1) (2) 的最大值為，此時(shí)，【解析】試題分析：（1）因?yàn)?，所以恒成立，由于，所以設(shè)，則恒成立，根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性即得的取值范圍；（2）令，則原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立.根據(jù)二次求導(dǎo)可得，即得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，即得的最大值.試題解析：（1）由題意得，且，注意到設(shè)，則，則為增函數(shù)，且.討論如下：若，得在上單調(diào)遞增，有，得在上單調(diào)遞增，有，合題意；若，令，得，則當(dāng)時(shí)，得在上單調(diào)遞減，有，得在上單調(diào)遞減，有，舍去.綜上，的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，即.令，則原問題

15、轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立.令，.若，則，得單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不可能恒成立，舍去；若，則；若，則易知在處取得最小值，所以，將看做新的自變量，即求函數(shù)的最大值，則，令，得.所以在上遞增，在上遞減，所以，即的最大值為，此時(shí)，.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐

16、標(biāo)方程為.（1）求直線的極坐標(biāo)方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）射線：與圓的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）根據(jù)，得直線的極坐標(biāo)方程以及圓的直角坐標(biāo)方程；（2）將代入得，再根據(jù)求線段的長.試題解析：（1）在中，令，.得，化簡得.即為直線的極坐標(biāo)方程.由得，即.，即為圓的直角坐標(biāo)方程.（2）所以.23. 選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）對(duì)任意滿足的正實(shí)數(shù)，若總存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) (2)【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先利用1的代換求最小值，再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，由得，則；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由得，則.綜上，不等式的解集為（2）由題意，由絕對(duì)值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.由題意得，解得.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解法一是運(yùn)用分類討論思想，法