極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限(9)課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限 本節(jié)將給出兩個在后面求導(dǎo)數(shù)時經(jīng)常要用到的重本節(jié)將給出兩個在后面求導(dǎo)數(shù)時經(jīng)常要用到的重要的極限公式：要的極限公式：1sinlim0 xxxexxx )11(lim為此先介紹判定極限存在的準(zhǔn)則為此先介紹判定極限存在的準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函

2、數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限)(xhy )(xfy )(xgy A A0 x 0 x 0 x）（）（1 2 A注意注意: :.,的極限是容易求的與并且與鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy)()()(xhxfxg 夾逼定理示意圖夾逼定理示意圖A例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121

3、 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限. 幾何解釋幾何解釋:x1x2x3xnx1 nxMA二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx首先注意到首先注意到都有定義都有定義對一切對一切函數(shù)函數(shù)0sin xxx注注此結(jié)論可推廣到此結(jié)論可推廣到1)()(sinlim xxax 有有限限值值，也也可可為為可可為為，其其中中時時條條件件是是axax0)(, 例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22s

4、in(lim21xxx 2121 .21 例例3 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1 (sinlim30原式 xxxxxxcos1cos1sinlim2021例例4 求求xxx 2coslim2 解解xt 2 令令02tx時時則當(dāng)則當(dāng) 于是于是xxx 2coslim2 ttt)2cos(lim0 1sinlim0 ttt(2)exxx )11(lim)71828.2(e此結(jié)論可推廣到此結(jié)論可推廣到 exxax )(1)(1lim 有有限限值值，也也可可為為可可為為，其其中中時時條條件件是是axax0)(, 注注特別有特別有ettt 10)1(lim例例5 5.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地一般地kxxexk 1lim解一解一)121()121(lim221 xxxx原原式式2e 解二解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 例例6 求求xxxx 11lim三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .2.兩個重要極限兩個重要極限,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) ; 1sinlim某過程.)1 (lim1e某過程思考題思考題