二維形式的柯西不等式

1、 二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式 人教人教a版選修版選修4-5一、教材分析一、教材分析目錄目錄 二、學(xué)情分析二、學(xué)情分析五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程 四、教法學(xué)法四、教法學(xué)法三、目標(biāo)定位三、目標(biāo)定位 六、板書設(shè)計六、板書設(shè)計七、教學(xué)反思七、教學(xué)反思一、教材分析一、教材分析二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式三角不等式不等式的證明基本不等式不等式的性質(zhì)排序不等式n維柯西不等式二、學(xué)情分析二、學(xué)情分析學(xué)習(xí)了不等式學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)與證明的性質(zhì)與證明，向量基礎(chǔ)知，向量基礎(chǔ)知識，掌握了不識，掌握了不等式變形方法等式變形方法以及數(shù)形結(jié)合以及數(shù)形結(jié)合基本方法。具基本方法。具備一定的觀察備一定的觀

2、察、分析、邏輯、分析、邏輯推理能力。推理能力。該班學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)該班學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)是性格活潑，是性格活潑， 好動腦筋，求知好動腦筋，求知欲強(qiáng)，善于并且欲強(qiáng)，善于并且樂于表達(dá)自己觀樂于表達(dá)自己觀點(diǎn)。點(diǎn)。該班學(xué)生的缺該班學(xué)生的缺點(diǎn)是懶惰，對點(diǎn)是懶惰，對前面所學(xué)知識前面所學(xué)知識遺忘比較多，遺忘比較多，頭腦中所建立頭腦中所建立的知識之間的的知識之間的聯(lián)系比較弱，聯(lián)系比較弱，因此數(shù)學(xué)綜合因此數(shù)學(xué)綜合能力不強(qiáng)。能力不強(qiáng)。三、目標(biāo)定位三、目標(biāo)定位知識與技能知識與技能：理解柯西不等理解柯西不等式的二維形式式的二維形式和變式以及向和變式以及向量形式，會簡量形式，會簡單應(yīng)用柯西不單應(yīng)用柯西不等式解決問題等式解決問題，理解

3、三角不，理解三角不等式和變式等式和變式過程與方法：通過類過程與方法：通過類比的方法，探索柯西比的方法，探索柯西不等式的形式，并通不等式的形式，并通過數(shù)形結(jié)合方法探索過數(shù)形結(jié)合方法探索柯西不等式的向量形柯西不等式的向量形式并證明，通過數(shù)形式并證明，通過數(shù)形結(jié)合方法探索三角不結(jié)合方法探索三角不等式并證明，通過觀等式并證明，通過觀察分析柯西不等式的察分析柯西不等式的形式簡單應(yīng)用柯西不形式簡單應(yīng)用柯西不等式解決證明問題和等式解決證明問題和最值問題最值問題情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀：通過創(chuàng)設(shè)情境，：通過創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，然后探提出問題，然后探索解決的辦法，培索解決的辦法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、養(yǎng)學(xué)生

4、獨(dú)立思考、合作探究、積極探合作探究、積極探索的習(xí)慣和邏輯推索的習(xí)慣和邏輯推理能力，滲透數(shù)學(xué)理能力，滲透數(shù)學(xué)史的教育，使學(xué)生史的教育，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的史學(xué)價體會數(shù)學(xué)的史學(xué)價值和美學(xué)價值值和美學(xué)價值三、目標(biāo)定位三、目標(biāo)定位教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：柯西不等式的證明和應(yīng)用柯西不等式的證明和應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：柯西不等式的發(fā)現(xiàn)、幾何法證柯西不等式的發(fā)現(xiàn)、幾何法證明柯西不等式、三角不等式的證明明柯西不等式、三角不等式的證明四、教法學(xué)法分析四、教法學(xué)法分析教法：教法：采取武漢市第四十九中學(xué)采取武漢市第四十九中學(xué)“主體探主體探究課堂教學(xué)模式究課堂教學(xué)模式”設(shè)置設(shè)置“問題串問題串”引導(dǎo)學(xué)引導(dǎo)學(xué)生展開探究生展開探

5、究學(xué)法：學(xué)法：以學(xué)生為中心，采取獨(dú)立思考和小以學(xué)生為中心，采取獨(dú)立思考和小組合作討論的方式進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)組合作討論的方式進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，引入課題創(chuàng)設(shè)情境，引入課題新課探究，形成結(jié)論新課探究，形成結(jié)論例解應(yīng)用，深化認(rèn)識例解應(yīng)用，深化認(rèn)識回顧過程，反思小結(jié)回顧過程，反思小結(jié)教學(xué)流教學(xué)流程程五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程創(chuàng)創(chuàng)設(shè)設(shè)情情境境，引引入入課課題題設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：給學(xué)生指明探究給學(xué)生指明探究的方向的方向-要對要對(a2+b2)(c2+d2)進(jìn)行配方，激發(fā)進(jìn)行配方，激發(fā)了學(xué)習(xí)的熱情，了學(xué)習(xí)的熱情，也為后續(xù)要用幾也為后續(xù)要用幾何法證明柯西不何法證明柯西不等式和應(yīng)用柯西

6、等式和應(yīng)用柯西不等式做了鋪墊不等式做了鋪墊五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程問題問題1：還有其他方法：還有其他方法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？探究探究1:1:類比類比 的的推導(dǎo)過程，請你猜想關(guān)于推導(dǎo)過程，請你猜想關(guān)于 的不等式的不等式222abab2222()()abcd新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論問題問題2：可以用幾何法：可以用幾何法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？類比配方類比配方作差法、分析法作差法、分析法向量法向量法問題問題3：向量法證明中等：向量法證明中等號成立的條件是什么？號成立的條件是什么？,平行平行五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程探究探究1:1:類比類比 的的推導(dǎo)過程，請你猜想關(guān)

7、于推導(dǎo)過程，請你猜想關(guān)于 的不等式的不等式222abab2222()()abcd新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：這是一個開放式問題這是一個開放式問題，關(guān)，關(guān)(a2+b2)(c2+d2)的不等式有很多，但的不等式有很多，但是如果我們限定問題是如果我們限定問題是類比是類比 的推導(dǎo)過程的推導(dǎo)過程，那么學(xué)生就容易找，那么學(xué)生就容易找到正確的方向。到正確的方向。五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程問題問題1：還有其他方法：還有其他方法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：這是一個開放式問題這是一個開放式問題，我們剛剛學(xué)習(xí)了不，我們剛剛學(xué)習(xí)了不

8、等式的證明，有利于等式的證明，有利于學(xué)生打開思路，開闊學(xué)生打開思路，開闊思維，多角度探索不思維，多角度探索不同方法，同時也是對同方法，同時也是對不等式證明方法的復(fù)不等式證明方法的復(fù)習(xí)，也是與引入中的習(xí)，也是與引入中的 不同證明方法形成類不同證明方法形成類比和對照。比和對照。222abab五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論問題問題2：可以用幾何法：可以用幾何法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：這是本節(jié)課的重中之重這是本節(jié)課的重中之重，不僅與，不僅與存在幾何證明方法進(jìn)行存在幾何證明方法進(jìn)行了類比，而且引導(dǎo)學(xué)生了類比，而且引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)與幾何兩個角度從代

9、數(shù)與幾何兩個角度對柯西不等式進(jìn)行了證對柯西不等式進(jìn)行了證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法，同時得到了向量方法，同時得到了向量形式，而向量形式在推形式，而向量形式在推導(dǎo)導(dǎo)n維形式上起了很重要維形式上起了很重要的作用。的作用。222abab五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：展示學(xué)生的結(jié)果，展示學(xué)生的結(jié)果，共同討論，取長補(bǔ)共同討論，取長補(bǔ)短，查漏補(bǔ)缺。短，查漏補(bǔ)缺。展示學(xué)生的向量法證明展示學(xué)生的向量法證明五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：等號成立的條件是等號成立的條件是柯西不等式很重要柯西不等式很重要

10、的一部分，在向量的一部分，在向量背景下考慮等號成背景下考慮等號成立的條件，既為應(yīng)立的條件，既為應(yīng)用向量形式的柯西用向量形式的柯西不等式提供了依據(jù)不等式提供了依據(jù)，也對代數(shù)形式和，也對代數(shù)形式和向量形式進(jìn)行了全向量形式進(jìn)行了全方位的對比，體現(xiàn)方位的對比，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。問題問題3：向量法證明中等號成立的：向量法證明中等號成立的條件是什么？條件是什么？五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：在實(shí)際應(yīng)用中，柯在實(shí)際應(yīng)用中，柯西不等式的變式用西不等式的變式用得比較多，所以很得比較多，所以很有必要讓學(xué)生知道有必要讓學(xué)生知道，又由于時間有限，又由于時間

11、有限，所以采取師生共，所以采取師生共同探究的方法，顯同探究的方法，顯得主次分明。得主次分明。師生共同探究柯西不等式的兩種師生共同探究柯西不等式的兩種變式變式五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程新新課課探探究究，形形成成結(jié)結(jié)論論設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：柯西是近代史上非柯西是近代史上非常著名的數(shù)學(xué)家，常著名的數(shù)學(xué)家，在教學(xué)過程中介紹在教學(xué)過程中介紹柯西的成就，滲透柯西的成就，滲透數(shù)學(xué)史的教育，符數(shù)學(xué)史的教育，符合新課程要求。同合新課程要求。同時，提出要求，讓時，提出要求，讓同學(xué)們下課查閱柯同學(xué)們下課查閱柯西的相關(guān)資料，激西的相關(guān)資料，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。介紹柯西其人介紹柯西其人五、教學(xué)過程五、教學(xué)

12、過程例例解解應(yīng)應(yīng)用用，深深化化認(rèn)認(rèn)識識設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：應(yīng)用柯西不等式證明問題，類比了應(yīng)用柯西不等式證明問題，類比了的應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識柯西不等式形式上的特點(diǎn)的應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識柯西不等式形式上的特點(diǎn)，體會柯西不等式在證明問題中的作用，學(xué)會，體會柯西不等式在證明問題中的作用，學(xué)會用柯西不等式證明問題。對于這個例題，采取用柯西不等式證明問題。對于這個例題，采取學(xué)生自主探究解決的方法，然后展示有代表性學(xué)生自主探究解決的方法，然后展示有代表性的結(jié)果，師生共同分析總結(jié)。的結(jié)果，師生共同分析總結(jié)。例1. 已知a、b為實(shí)數(shù)，證明(a4+b4)(a2+b2) (a3+b3)2.222abab五、教學(xué)過程五、教

13、學(xué)過程例例解解應(yīng)應(yīng)用用，深深化化認(rèn)認(rèn)識識設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：應(yīng)用柯西不等式求最值問題，類比了應(yīng)用柯西不等式求最值問題，類比了的應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識柯西不等式形式上的特點(diǎn)的應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識柯西不等式形式上的特點(diǎn)，體會柯西不等式在求最值問題中的作用，學(xué)，體會柯西不等式在求最值問題中的作用，學(xué)會用柯西不等式解最值問題。對于這個例題，會用柯西不等式解最值問題。對于這個例題，采取學(xué)生自主探究解決的方法，然后展示有代采取學(xué)生自主探究解決的方法，然后展示有代表性的結(jié)果，師生共同分析總結(jié)。表性的結(jié)果，師生共同分析總結(jié)。例2. 222abab.6453的最大值求函數(shù)xxy五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程例例解解應(yīng)應(yīng)用用，深

14、深化化認(rèn)認(rèn)識識探究探究2 2：根據(jù)根據(jù) 的邊長關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)的邊長關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn) 這這4個個實(shí)數(shù)蘊(yùn)涵著何種大小關(guān)系嗎？實(shí)數(shù)蘊(yùn)涵著何種大小關(guān)系嗎？12opp1,1,22,x y xy設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：從形出發(fā)，得到結(jié)從形出發(fā)，得到結(jié)論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的方法，從幾何關(guān)的方法，從幾何關(guān)系中得到三角不等系中得到三角不等式，得到四個實(shí)數(shù)式，得到四個實(shí)數(shù)的另一種大小關(guān)系的另一種大小關(guān)系。五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程例例解解應(yīng)應(yīng)用用，深深化化認(rèn)認(rèn)識識問題問題4 4：你能證明三角不等式嗎？：你能證明三角不等式嗎？設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：由圖形得出三角不等式，由圖形得出三角不等式，再由代數(shù)法進(jìn)行證明，充

15、再由代數(shù)法進(jìn)行證明，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。而分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。而三角不等式也是一個經(jīng)典三角不等式也是一個經(jīng)典不等式，跟柯西不等式一不等式，跟柯西不等式一樣，體現(xiàn)四個實(shí)數(shù)的不等樣，體現(xiàn)四個實(shí)數(shù)的不等關(guān)系，它的證明需要用到關(guān)系，它的證明需要用到不等式的基本變形技巧和不等式的基本變形技巧和柯西不等式的變式，是柯柯西不等式的變式，是柯西不等式變式應(yīng)用的重要西不等式變式應(yīng)用的重要體現(xiàn)。證明難度大，采取體現(xiàn)。證明難度大，采取學(xué)生獨(dú)立思考，教師個別學(xué)生獨(dú)立思考，教師個別輔導(dǎo)的方式，再共同研究輔導(dǎo)的方式，再共同研究，給了學(xué)生充分的思維空，給了學(xué)生充分的思維空間和時間。間和時間。五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程例例解

16、解應(yīng)應(yīng)用用，深深化化認(rèn)認(rèn)識識問題問題5 5：介紹三角不等式變式，你能給出幾何解釋嗎？：介紹三角不等式變式，你能給出幾何解釋嗎？設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：三角不等式是經(jīng)典不等式三角不等式是經(jīng)典不等式，它的變式也是經(jīng)典不等，它的變式也是經(jīng)典不等式，體現(xiàn)式，體現(xiàn)6個實(shí)數(shù)的不等個實(shí)數(shù)的不等關(guān)系，從數(shù)得到，再由形關(guān)系，從數(shù)得到，再由形來說明，又一次體現(xiàn)了數(shù)來說明，又一次體現(xiàn)了數(shù)形密不可分。形密不可分。五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程回回顧顧過過程程，反反思思小小結(jié)結(jié)問題問題6 6：你學(xué)到了什么？有什么收獲？還有什么困惑？：你學(xué)到了什么？有什么收獲？還有什么困惑？設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：自己反思的學(xué)習(xí)過程，不自己反思的學(xué)習(xí)

17、過程，不僅有利于對數(shù)學(xué)思想方法僅有利于對數(shù)學(xué)思想方法的掌握，更加培養(yǎng)了學(xué)生的掌握，更加培養(yǎng)了學(xué)生反思問題的能力和總結(jié)歸反思問題的能力和總結(jié)歸納的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高了學(xué)納的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。此外生自主學(xué)習(xí)的能力。此外，培養(yǎng)了學(xué)生表達(dá)交流的，培養(yǎng)了學(xué)生表達(dá)交流的能力，在學(xué)習(xí)中學(xué)會學(xué)習(xí)能力，在學(xué)習(xí)中學(xué)會學(xué)習(xí)與分享。與分享。五、教學(xué)過程五、教學(xué)過程回回顧顧過過程程，反反思思小小結(jié)結(jié)設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：延伸課堂，為下一節(jié)課做延伸課堂，為下一節(jié)課做鋪墊，廣泛了解柯西不等鋪墊，廣泛了解柯西不等式的背景和應(yīng)用，認(rèn)識柯式的背景和應(yīng)用，認(rèn)識柯西不等式的重要作用，提西不等式的重要作用，提高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)自學(xué)能高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)自學(xué)能力。力。作業(yè)布置：作業(yè)布置：1.寫出三維形式的柯西不寫出三維形式的柯西不等式及其三角不等式；等式及其三角不等式；2.寫出寫出n維形式的柯西不維形式的柯西不等式；等式；3.搜集柯西不等式的應(yīng)用搜集柯西不等式的應(yīng)用以及柯西不等式的不同形以及柯西不等式的不同形式。式。六、板書設(shè)計六、板書設(shè)計設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：凸顯本節(jié)課的知識重點(diǎn)和凸顯本節(jié)課的知識重點(diǎn)和方法重點(diǎn)，同時，板書方方法重點(diǎn)，同時，板書方便學(xué)生解題應(yīng)用公式。便學(xué)生解題應(yīng)用