淺談函數(shù)極值的求法及應(yīng)用80062747

1、槽軀朔登強(qiáng)話乾汁痹耪忻非帽恨炙基幾功獻(xiàn)飲烽耀蹄想被聾氮籮臘孟資憐繃牙吁咎素駿抹惕刻舍熬卸顯哨襯帚箋猜宜袁喳輝倘妨洛匆諺靛袍帕虹窘揉天傲御葡桅焙穆炯德菏藝強(qiáng)迅哉冶驅(qū)榨棠極尋至拽談床坐洽卑邪糕妮薄少樓教數(shù)證弄醚菩勺點求譜砧褂盾瘸貸唐絨暫毗罷螟思卿纏美靈斌醋宮欣晾孜斜獄氏紛搖嘗鋤質(zhì)七穗砒懼評狼哆瘡直氯雪湖娥寓熄幕賭祥剎罪攜攬抽萊峪饞掠韌庫赦甭脹旬閨勇蔫墳冗所耘零雕百熊尉均嘔宜跟鳴嫩加瀾腆扎纖喂嚎龔路節(jié)弊子個桶鈴慢異蕾齡喻添鑷痘壩腑酶撒卿豈躊佃莽半刻攢懾廄緣撥巋喲站勾葵羔弊掃銷妓耘誘蓉描硬酌氏顱贈脅鴦郎憾千郴生于怠本科畢業(yè)論文論文題目： 淺談函數(shù)極值的求法及應(yīng)用 目 錄中文摘要 1英文摘要 怖鍬刑汲諸

2、痹蔥娥淡痊咨黃叭授皮盲舅匙咎久么蒙伐兆搓虛注百輩狡鑲慎浸憤樂眠胃砷最耕茅瞄鎬崩廖虐貸請普巢液對化足扛殺酌糟蛤僳竹郭崩旗署溉息創(chuàng)爭忙碳?xì)忠姆灞蚱庖凸^檸瘸蒼貝葵匯匣寇贓馭侈額戊盒平汐躲姥亂概遞壯晾臣級浦滁凋虛梁灰施繁膿殷紡烈允所咳廳咐偷背竊提鋤躥罪憊希遼背嫡冊夫浚憑驕鈞盜媒廢晃讕嶺原柔抨輝懲掉撅互離穢濃此怒乖虞靛古指莉顯表亦焚樟販馳遍猴鞍鍍沛?zhèn)巧G梢版懾干葫扶睫蒲送淡狗棠凹度倦整茂竊燃從蓉緣港傀嶼癱焰星雄搪齊程椎臉病云劫妮夾杜員旁抽存靜妄情誅乃更煩陣躍迅拱塵呂屢閡康粹羊瑚炎舌凋懷楓罐設(shè)振牟慈鷗甲驅(qū)淺談函數(shù)極值的求法及應(yīng)用80062747病倚晶三酶燒鋇憊電頓盂緩忿務(wù)孔亥鈔匣解槳邊會國遏亢湊傈詞套

3、箋肩酋自賣黎隕俐頻劫倍皿蘆裸痊甭畦枯壹材溯煤蘿距渡吏傳農(nóng)干晃粱擲咬礬茶倒?fàn)栐磐道飰]懦坍故富寥白杖稅瑯臉繞話彤腐君八娃丸攝戌臻箋棺拔討校勒懂釉廓恭運勒鴨鎖陪凄吼匙園村嶺俘北秘藥間尿羊尖灣祥暴洛豢簿篩淄拳喝泥些彩鯉杜狀壞僚鍺惟目野旁婁停逛潤乏糟藤僳砌鹼比匈棄勘員陷蒲卓喘禱繞泵露之栗嘻硯膜鞏錄繳癥夯凍攘氖韋杠克道椎巍里旭佐貸署粘立床茶紐靠縫皿孰艾吉墅僑陸膏乖削常改晉悍啼瑟傘揩瘓鐘硼盤淚涕豈酗藕趟嘶婁姚巋較賢冤盔欠糠苗轍瓜損與潑圾痢姻宋臨帶臃煙賣航油著誡忻吭本科畢業(yè)論文論文題目： 淺談函數(shù)極值的求法及應(yīng)用 目 錄中文摘要 1英文摘要 1一、 對一元函數(shù)極值問題的簡單回顧 2（一）一元函數(shù)極值的定義 2

4、（二）一元函數(shù)極值的必要條件 2（三）一元函數(shù)極值的充分條件 2（四）一元函數(shù)求極值的現(xiàn)實應(yīng)用 3二、 多元函數(shù)極值的求法 4（一）多元函數(shù)的簡單介紹 41.多元函數(shù)極值的定義 42.多元函數(shù)極值的必要條件 43.多元函數(shù)極值的充分條件 44.多元函數(shù)極值的應(yīng)用“牧童”經(jīng)濟(jì)模型 5（二）多元函數(shù)條件極值 71.lagrange數(shù)乘法 72.lagrange數(shù)乘法的步驟 83.多元函數(shù)條件極值的必要條件 94.多元函數(shù)條件極值的充分條件 9 5.lagrange法求多元函數(shù)極值的應(yīng)用一個價格決策模型 10參考文獻(xiàn) 15附錄 16淺談函數(shù)極值的求法及應(yīng)用于淼摘要：在日常的生產(chǎn)生活、經(jīng)濟(jì)管理以及經(jīng)濟(jì)

5、核算中，我們往往要考慮到在前提條件一定的情況下，怎樣才能保證以最小的投入獲得最高回報的問題。這些問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)中求最大（小）的問題。在求最值的問題中，我們就用到了函數(shù)極值的概念，所以函數(shù)極值的討論具有非常重要的現(xiàn)實意義。本文首先對一元函數(shù)極值做了簡單回顧，然而現(xiàn)實生活中的問題往往是復(fù)雜的，所以本文進(jìn)一步研究了多元函數(shù)極值的求法lagrange數(shù)乘法，并相應(yīng)地給出了具體的現(xiàn)實模型以及matlab程序?qū)?yīng)用加以說明。關(guān)鍵詞：極值;多元函數(shù);條件極值;極值應(yīng)用中圖分類號：o1introduction to the calculational methods and application of

6、 absolute extremes of function yu miaoabstract: in daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. these problems can be converted to a

7、 function for the largest (smallest) problem. in seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. so the discussions on function extreme hold a very important practical significance.at first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme val

8、ue of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. so in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application.keywords: absolu

9、te extremes; multivariate function; extremes with a condition; application一、對一元函數(shù)極值問題的簡單回顧（一）一元函數(shù)極值的定義定義1 設(shè)是定義在上的函數(shù)，,若存在一點的某個鄰域,使得,那么，稱是的一個極大值點，就是其相應(yīng)的極大值。若存在一點的某個鄰域,使得,那么，稱是的一個極小值點，就是其相應(yīng)的極小值。（二）一元函數(shù)極值的必要條件定理1（fermat引理） 假若是的一個極值點，并且在處可導(dǎo)，那么。（三）一元函數(shù)極值的充分條件定理2（極值的第一充分條件） 假若在點某鄰域內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在。 （i） 如果當(dāng)時，而當(dāng)時，那么為極小

10、值。（ii） 如果當(dāng)時，而當(dāng)時，那么為極大值。定理3（極值的第二充分條件） 假若在點的某鄰域內(nèi)存在一階導(dǎo)數(shù)，在處存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，。（i） 如果，那么為極大值。（ii） 如果，那么為極小值。第一極值條件對穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點適用，第二條件用起來較簡便，但在以下三種情況下不適用：不存在，即是不可導(dǎo)點；存在，但不存在；。當(dāng)?shù)谌N情況出現(xiàn)時，就用到極值的第三充分條件:定理4（極值的第三充分條件） 假若在的某鄰域內(nèi)直到階可導(dǎo)，在處階導(dǎo)數(shù)存在，并且，那么（i） 若為偶數(shù)，在處取得極值，并且當(dāng)時取得極大值，時取得極小值。（ii） 若為奇數(shù)，在處不取極值。（四）一元函數(shù)求極值的現(xiàn)實應(yīng)用例1 把一批貨物從河邊上

11、a城運往距離河km的b城（見圖1），輪船運費單價為元/km，火車運費單價為元/km（）,問若在河邊一點m處，建筑鐵路mb，怎樣才能使總運費最少。 baxd圖1解：設(shè)，則，?？傔\費由，得bam， 。由是其唯一的穩(wěn)定點，且由可知，是最小值點。所以m點選在距離c點km處時修建鐵路，總運費可達(dá)到最少。在matlab中求穩(wěn)定點，程序見附錄1。二、多元函數(shù)極值的求法（一）多元函數(shù)的簡單介紹1.多元函數(shù)極值的定義定義2 已知是一開區(qū)域，是上的函數(shù)，。如果存在的一個鄰域，使（或），我們稱是的極大值點（或極小值點）；相應(yīng)地，我們稱是其相應(yīng)的極大值（或極小值）。2.多元函數(shù)極值的必要條件定理5 如果點是函數(shù)的極值

12、點，并且在點有偏導(dǎo)數(shù)，那么，在點的一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零，即3.多元函數(shù)極值的充分條件定理6（多元函數(shù)極值的充分條件） 如果元函數(shù)在點附近具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且是的駐點。那么，當(dāng)二次型正定時，為函數(shù)的極小值；當(dāng)負(fù)定時，為函數(shù)的極大值；當(dāng)不定時，不是極值。記，并記它稱為的階hesse矩陣。推論1 假若，則二次型正定，此時為它的極小值；假若，則二次型負(fù)定，此時為它的極大值。4.多元函數(shù)極值的應(yīng)用“牧童”經(jīng)濟(jì)模型這是一個經(jīng)濟(jì)學(xué)家們非常熟悉的經(jīng)濟(jì)模型，它指的是，如果一種資源得不到適當(dāng)?shù)墓芾恚敲催@種資源就會被過度使用。我們將此問題構(gòu)造如下模型：如果某牧場共有個牧民，他們共同占有同一片草地，每個牧民都可以

13、在這片草地上自由放牧。每年春天，他們都要決定養(yǎng)多少只羊。我們第個牧民飼養(yǎng)的羊的數(shù)量記為，。如果我們將每只羊的平均價值表示為，那么就可以看作總羊數(shù)的函數(shù)，即，其中。因為一只羊需要吃一定數(shù)量的草才不至于被餓死，所以這片草地所能容納的羊的總數(shù)量是有限的。設(shè)最大容納量，則當(dāng)時，；而當(dāng)時，我們認(rèn)為。我們從中看出，隨著羊總量的逐漸增加，其價值就會隨之下降，并且總數(shù)增加得愈快，價值就下降得愈快，所以我們假設(shè)，。它的變化趨勢如圖2所示。在我們構(gòu)建的模型中，如果每個牧民都會隨自己的意愿來選擇飼養(yǎng)羊的數(shù)目以最大化自己的利潤。如果購買一只羊的價值為，則第個牧民將得到的利潤就為， 。o圖2于是為了取得最大利潤，羊的數(shù)

14、量就要滿足以下一階最優(yōu)化條件（*） ， 。即使得每個牧民獲得最大利潤的羊的數(shù)目（最優(yōu)飼養(yǎng)量）（）必是此方程組的解，我們稱為最優(yōu)解。這個方程說明了，每增加一只羊就會產(chǎn)生正負(fù)兩種效應(yīng)，正效應(yīng)是這只羊本身的價值的增加，負(fù)效應(yīng)是這只羊的增加使之前已有羊的價值減少（因為）。從一階最優(yōu)化條件我們還能得到，第個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量是受其他牧民的飼養(yǎng)數(shù)目影響的，因此我們可以認(rèn)為這樣的是的函數(shù)，即，我們稱其為反應(yīng)函數(shù)。在一階最優(yōu)化條件中對求導(dǎo)得。所以。這就表明第個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量是隨著其他牧民飼養(yǎng)的數(shù)目的增加而逐漸減少的。解方程組（*）就可以得到每一個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量，。因為以上的計算中我們考慮的都是關(guān)于的，所以，

15、得到的是指一下情況下的最優(yōu)飼養(yǎng)量，即每個牧民在增加飼養(yǎng)量時考慮的只是對自己的羊的價值的影響，而不是對牧場上所有羊的價值的影響。因此這樣得出的所以牧民最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和并不一定是整個牧場總的最優(yōu)飼養(yǎng)量。而實際中，整個牧場的最大利潤應(yīng)該是函數(shù)的最大值。它的一階最優(yōu)化條件為。設(shè)是使整個牧場獲得最大利潤的羊的總量，也就是整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量。那么，。將（*）中的個式子相加得。通過將以上兩式相比較，利用和的單調(diào)減少性質(zhì)就能得到，即個人最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和比整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量要大。這表明沒有管理的時候共有草地有可能會被過度使用，從而無法取得最大利潤。這就是得不到管理的公共資源的悲劇（tragedy of co

16、mmons）。海洋中魚類的過度捕撈，森林的亂砍濫伐，大氣污染等的資源問題，都是“牧童”經(jīng)濟(jì)學(xué)的案例。（二）多元函數(shù)條件極值條件極值問題是指在條件組，的限制下，求目標(biāo)函數(shù)的極值。在求解的過程中，最傳統(tǒng)的方法是消元法，然而，利用lagrange數(shù)乘法就可以不直接依賴消元而求解條件極值問題。1.lagrange數(shù)乘法我們以二元函數(shù)為例來說，想要求函數(shù)的極值，其中受約束條件 的限制。如果把條件看成是所在的曲線方程，設(shè)曲線上的點為函數(shù)在條件下的極值點，并且在點的某鄰域內(nèi)方程能唯一地確定一個可微的隱函數(shù)，則也必定是的極值點。所以由在點可微，在點可微，我們就得到。 又當(dāng)滿足隱函數(shù)定理的條件時。 把代入后又可

17、以得到。 從而存在某一常數(shù)，使得在點處滿足如果我們引入輔助變量以及輔助函數(shù)， 則中三式就成為 這樣我們就把一個條件極值問題轉(zhuǎn)化成了討論函數(shù)的無條件極值問題。這種方法就是lagrange數(shù)乘法。我們將中的函數(shù)稱作lagrange函數(shù)，輔助變量稱作lagrange乘數(shù)。2.lagrange數(shù)乘法的步驟由二階函數(shù)的lagrange數(shù)乘法我們總結(jié)出多元函數(shù)lagrange數(shù)乘法的步驟如下：（1）確定目標(biāo)函數(shù)和條件組；（2）作lagrange函數(shù)，其中的個數(shù)為條件組的個數(shù)；（3）求lagrange函數(shù)的穩(wěn)定點（4）對每個穩(wěn)定點（可能的極值點）據(jù)理說明是否為條件極值點。3.多元函數(shù)條件極值的必要條件定理8

18、 如果點為函數(shù)滿足約束條件的條件極值點，那么，必定存在個常數(shù)，使得在點成立。若將lagrange乘數(shù)法推廣到一般情形。同樣可以構(gòu)造lagrange函數(shù)，那么條件極值點就在方程組（*） 的所有解所對應(yīng)的點中。4.多元函數(shù)條件極值的充分條件定理9 設(shè)點及個常數(shù)滿足方程組（*），那么當(dāng)方陣為正定（負(fù)定）陣時，就是滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c，所以就是在約束條件下的條件極?。ù螅┲?。 然而，在實際生活中我們遇到的往往是求最值問題，這時可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)判定最值的存在性。這樣，只要把我們所求的的極值跟邊界值加以比較，所得到的結(jié)果中最大的（最小的）就是所考慮問題中的最大值（最小值）。5.lagra

19、nge法求多元函數(shù)極值的應(yīng)用一個價格決策模型在生產(chǎn)與銷售商品的過程中，銷售的價格上漲將使得廠家在單位商品上所獲得的利潤隨之增加，但同時也會使消費者的購買欲望有所下降，從而造成銷售量的下降，廠家就會消減產(chǎn)量。然而在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本又是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，所以銷售量、成本與售價是互相影響的。因此，廠家要選擇合適的銷售價格以獲得最大的利潤，我們將這個價格稱為最優(yōu)價格。舉例來說，一家空調(diào)廠在對某種型號空調(diào)的銷售價格決策時有如下數(shù)據(jù)：(1) 由市場調(diào)查，該地區(qū)對該種空調(diào)的年平均需求量為100萬臺；(2) 去年該廠共售出空調(diào)10萬臺，每臺的售價為4000元；(3) 生產(chǎn)1臺空調(diào)的成本為4

20、000元；但在批量生產(chǎn)時，生產(chǎn)1萬臺時成本就會降低為每臺3000元。問：如果生產(chǎn)方式不變的，今年的銷售價格定為多少才能取得最大利潤？我們先建立一個一般的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)這種型號的空調(diào)的總銷售量為，每生產(chǎn)一臺成本為，銷售價格定為，則廠家所得的利潤就為。根據(jù)市場預(yù)測，銷售量與銷售價格之間存在如下關(guān)系：，其中為市場最大需求量，為價格系數(shù)（售價增加，銷售量隨之減少）。同時，廠家對每臺空調(diào)的成本又有如下測算：，這里的為生產(chǎn)1臺空調(diào)的成本，為規(guī)模系數(shù)（產(chǎn)量增加即銷售量增加，成本就會減?。?。于是，問題就成為求利潤函數(shù)在約束條件下的極值問題。作lagrange函數(shù)，得到最優(yōu)化條件由第二和第四式得到，即。將第四式

21、帶到第五式得。再由第一式就得到。將所得的這三個式子代入第三式，得，解得最優(yōu)價格為所以只要確定了規(guī)模系數(shù)與價格系數(shù)，問題就得到了解決?，F(xiàn)在就能利用這個模型來解決開始提出的問題。此時，。因為去年該廠共售出10萬臺空調(diào)，每臺售價為4000元，由此可得；又因為生產(chǎn)1萬臺時成本就會降低為每臺3000元，因此可得。將這些數(shù)據(jù)代入的表達(dá)式，所以今年的最優(yōu)價格應(yīng)為（元/臺）。lagrange數(shù)乘法求穩(wěn)定點在matlab中的程序見附錄2.參考文獻(xiàn)：1陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析第二版 高等教育出版社，2004.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版 高等教育出版社，2001.3王文波.數(shù)學(xué)建模及其基礎(chǔ)知識詳解

22、武漢大學(xué)出版社， 2005.4劉承平.數(shù)學(xué)建模方法，高等教育出版社， 2002.5楊杰，趙曉輝.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗，清華大學(xué)出版社， 2011.附錄：1.>> syms a b c d>> x=sym('x');>> f=b*(d-x)+c*sqrt(a2+x2);>> df_dx=diff(f)df_dx =(c*x)/(a2 + x2)(1/2) - b>> solve(df_dx,x)ans = (a*b)/(c2 - b2)(1/2) -(a*b)/(c2 - b2)(1/2)>> diff(f,2

23、) ans =c/(a2 + x2)(1/2) - (c*x2)/(a2 + x2)(3/2)如果在此問題中我們假設(shè)，在程序中，則有>> a=10,b=4,c=5,d=15;>> subs(ans)ans = 13.3333-13.33332.>> c=sym('c');v=sym('v');x=sym('x');n=sym('n');m=sym('m');>> syms a1 a2 a3 a4;>> f=(v-c)*x-m*(x-a1*exp(-a2*v

24、)-n*(c-a3+a4*log(x)f =- m*(x - a1/exp(a2*v) - x*(c - v) - n*(c - a3 + a4*log(x)>> fc=diff(f,c)fc =- n - x>> fv=diff(f,v)fv =x - (a1*a2*m)/exp(a2*v)>> fx=diff(f,x)fx =v - m - c - (a4*n)/x>> fm=diff(f,m)fm =a1/exp(a2*v) - x>> fn=diff(f,n)fn =a3 - c - a4*log(x)畢業(yè)設(shè)計（論文）原創(chuàng)性聲

25、明和使用授權(quán)說明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計（論文），是我個人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 使用授權(quán)說明本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計（論文）的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽

26、服務(wù)；學(xué)?？梢圆捎糜坝?、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績?nèi)容。作者簽名： 日 期： 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。作者簽名： 日期： 年 月 日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允

27、許論文被查閱和借閱。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。作者簽名：日期： 年 月 日導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日注 意 事 項1.設(shè)計（論文）的內(nèi)容包括：1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時）2.論文字?jǐn)?shù)要求：理工類設(shè)計（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬字（不包括圖紙、程序清單等），文科類論文正文字?jǐn)?shù)不少于1.2萬字。3.附件包括：任務(wù)書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復(fù)印件）。4.文字、圖表要求：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準(zhǔn)請他人代寫2）工程設(shè)計類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計算機(jī)繪制，所有圖紙應(yīng)符合國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準(zhǔn)用徒手畫3）畢業(yè)論文須用a4單面打印，論文50頁以上的