函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(3)課件

1、 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性曲線的凹凸性曲線凹凸性的判別法曲線凹凸性的判別法曲線的拐點及其求法曲線的拐點及其求法第第6章章 微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理與導數(shù)的應用 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性20)( xf0)( xf定理定理6.8, 0)(),()2( xfba內(nèi)內(nèi)如如果果在在單調(diào)增加單調(diào)增加;單調(diào)減少單調(diào)減少.一、函數(shù)單調(diào)性的判別法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法xyO

2、abAB)(xfy xyO)(xfy abAB設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù),在在(a, b)內(nèi)可導內(nèi)可導.那末函數(shù)那末函數(shù)y = f (x)在在a, b上上那末函數(shù)那末函數(shù)y = f (x)在在a, b上上, 0)(),()1( xfba內(nèi)內(nèi)如如果果在在 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性3證證,21baxx ,21xx 且且 拉氏定理拉氏定理)()()(1212xxfxfxf , 0)( f則則),()(12xfxf , 0)( f則則),()(12xfxf )(21xx , 0)( xf, 0)( xf(1)(2) 此定理不論對于開、閉、

3、有限或無窮此定理不論對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確區(qū)間都正確.注注若在若在(a, b)內(nèi)內(nèi),若在若在(a, b)內(nèi)內(nèi),因為因為所以所以y = f (x)在在a, b上單調(diào)增加上單調(diào)增加;因為因為所以所以y = f (x)在在a, b上單調(diào)減少上單調(diào)減少. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性4例例解解.1e的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xyx. 1e xy,)0,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y.), 0單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)在在 ).,( 定義域為定義域為;0,(單調(diào)減少單調(diào)減少函數(shù)在函數(shù)在 因為因為所以所以所以所以 6.4 函數(shù)的單調(diào)性

4、與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性5方法方法不不存存在在的的根根及及用用方方程程)(0)(xfxf 問題問題如上例如上例, 函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的,若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導然后判定區(qū)間內(nèi)導數(shù)的符號數(shù)的符號.的的分界點分界點二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法但在各個部分區(qū)間上單調(diào)但在各個部分區(qū)間上單調(diào).則該區(qū)間稱為函數(shù)的則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. .導數(shù)等于零的點和不可導點導數(shù)等于零的點和不可導點,可能是單調(diào)區(qū)間可能是單調(diào)區(qū)間的點劃分函數(shù)的點劃分函數(shù)f (x)的定義區(qū)間的定義

5、區(qū)間, 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性6例例解解的的確確定定函函數(shù)數(shù)31292)(23 xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx, 11 x. 22 x).,(定義域定義域)1 ,( )2 , 1(), 2( x)(xf)(xf 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為,1 ,(,2 , 1 )., 2 xyO1122,0)(得得解解方方程程 xf單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性7例例解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf )0(,32)(3 xxxf,0時時當當 x單調(diào)減少區(qū)間為單調(diào)減少區(qū)間為,0 ,

6、( )., 0 32xy )0,(), 0( x)(xf)(xf ).,( 定義域定義域xyO單調(diào)增加區(qū)間為單調(diào)增加區(qū)間為導數(shù)不存在導數(shù)不存在. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性8區(qū)間內(nèi)有限個或無窮多個離散點處導數(shù)為零區(qū)間內(nèi)有限個或無窮多個離散點處導數(shù)為零,如如,3xy , 00 xy上上但但在在),( 注注不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.單調(diào)增加單調(diào)增加.3xy 又如又如,內(nèi)內(nèi)在在),(sin xxy可導可導, 且且xycos1 等號只在等號只在), 1, 0()12( kkx(無窮多個離散點無窮多個離散點)處成立處成立,故故),(sin 在在xxy內(nèi)內(nèi)單調(diào)

7、增加單調(diào)增加., 0 xyO 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性9例例證證.)1ln(,0成成立立試試證證時時當當xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則,), 0(,), 0)(可可導導且且上上連連續(xù)續(xù)在在 xf;), 0上上單單調(diào)調(diào)增增加加所所以以在在 , 0)0( f,0時時所所以以當當 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf因為因為因為因為 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性10例例證證xxxfxsine21)(2 設(shè)設(shè)xxxfxcose)( , 0)(, 10 xf

8、x.1 , 0)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在所以所以xf 定不出符號定不出符號0)0( f且且0)0( f且且.1 , 0)(Cxf 0 .21sine, 102xxxx 證明證明xxfxsine1)( 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性11 )(,10 xfx有有時時當當0sine212 xxx,10時時當當 x, 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在所所以以xf )(xf有有)0(f . 0 .1 , 0)(Cxf )0(f. 0 xxxfxcose)( 即即xxxfxsine21)(2 上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在1 , 0)(xf .21s

9、ine2xxx 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性12證證.), 111)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在證明證明 xxfx若令若令 xxg11ln)(x,11ln xx則只須證明則只須證明g(x)單調(diào)增加單調(diào)增加. xxxg11ln)(而而xxx 11ln)1ln( 拉氏定理拉氏定理,1ln)1(ln xx),1,( xx xxg 111)( 0 )0( x g(x)單調(diào)增加單調(diào)增加.從而從而.), 1 )(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在xf 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性13考研數(shù)學考研數(shù)學(一一, 二二) 12分分).(e4lnln,ee222

10、2ababba 證證明明設(shè)設(shè)證證 法一法一,e4ln)(22xxx 設(shè)設(shè)則則,e4ln2)(2 xxx ,ln12)(2xxx 所以所以,e時時當當 x, 0)( x )(x 故故單調(diào)減少單調(diào)減少, 從而從而,ee2時時當當 x)e ()(2 x,ee2時時即即當當 x)(x 單調(diào)增加單調(diào)增加.,ee2時時當當 ba因此因此),()(ab 即即,e4lne4ln2222aabb 故故).(e4lnln222abab , 0e4e422 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性14).(e4lnln,ee2222ababba 證證明明設(shè)設(shè)證證 法二法二x2ln對函數(shù)對函數(shù),l

11、n)(ttt ,ln1)(2ttt ,e時時當當 t, 0)( t 所以所以)(t 單調(diào)減少單調(diào)減少,從而從而).(e4lnln222abab 在在a, b上應用拉氏定理上應用拉氏定理, 得得),(ln2lnln22abab . ba 設(shè)設(shè)則則),e ()(2 即即22eelnln 即即,e22 考研數(shù)學考研數(shù)學(一一, 二二) 12分分 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性15考研數(shù)學考研數(shù)學(一一, 二二) 選擇題選擇題4分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)連續(xù)連續(xù), 0)0( f且且則存在則存在, 0 使得使得.), 0()()A(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 xf.)0 ,

12、()()B(內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少在在 xf).0()(), 0()C(fxfx 有有對對任任意意的的 ).0()()0 ,()D(fxfx 有有對任意的對任意的 Axfxffx 0)0()(lim)0(0設(shè)設(shè), 0 ,2A 對對, 0 ,0時時當當 x20)0()(AAxfxf 有有23)0()(2AxfxfA 即即).0()(fxf 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性16(concave and convex)三、三、曲線曲線凹凸凹凸性的判別法性的判別法1. 定義定義如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向xyOABC 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單

13、調(diào)性與曲線的凹凸性17)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定義定義6.1,)(baCxf 設(shè)設(shè),2)()()2(2121xfxfxxf 恒有恒有凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)221xx 221xx 圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的下方位于所張弦的下方圖形上任意弧段圖形上任意弧段位于所張弦的上方位于所張弦的上方xyOxyO如果對如果對(a, b)內(nèi)任意內(nèi)任意兩點兩點x1, x2,那么稱那么稱f (x)在在(a, b)內(nèi)的圖形是內(nèi)的圖形是 的的. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性18)(xfy )(xfy 曲線弧上每一點的切線都在曲線的

14、曲線弧上每一點的切線都在曲線的下下或或定義定義 (上上)方方,稱為稱為凹凹 弧弧. .(凸凸)凹凹弧的曲線段弧的曲線段)(xf 即即 f (x)的切線斜率是單增的的切線斜率是單增的,是單增的是單增的,弧的切線斜率是單減的弧的切線斜率是單減的,)(xf 即即是單減的是單減的. .而凸而凸利用利用二階導數(shù)二階導數(shù)判斷曲線的判斷曲線的凹凸性凹凸性從幾何直觀上從幾何直觀上, 隨著隨著x的增大的增大,xyOxyO 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性19遞增遞增)(xf 0)( xf遞遞減減)(xf 0)( xf定理定理6.96.9具有具有二階導數(shù)二階導數(shù),0)( xf若若),0

15、( 凹凹(凸凸)2. 凹凸性的判別法凹凸性的判別法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 如果如果 f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 在在(a, b)內(nèi)內(nèi)在在(a, b)內(nèi)內(nèi),在在a, b上的圖形是上的圖形是 的的.則則 f (x) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性20證證20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之之間間與與在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf 這說明切線位于曲線的下方這說明切線位于曲線的下方,),(0bax 任任取取 泰勒公式泰勒公式),(bax 處的切線處

16、的切線在在曲線曲線0)(xxfy 0 20)(! 2)(xxf 即即f (x)是凹的是凹的. .),(bax 0)( xf若若 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性21)1, 0, 0(2)(21 nyxyxyxyxnnnnttf )( )(tf )(tf)()(21yfxf 即即.2)(21nnnyxyx 例例證證,1 nnt2)1( ntnn0 yxt,0內(nèi)內(nèi)任任意意兩兩點點對對 2yxf)0( t設(shè)設(shè)圖形是圖形是凹的凹的.利用函數(shù)圖形的利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式凹凸性證明不等式: 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性22例例.3的的凹凹

17、凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解,32xy 因為因為,6xy ,0時時當當 x, 0 y;0,(為為凸凸的的在在所所以以曲曲線線 ,0時時當當 x, 0 y.), 0為為凹凹的的在在所所以以曲曲線線 注注 凸凸變變凹凹的分界點的分界點.3xy xyO 點點(0, 0)是曲線由是曲線由 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性23考研數(shù)學考研數(shù)學(一一,二二, 三三,四四)填空填空4分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)具有二階導數(shù)具有二階導數(shù), 0)( xf且且yyxxxxfd, 0)(0與與處的增量處的增量在點在點為自變量為自變量 , 0 x若若分別為分別為 f (x)在

18、點在點x0處對應的增量與微分處對應的增量與微分,則則.d0)A(yy .d0)B(yy . 0d)C( yy. 0d)D( yyxyO)(xfy T0 xMxx0 N y ydQx 0)(d xxfy 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性241. 定義定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的 拐點拐點. .幾何上幾何上四、曲線的四、曲線的拐點拐點及其求法及其求法(inflection point)拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線. .3xy xyO 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性25,

19、)(0變變號號兩兩近近旁旁xfx ,)(0不變號不變號兩近旁兩近旁xfx 拐點的充分條件拐點的充分條件0)(0 xf且且2. 拐點的求法拐點的求法 拐點也可能出現(xiàn)在二階導數(shù)不存在的點處拐點也可能出現(xiàn)在二階導數(shù)不存在的點處. .拐點的必要條件拐點的必要條件若若f (x)具有二階導數(shù)具有二階導數(shù),則點則點. 0)(0 xf(1)(2)(x0, f (x0)是拐點的是拐點的必要條件為必要條件為(或或x0為二階導數(shù)不存在的點為二階導數(shù)不存在的點)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在點在點x0鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)二階二階可導可導,點點(x0, f (x0)即為即為拐點拐點;點點(x0, f (x0)不是不是拐點拐點. .

20、6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性26例例.95)2(235的拐點及凹、凸性的拐點及凹、凸性求曲線求曲線xxy 解解),( ,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得 不不存存在在的的點點y 不存在不存在定義域為定義域為(1)(2). 22 x(3) 列表列表x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐點拐點拐點拐點)920, 2( )4, 3( 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性27例例.)2 , 0(cossin的的拐拐點點內(nèi)內(nèi)求求曲曲線線xxy 解解,sin

21、cosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點為內(nèi)曲線有拐點為在在2 , 0),0 ,43(拐點的第二充分條件拐點的第二充分條件, 0)(0 xf且且,0)(0 xf而而.472 x).0 ,47(設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在x0的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)是曲線是曲線 y = f (x)的的拐點拐點. .三階可導三階可導,那末那末(x0, f (x0) 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性28例例.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,

22、0均均不不存存在在是是不不可可導導點點yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲線線在在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲線線在在 .)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性29證證 法一法一 用單調(diào)性證用單調(diào)性證.法二法二 用凹凸性證用凹凸性證.,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 時時當當證明不等式證明不等式例例xxf

23、sin)( 設(shè)設(shè)則則, 0 , 0)2( f即即函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 所以所以f (x)的圖形是凸的的圖形是凸的. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性30函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性32)1(xxy 求求例例的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點.解解,3235xxy 31323235 xxy)52(3531 xxyx 處處0不存在不存在,處處52 x. 0 y y),51(91034 xx343192910 xx,51處處 x. 0 y 不存在不存在x)51,( 0y 拐點拐點)2556,51(3

24、 y y51 )0 ,51( )52, 0(52),52( 0 0 單調(diào)增加區(qū)間單調(diào)增加區(qū)間),52()0 ,( 及及單調(diào)減少區(qū)間單調(diào)減少區(qū)間)52, 0(凸區(qū)間凸區(qū)間凹區(qū)間凹區(qū)間)51,( )., 0()0 ,51( 和和 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性31考研數(shù)學考研數(shù)學( 三三,四四)10分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程由方程0ln yxyy確定確定,試判斷曲線試判斷曲線 y = y (x)在點在點(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.解解0ln yxyy在在兩邊對兩邊對x求導得求導得, 012ln yyy解得解得,ln21yy 兩邊對兩邊對x再求導

25、得再求導得,)ln2(2yyyy 代入得代入得將將y ,)ln2(13yyy 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性32考研數(shù)學考研數(shù)學( 三三,四四)10分分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = y (x)由方程由方程0ln yxyy確定確定,試判斷曲線試判斷曲線 y = y (x)在點在點(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.,)ln2(13yyy 代入得代入得將將1, 1 yx.81)1( y由于二階導函數(shù)由于二階導函數(shù)1 xy 在在的附近是連續(xù)函數(shù)的附近是連續(xù)函數(shù),所以由所以由,81)1( y1 x可知在可知在的附近的附近, 0 y故曲線故曲線 y = y (x)在點在點(1,1)

26、附近是凸附近是凸. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性33五、小結(jié)五、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要單調(diào)性的單調(diào)性的應用應用:改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點: :凹凸性凹凸性;拐點拐點;利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式的個數(shù)和證明不等式.研究曲線的彎曲方向研究曲線的彎曲方向: :凹凸性凹凸性的的應用應用: 利用利用凹凸性凹凸性證明不等式證明不等式.應用應用. 6.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性34證證 只要證只要證.lnlnbaab 令令,lnln)(xaaxxf ax 則則0)( afxaaxf ln)(xa 1,時時當當ax ,)(時單調(diào)增加時單調(diào)增加在在axxf 所以所以,時時當當ab )()(afbf 即即有有, 0lnl